第五章 差错控制与信道编码内容简介学习要求学习目录结束放映作者：蒋占军内容简介——差错控制就是通过某种方法，发现并纠正数据传输中出现的 错误。
差错控制技术是提高数据传输可靠性的重要手段之一，现 代数据通信中使用的差错控制方式大都是基于信道编码技术来实 现的，本章对差错控制的基本概念以及常用的信道编码方案作了 比较详细的理论述。
返回结束学习要求1. 理解差错控制的基本概念及其原理等； 2. 掌握信道编码的基本原理； 3. 了解常用检错码的特性； 4. 掌握线性分组码的一般特性； 5. 掌握汉明码以及循环码的编译码及其实现原理； 6. 了解卷积码的基本概念。
返回结束学习目录5.1 概述 5.2 常用的简单信道编码 5.3 线性分组码 5.4 卷积码返回结束5.1 概 述本节内容提要：——差错控制是数据通信系统中提高传输可靠性，降低系统传输误 码率的有效措施 。
本节将介绍差错控制和信道编码的基本原理、 差错控制的实现方式等内容。
5.1.1 差错控制 5.1.2 信道编码 5.1.3 基于信道编码的差错控制方式上一页下一页5.1.1 差错控制差错控制 ——通过某种方法，发现并纠正传输中出现的错误。
香农信道编码定理 ——在具有确定信道容量的有扰信道中，若以低于信道容量的速率传输 数据，则存在某种编码方案，可以使传输的误码率足够小。
基于信道编码的差错控制 ——在发送端根据一定的规则，在数据序列中按照一定的规则附加一 些监督信息，接收端根据监督信息进行检错或者纠错。
上一页下一页5.1.1 差错控制差错分析 随机错误 ——主要由起伏噪声引起，错误码元分布比较分散且彼此统计独立； 突发错误 ——主要由脉冲噪声引起，错误码元分布集中且彼此具有某种相关性。
错误图样E = A+ BE中，“0”表示正确，“1”表示错误上一页 下一页5.1.1 差错控制随机错误错误图样A： B： E：突发错误错误图样上一页下一页5.1.2 信道编码不可靠数据传输系统 ——在不采用信道编码的时候，进入信道的数据码元相互独立，一 旦发生错误，将无法发现。
例如气象台向电视台传输气象信息。
上一页下一页5.1.2 信道编码信道编码的基本思想 ——将信息序列按照k位码元的长度分成若干个信息码组M，再将 信息码组输入到信道编码器，信道编码器按照一定的算法，产生 一个新的n位码字A输出，n>k； ——收端根据A中的相关性判断接收是否正确，并将其恢复成M。
——编码效率为k/n，即所谓编码效率是指信道编码后码字中信息 码元的数目与码字总码元数目之比 。
上一页下一页5.1.2 信道编码信道编码的冗余k 个许用码字n k 个禁用码字n 个n 位比特的码字——信息码组M 由k 个二进制码元（即比特）组成，所以就有2k 个M ；——A 长度为n ，n 位长度的码字共有2n 个，信道编码实质是通过一定的规则，从2n 个长度为n 的码字中选择了其中的2k 个，每个被选中的码字称为许用码字；——未被选中的2n -2k 个n 长的码字称为禁用码字，反映冗余大小。
5.1.2 信道编码实例分析I对本节开始时的例子采用(2，1)重复码: 11”----晴,“00”---雨许用码组为:“11”和“00”,禁用码组为：“01”和“10”此时接收端可以发现单个错误，但不能纠正错误也不能发现2位错误，如下图所示：5.1.2 信道编码实例分析II对本节开始时的例子采用(3，1)重复码: 111”----晴,“000”---雨许用码组为: 111和000禁用码组为：001、010、011、100、101、110将这种编码用来检错时，可以发现两位以内的错误将这种编码用来纠错，可以纠正一位错误，如下图所示：5.1.2 信道编码如此译码的原因是信道中错一位的概率远远大于错多位的概率例如要把该（3，1）重复码在有一条误码率为10-5的信道传输，则：——错一位的概率为：P 1= C 31 Pe (1－Pe)2= 3×10-5——错二位的概率为：P 2= C 32 Pe 2(1－Pe)= 3×10-10——错三位的概率为：P 3= Pe 3= 10-15这种译码方法称为极大似然译码法,其基本原理为:构造一个极大似然函数L,从2k 个许用码组中找到一个码字C i ，当R = C i 时,函数L 可以取得最大值,则认为C = C i 。
5.1.2 信道编码线性码和非线性码——若f (·)是线性函数称为线性码——若f (·)是非线性函数则称为非线性编码信道编码的分类)(M f A =信道编码器函数关系式为：分组码和卷积码——分组码：每个信息码组M 通过运算产生对应的A ，记作(n ，k )12,,2,1,0)(−⋅⋅⋅==k i i i M f A ——卷积码：每个A 是由m (m <2k)个M 联合运算得到，记作(n ，k ，m )⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=−++,2,1)12,,2,1,0(),,,()1(1m i M M M f A k m i i i i5.1.2 信道编码系统码和非系统码监督码元信息码元非系统码格式系统码格式k 位n-k 位k 位n-k 位n 位（其中k 位信息码元）检错码、纠错码和纠检错码——若A 中的前k 位或者后k 位就是信息码组M ，则称这种编码为系统码，否则称为非系统码。
5.1.2 信道编码几个概念码长——码字的码元数目，例如(n，k)分组码的码长为n码重——指码字中“1”的数目，记作W(A)。
例如W(110110)=4码距（汉明距）——两个等长码对应位不同的数目，记作d(A，B)，例如A=110110，B=101011，则d(A，B)=4码距与码重的关系——d(A，B)=W (A+B)5.1.2 信道编码最小码距（最小汉明距）12,,2,1,0;12,,2,1,0)},(d min{0−⋅⋅⋅=−⋅⋅⋅==≠k k j i j i j i A A d ——一个(n ，k )分组码的纠检错能力由其最小码距决定：————当最小码距d 0≥e +1时，能够发现e 个错误码元————当最小码距d 0≥2t +1时，能够纠正t 个错误码元————当最小码距d 0≥t +e +1时，能够纠正t 个错误码元，同时发现e 个错误码元(e>t )——(n ，k )分组码总共有2k 个码字，记作Ai （i =0,1,…,2k -1）,则这些码字两两之间都有一个码距，定义该(n ，k )分组码的最小码距为：5.1.3 基于信道编码的差错控制方式反馈纠错（ARQ）方式原理——采用检错码，接收端发现错误后，给发送端一个反馈信号，要求重新发送，直到正确为止。
特点——编码效率比较高，对信道的适应能力强——重发导致信道的有效利用率较低，通信的实时性较差应用——数据通信系统5.1.3 基于信道编码的差错控制方式前向纠错（FEC ）方式原理——采用纠错码,收端发现错误后自动纠正。
特点——无需重发，实时性好——编码效率较低，译码设备比较复杂——若错误超出纠错码纠错能力,只好将其抛弃应用——移动通信系统发收纠错码5.1.3 基于信道编码的差错控制方式混合纠错（HEC）方式原理——采用纠检错码，是ARQ和FEC方式的折衷方案特点——集合了ARQ和FEC的优点，在保证系统较高的有效性的同时,大幅度提高了整个系统的可靠性应用——移动通信系统，数据传输系统5.2 常用的简单信道编码本节内容提要：——检错码在ARQ系统中使用，其生成方式简单，易于实现，检错效果较好，因此得到广泛的应用，本节将介绍奇偶校验码、行列监督码、恒比码、正反码的编译码规则、特性以及应用情况。
5.2.1 奇偶监督码5.2.2 行列监督码5.2.3 恒比码5.2.4 重复码5.2.5 正反码5.2.1 奇偶监督码奇偶监督码——码重为奇数或偶数的(n , n-1)系统分组码)(0)(11010模二偶监督模二奇监督∑∑−=−===n i in i i a a ：：ITU-T 建议——同步数据传输使用偶监督——异步数据传输使用奇监督监督关系——假设将（n ，n -1）的奇偶监督码的码字记作：a n -1,a n -2,…,a 1,a 0，其中a 0为监督码元，其余为信息码元，则各码元满足：5.2.2 行列监督码行列监督码——对水平方向(共L行)和垂直方向(共M列) ,同时进行奇偶监督的码，记作（LM+L+M+1 , LM）。
——该码具有很强的纠检错能力，常用于短波散射信道等信道干扰比较严重的通信中。
——(66，50)行列监督码的一个码字5.2.3 恒比码恒比码——该码的特点是码字中1，0数目恒定，亦即1，0数目之比恒定。
——目前我国电传通信中普遍采用3：2码，又称5中取3码，如下所示——国际上通用的ARQ电报通信系统中，采用7中取3码。
5.2.4 重复码重复码——重复码只有一位信息码元，监督码元是信息码元的重复，所以仅有两个码字；——(3，1)重复码两个码字为000和111，其最小码距为3；——(n，1)重复码也只有全0码和全1码两个码字，其最小码距为n，却有2n-2个禁用码组，随着码长的增大，其冗余也变得很大；——该码随码长增加，具有很强的纠检错能力，但其编码效率的急剧下降；——重复码并不是一种优秀的编码方案，仅用于速率很低的数据通信系统中。
5.2.5 正反码正反码——该码型多用于10单位码的前向纠错设备中，可以纠正一位错误，发现全部两个以下的错误，以及大部分两个以上的错误，其本质就是五单位码的重复；编码规则——信息码组中1的数目为奇数时，监督码是信息码的重复即正码；信息码组中1的数目为偶数时，监督码是信息码的反码。
译码方法——首先将收到的码字重的信息位和监督位按对应位作模2运算，得到一个5位码组，若该码字中有奇数个1，则将其作为校验码组，若有偶数个1，则取其反码作为校验码组。
然后，按照下表进行纠检错译码5.2.5 正反码正反码错误判决表传输出错，且错误位数大于1其它形式4监督元有1位出错，在校验码组中“1”对应的位置4个“0”，1个“1”3信息元有1位出错，在校验码组中“0”对应的位置4个“1”，1个“0”2传输正确全“0”1错误情况判断校验码组的形式5.3 线性分组码本节内容提要：——本节将对线性分组码的特点、编译码规则以及应用情况作介绍，主要包括以下四方面内容。
5.3.1 基本概念5.3.2 线性分组码编码5.3.3 汉明码5.3.4 循环码5.3.1 基本概念1．有限域——定义了加法“+”和乘法“·”两种运算的有限集合；——q 个元素的有限域又称为伽罗瓦域，记作GF(q )；——对域的逆元操作又演绎出了减法“－”和除法运算“÷”，域具有封闭特性)GF()GF()GF()GF(q q q q ∈⋅∈+∈∈βαβαβα，，，则域中总包含惟一的加法恒等元“0”和乘法恒等元“1”ααααα=⋅=+∈10)GF(，，则q5.3.1 基本概念域中任意元素存在惟一的加法逆元域中任意非零元都存在惟一的乘法逆元于是减法和除法运算可定义为：),GF(,)()GF(,)(1≠∈⋅=÷∈−+=−−ββαβαβαβαβαβαq q 域中元素满足交换律、结合律和分配律运算规则：γβγαγβαγβαγβαβγαγβαγβαγβαβγαγβαγβα⋅+⋅=⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++=++=++=++∈)()()()()()GF(,,q5.3.1 基本概念GF(q )中定义的是模q 的加法和乘法，例如GF(2)的运算表如表所示：1110010+1100010·加法运算表乘法运算表5.3.1 基本概念2．矢量空间——所有n 维矢量组成的集合就构成了n 维矢量空间V n ；——矢量对矢量的加法构成一个加法交换群，即满足封闭性、结合律和交换律，有恒等元和逆元。