本章讲解直接法.
设线性方程组为
a11x1 a12 x2
a
21
x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
第五章方程组的直接解法
a1n xn b1
a2n xn b2
(1)
ann xn bn
或写成矩阵形式
a11 a12
a21
a22
an1 an2
a1n x1 b1
a2n
例4.1：用Gauss消去法解方程组
2x1 2x2 2x3 1
(1)
3x1
2 x2
4 x3
1 2
(2)
x1
3x2
9x3
5 2
(3)
第五章方程组的直接解法
解：第1步，（1）（ 3）加到（2），（1) ( 1)加到(3)，
2
2
得等价方程组：
2x1 2x2 2x3 1 x2 x3 1
组的追赶法； 5. 掌握向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分
析。 教学重点及难点 重点是 1. 解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 向量，矩阵范数，矩阵的条件数等概念及方程组的扰动分析； 难点是方程组的扰动分析。
第五章方程组的直接解法
第五章方程组的直接解法
在工程实际问题中产生的线性方程组，其系数矩阵大 约有两种：
一种是低阶稠密矩阵(阶数n150，矩阵的全部元素都 可能贮在计算机中)；
另一种是大型高阶稀疏矩阵(矩阵元素中零元素较多， 阶数较高，如n=103或104等，这类矩阵一般要压缩存储或 仅存储系数矩阵中的非零元素．)
第五章方程组的直接解法
,
b(1) 2
,
b(1) n
)T
,
det
A
0
.
消元过程就是要按确定的计算过程对方程组进行初等行变换, 将方程组化为上三角方程组.
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
b1 b2
an1 an2 ann bn
a(1) 11
0
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 13
近十几年来,直接法在求解具有较大型系数矩阵方程组方面 取得了较大进展.
第五章方程组的直接解法
② 迭代法： ( 第六章介绍）就是用某种极限过 程去逐步逼近线性方程组的精确解的方法。 也就是从解的某个近似值出发，通过构造一 个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限 步内得不到精确解). 特点是速度快，但有误差.
2 2 2
A,b 3 2 4
1 3 9
2 2 2 1
1
1/
2
5 / 2
(1)
r1(
3 2
)
r2
r2
r1(
1 2
)
r3
r3
0
0
1 2
1 8
1
2
2 2 2 1
(2) 0
0 r2 2 r3 r3
1 1 0 10
1 0
这种求解过程称为具有回代的Gauss消去法。
第五章方程组的直接解法
关于线性方程组的数值解法有两大类：
① 直接法：就是经过有限步算术运算，可求得方程组精 确解的方法(若计算过程中没有舍入误差)，如克莱姆 法则就是一种直接法，但实际上由于舍入误差的存在， 这类方法也只能求得线性方程组的近似解。 直接法中具有代表性的算法是高斯(Gauss)消去 法。其特点是准确，可靠，理论上得到的解是精确的. 这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法.
第五章方程组的直接解法
5.2 Gauss消去法
5.2.1 Gauss消去法的计算过程 5.2.2 矩阵的三角分解 5.2.3 主元素消去法
5.2.4 Gauss-Jordan消元法
第五章方程组的直接解法
第5章 线性方程组的直接解法
教学目的 1. 掌握解线性方程组的高斯消去法、高斯选主元素消去法； 2. 掌握用直接三角分解法解线性方程组的方法； 3. 了解解对称正定矩阵线性方程组的平方根法与解三对角线方程
第5章 线性方程组的直接解法
(Direct Method for Solving Linear Systems)
在工程技术、自然科学和社会科学中，经常遇到的许 多问题最终都可归结为解线性方程组，如电学中网络问题、 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，工程中的三次 样条函数的插值问题，经济运行中的投入产出问题以及大 地测量、机械与建筑结构的设计计算问题等等，都归结为 求解线性方程组或非线性方程组的数学问题。因此线性方 程组的求解对于实际问题是极其重要的。
x2
b2
ann xn bn
或简单地记为:
Ax b,
A (aij )nn , x (x1, x2, xn )T , b (b1, b2,
(2)
bn )T.
5.2 Gauss消去法
第五章方程组的直接解法
Gauss消去法是一个古老的求解线性方程组的方法。 由它改进的选主元法是目前计算机上 常用的有效的求解 低阶稠密矩阵线性方程组的方法。
此例可见Gauss消去法的基本思想是：用矩阵得初等行变换将系数 矩阵A化为具有简单形式的矩阵（如上三角阵，单位矩阵等）， 而三角形方程组是很容易回代求解的。
1 Gauss消去法的步骤
一般的，设有n个未知数的线性方程组为：
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
(4)
2x2 8x3 2 (5)
第2步，(4) 2加到（5）得等价的方程组：
2

2x2 2 x2 x3
x3
1 1
10x3 0 (6)
第3步，回代法求解（6）即可求得该方程组第的五解章方为程：组的直接解法 x3 0, x2 1, x1 12.
用矩阵法描述的约化过程即为：
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
(5.2.1)
设A （aij )nn ， X (x1, x2, xn )T，b (b1,b2, bn )T，
则（5.2.1）化为： AX b
第五章方程组的直接解法
为方便,设A
A(1)
(ai(j1) )nn,b
b(1)
(b1(1)
迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的的重要方法.
第五章方程组的直接解法
对于中小型方程组，常用直接解法。从本质上来说， 直接方法的原理是找一个可逆矩阵M，使得MA是一个上 三角阵，这一过程一般称为“消元”过程，消元之后再 进行“回代”，即求解MAx=Mb。本章讨论Gauss消去 法及其变形，以及一些情况下的特殊方法，最后进行误 差分析。