FP A
FPa B a M=FPaa C
FP
2FPa
D a
M图
C
D
A
B
FP
FQ图
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3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(3) 在集中荷载作用处： 剪力有突变，其突变值等于该集中荷载值。弯矩图有尖角，尖角 突出方向与荷载指向相同。
FP
FPa B
2) 二引直线相连：将相邻二控制弯矩用直线相连
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3.1 单跨静定梁
区段叠加法绘弯矩图小结（续）：
当二控制截面间无横向荷载作用时，用实线连接，即为该区 段弯矩图形。
当二控制截面间尚有横向荷载作用时，则用虚线连接，作为 新的“基线”，然后再按下面第3)步进行叠加。
1. 荷载与内力之间的微分关系
d FQ dx
q
dM dx
FQ
d2 M d x2
q
M FN
FQ
以上微分关系的几何意义是：
q
M +dM
x
FN +dFN
y
FQ +dFQ
dx
剪力图在某点的切线斜率等于该点的荷载集度，但两者的正 负号相反。弯矩在某点的切线斜率等于该点的剪力。弯矩在某点 的曲率与该点的荷载集度成正比。
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3.1 单跨静定梁
单跨静定梁的内力分析和内力图的绘制，是多跨梁和刚架受 力分析的基础，是本课程最重要的基本功之一。
常见的单跨静定梁
A
B
B
A
B
A
B
A
a) 简支梁
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b)简支斜梁
c) 悬臂梁
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d) 伸臂梁
3.1 单跨静定梁
3.1.1 用隔离体平衡法计算指定截面内力
B
A
B
q0l2/6
l
q0l/2
q
A
B ql2/2
l ql
ql2/8
ql2/2
A
ql2/8
B
l/2
l/2
q0l2/16
q0l2/6
A
q0l2/48
B
l/2
l/2
(弯矩图为三次抛物线)
(弯矩图为二次抛物线)
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3.1 单跨静定梁
2. 区段叠加法绘弯矩图
FP/2
第一，关于FQ的正负：AC段，M图“下坡”（即M为增函数），
则其相应的FQ为正（M的一阶导数FQ>0）；CB段，M图“上坡”(M为
减函数)，则其相应的FQ为负(M的一阶导数FQ<0)。
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3.1 单跨静定梁
3.1.4 根据弯矩图绘剪力图
10
5.22 E
0.22
G
FB
4.56
新基线
d) 三叠简支弯矩 A
C
10
D
5.22 E
10 0.22
G
FB
4.56
(2.25)
M图(kN·m)
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32.44 24.88
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3.1 单跨静定梁
区段叠加法绘弯矩图小结（续）： 第二种情况——对于曲线弯矩图叠加曲线弯矩图的情况：找出 一些控制截面弯矩值(至少三点)，中间连以适当曲线，主要是定好 弯曲方向，一般为连续光滑曲线。
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3.1 单跨静定梁
3.1.3 用区段叠加法绘直杆的弯矩图
1. 记住简单直梁在一些单一荷载作用下的弯矩图
●要求根据材料力学课程所介绍的方法，计算、绘制并熟记常见 几个最基本的弯矩图形。
●弯矩图绘在杆件受拉一侧，不标注正负号。
●可借用柔绳比拟的方法，定性地理解前面7个简支梁弯矩图的 轮廓图，即这些弯矩图就像一根两端绷紧的橡皮筋受图示力作用后的 形状。
11.22kN
2m
2m
19.78kN
3m
1m 1m 1m
b) 一求控制弯矩
A
C
D
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10
32.44
24.88
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5.22 E
10 0.22
G
F B0 4.56
3.1 单跨静定梁
区段叠加法分步示意图(续)
A
C
D
c) 二引直线相连
10 32.44
24.88
投影代数和。 3) 任意截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对某点（例如该截
面形心）的力矩代数和。
【注意】如果截面内力计算结果为正（或负），则表示该指定截
面内力的实际方向与所假设的方向相同（或相反）。
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3.1 单跨静定梁
3.1.2 内力图的特征
第二，关于FQ的大小：可由M图形的坡度（斜率）确定，即 FQ=DM/l，其中，l为该区段长度，ΔM为M图中该区段两端点二弯矩值 的高差。而且区段内M图形“坡度”愈陡，剪力值越大；“坡度”愈
缓，剪力值愈小；“坡度”为零（即M图为水平线），则剪力值为零
（无剪力）。若相邻两区段M图形“坡度”相同（即当有集中力偶作
面的内力；用区段叠加法绘弯矩图；根据弯矩图和所受荷载 绘出剪力图和轴力图。
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第3章 静定梁和静定刚架的受力分析
● 本章内容简介:
3.1 单跨静定梁 3.2 多跨静定梁 3.3 静定平面刚架 3.4* 静定空间刚架
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q0l
0.577l 6
l/2
l/2
(弯矩图为三次抛物线)
M1 A
M1 M2 2
M2
FP
B
M1
C
A
M1 M2
M1 M2
2
l/2
l/2
2
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FP l
B FP l FP
l
3.1 单跨静定梁
简单直梁在单一荷载作用下的弯矩图(续2)
M
q0
M
M
A
l
第四，平——利用隔离体平衡条件，直接计算截面的内力。
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3.1 单跨静定梁
A FAx
FAy
C MC FNC
FQC
MC FQC
B
FNC
C
FBy
1) 任意截面的轴力等于该截面一侧所有外力沿杆轴切线方向的
投影代数和。
2) 任意截面的剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的
FP
FPa B
FP
2FPa
A
a M=FPaa C
D a
A
M图
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C
D
B FP
FQ图
3.1 单跨静定梁
2. 内力图的特征
(5) M图的最大值发生在FQ图中FQ =0点处。
利用内力图的上述特征，可不列出梁的内力方程，而只须算 出一些表示内力图特征的截面(称为控制截面)的内力值，就能迅 速地绘出梁的内力图。
35
50
65
M 图（kN·m）
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3.1 单跨静定梁
区段叠加法绘弯矩图小结：
第一种情况——对于常见的直线图形叠加直线图形或直接图形 叠加曲线图形的情况，可按以下三个步骤进行：
1) 一求控制弯矩：首先，是求两杆端的弯矩，常可直接判断 （对于简支梁两端铰支处、悬臂梁的悬臂端，若无集中力偶作用， 其弯矩为零；若有集中力偶作用，其弯矩即等于该集中力偶）；其 次，是求外力不连续点处的弯矩（如集中力作用点、均布荷载的起 点和终点、集中力偶作用点两侧的弯矩），用隔离体平衡法即可方 便求得。
FQC C
B FBy
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3.1 单跨静定梁
第一，切——设想将杆件沿指定截面切开。
第二，取——取截面任一侧部分为隔离体。
第三，力——这是该方法最关键的一步。一是勿忘在隔离体 上保留原有的全部外力（包括支反力）；二是必须在切割面上添 加要求的未知内力。所求的轴力和剪力，按正方向添加（轴力以 拉力为正，剪力以绕隔离体顺时针方向转动者为正）；而所求的 弯矩，其方向可任意假设，只需注意在计算后判断其实际方向， 并在绘弯矩图时，绘在杆件受拉一侧。
3) 三叠简支弯矩：在新的基线上，叠加该区段按简支梁 仅承受跨间横向荷载作用时所求得的弯矩图(注意，竖标垂 直于原杆轴)。
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3.1 单跨静定梁
区段叠加法分步示意图
a) 计算简图
10kN·m A
15kN C
2kN/m D
5kN·m B
EF
10kN G
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3.1 单跨静定梁
3.1.4 根据弯矩图绘剪力图
利用微分关系 d M dx
FQ ，可方便地根据弯矩图绘剪力图。
1. 当弯矩图为直线变化时
FP/2
A
FP
B
A
C
B