数学概念的逻辑基础
在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这个性 质,那就得到平行四边形的概念,而平行四边形的外延比 四边形的外延小。 在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个性质, 就得到三角形的概念,而三角形的外延比等腰三角形的 外延大。
注意,只有在改变内涵的过程中一个概念的外延是另一个概念外延 的子集的情况下,概念的内涵和外延间才会出现反变关系。
物区别于另一种事物的根本依据。
数学概念是反映思考对象在空间形式和数量关系及其模式方面的本 质属性的思维形式。 (二)产生与发展途径 概念是通过概括以及与概括紧密相联系的抽象而形成的。
数学概念的产生和发展有各种不同的途径:
1)从现实模型中直接反映得来,如初等数学中的点、线、面、体、 自然数等;
2)在原有数学概念的基础上,经过多级抽象和概括而形成,如近 代数学中的群、环、域、空间等;
一是找出被定义概念的最邻近的属; 二是确定种差,即找出被定义概念与同一属中其他种概念之 间的差别。
以事物的发生和形成过程作为种差—— 2.发生式定义
“平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆”; “我们在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平 面直角坐标系。” 发生式定义通过描述被定义概念所反映对象的产生或形成过 程的特征来揭示被定义概念本质属性的定义方法.
注意: 1.数学概念区别于其他领域概念的一个重要特征是:理想化、多级 抽象; 2. 在人的意识中形成概念,同表达它的语言、书写和符号分不开, 称表达数学概念的语词为数学概念的名称或术语。
概念是最基本的思维形式,任何一门学科,都是由一系列 的概念及其体系组成的。如果把人的思维比作一个有 机体,那么概念就是这个有机体上的细胞。
“正方形是”——“四个角都是直角的平行四边形” / “有一个 角是直角的菱形” / “各边相等而且四个都是直角的平行四边 形”
在定义某概念的过程中得到的一串概念,从第二个起,每 一个都是前一个的种概念,这样追到了初始概念:不定义 概念。
(二)定义的构成与形式
1.定义的构成 被定义的概念+下定义的概念+联系词 被定义的概念是其内涵被揭示的概念,而下定义的概念 是用以揭示被定义概念内涵的概念,联系词一般使用 ‘是’、 ‘叫做’,表示被定义概念和下定义概念之间的内在联系, 其 作用是把被定义概念和下定义概念联系或组织起来。 例如,“邻边相等的矩形是正方形”是正方形的一种定
四、概念的定义 (一)什么是定义
定义是揭示概念内涵的逻辑方法,即列举概念的充分和必 要的属性,并把它们总结成一个连贯的句子(语句或 用符号表示的句子)。
定义中的每一个属性对于确定的概念来说,都应当是必要 的,而所有属性加到一起应当是充分的。 定义应当揭示概念的基本内涵,它不应当有多余的词,也 不应当有遗漏。例如
(三)内涵和外延的发展变化
概念不是一成不变的,随着事物的发展变化和人类实践的不断深 入,概念的内涵和外延也会不断地发展变化。 例如:角的概念、三角函数的概念、数的概念等。
又 如 ,“绝 对 值 ”符 号 的 概念 ,它 随 着数 集 的扩 充 , 其 内容 不 断 丰 富 、充 实。在 有理 数 集 中 , 规定 有 理数 的 绝对 值 是 : 一个 正 数 和 零 的绝 对 值是 它 本身 ,一 个 负数 的 绝 对值 是 它的 相 反数 。 当 数 集 扩展 到 实数 的 绝对 值 除了 用 语 言阐 述 外 , 还表 示 为
径”与“最大的弦”等,它们之间的关系都是同一关系。
在同一个思维过程中,具有同一关系的两个概念可以相
互代替使用.
2.交叉关系(Intersection) 外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系,称 为交叉关系. 这两个概念称为交叉概念。
例如,“等腰三角形”与“直角三角形”、“负数”与“整 数”、“菱形”与“矩形”等概念之间的关系都是交 叉关系。具有交叉关系的两个概念是可以互相说明的, 但是,必须用“有些”两字来限制,否则就错了。例如, 我们可以说“有些整数是负数”,也可以说“有些负 数是整数”;却不能说“整数是负数”,也不能说“负
a a 0 - a ( a 0), ( a 0), ( a 0).
把 数 集 扩展 到 复数 后 , 复 数的 绝 对值 表 示 为| a bi |
2 2 a + b = (a,b 为实 数 ) 。
在数学教学中,认识概念的内涵与外延必须放在教材和一定的数 学学科体系中。 例如,角(平面几何 / 平面三角)
二、概念的内涵与外延
概 念 的 内 涵与 外 延 明确 了 ,就 可 以 更 好地 认 识 概念 ,把 握 概 念 ,否 则 就 会 出 现 错误 。 例 如 ,若 对“ 算 术 平 方 根 ” 这 个 概 念的 内 涵 不明 确 ,往 往 会 出 现 如 下 的 错误 :
(-2) 2
=-2,
( x - 1) 2 = x - 1
(二)不相容关系 (Exclusive relation)
外延没有公共部分(或称互相排斥)的两个概念之间 的关系称为不相容关系,这两个概念称为不相容概念。 不相容关系分为对立、矛盾关系两种。
1.对立关系(反对关系Contrariety) 如果某一概念的两个种概念A和B,其外延是互相排斥的, 且这两个种概念外延之和小于它们最邻近的属概念的外延, 那么这两个种概念A和B之间的关系 称为对立关系, 这两个种概念称为对立概念。
每个概念都是以下两者的统一: 1)对象或关系的集合——这个概念的外延。
2)这个集合所固有的并且只有这个集合才具备的特征 性质——这个概念的内涵。 逻辑思有哪些。从质和量两个方面 明确概念所反映的对象。
二、概念的内涵与外延
(一) 内涵与外延的含义
(二) 给数学概念下定义的方法
1.“属+种差”式定义 给数学概念下定义常用“属(类)+种差”的方式,即实 质定义。其公式为: 属(类)+种差=被定义项 例如: “邻边相等” 的 “平行四边形” 叫做 “菱形”; “按一定顺序排列” 的 “一列数” 叫做 “数 列”; “无限不循环” 的 “小数” 叫做 “无理数”; 由此可见,用属加种差下定义,需要做好两方面的工 作:
课题1 数学概念及其逻辑结构
目标: 理解概念的内涵和外延、概念间的关系; 掌握概念定义的方法以及概念划分的方法。
一、概念与数学概念的含义与发展途径
(一)含义 概念是反映事物本质属性的思维形式。 所谓“本质属性”,就是指可以用来从其他事物中区分这个事物的 特征性质。它构成某种事物的基本特征, 只为这类事物所具有,是一种事
外延有公共部分的两个概念之间的关系称为相容关系, 这两个概念称为相容概念。
在相容关系里,又分为同一关系、交叉关系和从属关系。
1.同一关系(Identity)
外延完全重合的两个概念A和B之间的关系称为同一关系.
例如,“直线”与“一次函数的图像”这两个概念,虽然它们
是从不同的角度来说明问题的,但是,它们的外延完全重合,是指 同一类对象。 又比如,“等腰三角形底边上的中线”与 “等腰三角形底边上的 高”;“等边的矩形”与“直角的菱形”;在同一个圆中“直
三、概念间的关系
我们只研究可比较概念间的关系. 所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关 系的概念. 例如,“正数”和“整数”就是可比较的概念, 而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念. 在可比较的概念间,有相容关系和不相容关系.
(一)相容关系 (Compatible relation )
中学数学的逻辑基础
数学概念 数学命题 数学推理 数学证明
“初等数学,即常数的数学,是指形式逻辑的范围 内活动的,至少总的说来是这样。”(恩格斯) 中学数学的逻辑基础,主要指形式逻辑,部分地 涉及辩证逻辑。 形式逻辑是关于思维形式及其规律的科学。概念、 判断、推理是思维的三种基本形式。 辩证逻辑是关于思维的辩证发展规律的科学,是 唯物辩证法在思维领域中的应用。
理数”,我们称“有理数”为“整数”的最邻近的属概念。
注意一:属、种概念具有相对性。 例如,对“整数”来说,“有理数”是属概念,
对“实数”来说,“有理数”是种概念;
注意二:要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有 从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。 例如,“对数”与它的“首数”、“尾数”之间的关系是全体与部分 的关系,但不是从属关系。
。
要 对 概 念 加深 认 识 ,不 仅 要 明确 概 念 的内 涵 与 外延 ,还 要 掌 握 概 念 的 内涵 与 外 延之 间 的 关系 。
(二)内涵与外延之间的关系
概念的内涵严格确定了概念的外延;反过来,概念的外延完全 确定了概念的内涵。因此,对概念的内涵所作的改变一定 导致概念外延的改变。具体来说即:这两个方面是相互联 系、互相制约的:当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩 小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。反过来也 一样。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。\例如,
义,
在这个定义中,“正方形”是被定义概念,“邻边相等的矩形”
2.定义的形式
……,叫做 ……
定义项 (Dp)
定 义 联 项
被定义项 (Ds)
注:定义的表达形式也有多种情况,除了上述: “DP叫做DS”,其他如:“DS就是DP”,“DS等于DP”, “DS当且仅当DP”,“DP叫做DS”,“DP称为DS”等等。 例如:平行四边形就是两组对边分别平行的四边形。
概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和,概 念的外延就是概念所反映的事物的总和(或范围).
例 如 ,“ 偶 数 ”这个 概 念 的内 涵 是“能 被 2 整 除的 整 数 ”这个性 质 , 外 延 是“ 所 有 能 被 2 整 除的 整 数 构成 的 集 合” 。 “ 一 元 二 次方 程 ” 这个 概 念 的内 涵 是 “只 含 有 一个 未 知 数且 未 知 数 的 最 高次 数 是 二次 的 等 式” 这 个 性质 ,其 外 延 是 “ 一切 形 a x 2 +bx +c=0(a≠ 0)的 方 程 的全 体 ” 。