探究单摆的振动周期教案
摆是理想化模型），是在一个固定的悬点下，用一根不可伸长的细绳，系住一个一定质量的质点，在竖直平面内小角度地摆动。

所以，实际的单摆要求绳子轻而长，小球要小而重，将摆球拉到某一高度由静止释放，单摆振动类似于钟摆振动。

我们这一章研究的是机械振动，而单摆振动也属于机械振动，单摆振动也是在某一平衡位置附近来回振动，这个平衡位置，就是绳子处于竖直的位置。

补充：机械振动的两个必要条件，一是运动中物体所受阻力要足够小；二是物体离开平衡位置后，总是受到回复力的作用。

对于第一个条件单摆是符合的，单摆绳要轻而长，球要小而重都是为了减少阻力；第二个条件说到回复力。

提问：单摆的回复力又由谁来提供？
2．单摆的回复力
要分析单摆回复力，先从单摆受力入手。

单摆从A位置释放，
沿AOB圆弧在平衡点O附近来回运动，以任一位置C为例，此时
摆球受重力G，拉力T作用，由于摆球沿圆弧运动，所以将重力分
解成切线方向分力G1和沿半径方向G2，悬线拉力T和G2合力必然
沿半径指向圆心，提供了向心力。

那么另一重力分力G1不论是在O
左侧还是右侧始终指向平衡位置，而且正是在G1作用下摆球才能
回到平衡位置。

（此处可以再复习平衡位置与回复力的关系：平衡位置是回复力为零的位置。

）因此G1就是摆球的回复力。

回复力怎么表示？由单摆的回复力的表达式能否看出单摆的振动
是简谐运动？书上已给出了具体的推导过程，其中用到了两个近
似：（1）sinα≈α；（2）在小角度下AO直线与AO弧线近似相等。

这两个近似成立的条件是摆角很小，α＜5°。

在分析了推导过程后，给出结论：α＜5°的情况下，单摆的回复力为
满足简谐运动的条件，即物体在大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反的回复力作用下的振动，为简谐运动。

所以，
当α＜5°时，单摆振动是一种简谐运动。

3．单摆振动是简谐运动
特征：回复力大小与位移大小成正比，方
向与位移方向相反。

但这个回复力的得到并不是无条件的，一
定是在摆角α＜5°时，单摆振动回复力才具有
这个特征。

这也就是单摆振动是简谐运动的条件。

条件：摆角α＜5°。

前面我们所学简谐运动是以弹簧振子系统为例，单摆振动和弹簧振子不同，从回复力上说，虽然都具有同一特征，却由不同的力来提供。

弹簧振子回复力由合力提供，而单摆则是由重力的一个分力来提供回复力。

这是回复力不同，那么其他方面，还有没有不同呢？我们在学习弹簧振子做简谐运动时，还提到过弹簧振子系统周期与振幅无关，那么单摆的周期和振幅有没有关系呢？下面我们做个实验来看一看。

4．单摆的周期
要研究周期和振幅有没有关系，其他条件就应不变。

这里有两个单摆（展示单摆），摆长相同，摆球质量不同，这会不会影响实验结果呢？也就是单摆的周期和摆球的质量有没有关？那么就先来看一下质量不同，摆长和振幅相同，单摆振动周期是不是相同。

演示1]将摆长相同，质量不同的摆球拉到同一高度释放。

现象：两摆球摆动是同步的，即说明单摆的周期与摆球质量无关，不会受影响。

那么就可以用这两个单摆去研究周期和振幅的关系了，在做之前还要明确一点，振幅是不是可任意取？这个实验主要是为研究属于简谐运动的单摆振动的周期，所以摆角不要超过5°。

[演示2]摆角小于5°的情况下，把两个摆球从不同高度释放。

现象：摆球同步振动，说明单摆振动的周期和振幅无关。

刚才做过的两个演示实验，证实了单摆振动周期和摆球质量、振幅无关，那么周期和什么有关？由前所说这两个摆摆长相等，如果L不等，改变了这个条件会不会影响周期？
[演示3]
取摆长不同，两个摆球从某一高度同时释放，注意要α＜5°现象：两摆振动不同步，而且摆长越长，振动就越慢。

这说明单摆振动和摆长有关。

具体有什么关系呢？经过一系列的理论推导和证明得到周期公式：（荷兰物理学家惠更斯发现）
同时这个公式的提出，也是在单摆振动是简谐运动的前提下，即满足摆角α＜5°。

条件：摆角α＜5°
且我们还可以根据这个周期公式测某地的重力加速度，由公式可知只要测出单摆的摆长、周期，就可以得到单摆所在地的重力加速度。

提问：由以上演示实验和周期公式，我们可知道周期与哪些因素有关，与哪些因素无关？
答：周期与摆长和重力加速度有关，而与振幅和质量无关。

单摆周期的这种与振幅无关的性质，叫做等时性。

单摆的等时性是由伽利略首先发现的。

钟摆的摆动就具有这种性质，摆钟也是根据这个原理制成的，据说这种等时性最早是由伽利略从教堂的灯的摆动发现的。

如果条件改变了，比如说（拿出摆钟展示）这个钟走得慢了，那么就要把摆长调整一下，应缩短L，使T减
五、
小；如果这个钟在北京走得好好的，带到广州去会怎么样？由于
广州g小于北京的g值，所以T变大，钟也会走慢；同样，把钟
带到月球上钟也会变慢。

(秒摆—周期为2秒的单摆)
补充：1、等效摆长问题：
上面两个图的周期分别为：
T1= T2=
2、等效重力加速度问题：
①将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的，
倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图。

A．摆球做简谐运动的回复力为：
B．摆球做简谐运动的周期为：
C．摆球在运动过程中，经平衡位置时，线的拉力为：
②将单摆放在加速上升的电梯中则周期为T=
【知识运用】
例题1．甲、乙两单摆在同一地点做简谐运动
的图象如图，由图可知
A．甲和乙的摆长一定相等
B．甲的摆球质量较小
C．甲的摆角大于乙的摆角
D．摆到平衡位置时，甲和乙摆线所受的拉力可能相等。

例题2．用单摆测定当地的重力加速度：
α
θ
六、在“用单摆测定重力加速度”的实验中，测出单摆摆角小于5°时，完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得摆线长为L，用螺旋测微器测得摆球直径为d。

（1）用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式：_____
__________
=
g。

（2）由图可知：摆球直径的读数为：____
__________
=
d。

（3）实验中，有个同学发现他测得的当地重力加速度总是偏大，其原因可能是
A．实验室处在高山上，距离水平面太高
B．单摆所用的摆球太重了
C．测出n次全振动的时间t，误作为)1
(-
n次全振动的时间进行计算
摆长L/m 0.500 0.800 0.900 1.000 1.200 周期T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 2.02 3.02 3.61 4.00 4.84 D．以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算
例题3．某同学用单摆测重力加速度，测完
了5次不同摆长的振动周期，数据如下：
（1）在图中的坐标纸上以L为纵坐标，2
T
为横坐标，把表中数据所对应的点用⨯标
出，并作出2
T
L-图象。

（2）利用图象求出重力加速度g的值（保
留两位有效数字），2
/
_
__________s
m
g=。

【课堂训练】
课本问题与练习P17
2
2/s
T
m
L/
0545
九、课后作业: 课本中本节课后练习1、2。