第三章 系统的时间响应3-1 什么是时间响应？答：时间响应是指系统的 响应（输出）在时域上的表现形式或系统的动力学方程在一定初始条件下的解。

3.2 时间响应由哪两部分组成？各部分的定义是什么?答：按分类的原则不同，时间响应有初始状态为零时，由系统的输入引起的响应;零输入响应，即系统的 输入为零时，由初始状态引起的响应。

按响应的性质分为强迫响应和自由响应。

对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应和稳态响应。

3.3时间响应的瞬态响应反映哪方面的性能？而稳态响应反映哪方面的性能？ 答：瞬态响应反映了系统的稳定性和响应的快速性两方面的性能；稳态响应反映了系统响应的准确性。

3.4 设系统的单位脉冲响应函数如下,试求这些系统的传递函数. 1.25(1)()0.0125;t w t e -= (2)()510sin(44w t t t =++）；);t-3(3)w(t)=0.1(1-e(4)()0.01w t t =解：（1）11()()()()()00w t x t L X s L G s X s i --⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦()1X s i=(),()()G s G s L w t =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-1w(t)=L 所以，0.01251.251)()()0.0125 1.25t G s L w t L e s -⎡⎤===⎡⎤⎣⎦⎢⎥+⎣⎦((2)()()G s L w t =⎡⎤⎣⎦5510sin(4)sin 4cos422L t t t s s=++=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦5452()2222161616s s s s s s =++=++++113(3)()()0.1(1)0.11t G s L w t L e s s s ⎧⎫⎡⎤-⎪⎪⎢⎥==-=-⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎢⎥+⎪⎪⎣⎦⎩⎭0.1(31)s s =+ 0.01(4)()()0.012G s L w t L t s ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦3.5解11()()110.256min.t TG s xt e ou Ts T -==-+=（）因为一阶系统的单位阶跃响应函数为解得，1(2)(),()10121111()()2211G s r t At t Ts A T T t x t L AL A t T Te or Ts s Ts T s s ===+⎡⎤⎡⎤---⎢⎥==-+=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为一阶系统在输入作用下的时间响应()0.256()()()(1) 2.56(1)t t tT t T Te T e t r t x t At AAT e e or----+=-=-=-=-当t=1min e(t) = 2.53度3.6解解：（1）该系统的微分方程可以表示为o i u iR u += ω⎰=idt C u o 1其传递函数为 111111)()()(+=+=+==Ts RCs CsR Cs s u s u s G i o 其中T=RC 。

显然，该系统为一阶系统，其单位脉冲响应函数为T te Tt -=1)(ω，单位脉冲响应如图（b ）；其单位阶跃响应函数为Ttou ex --=1，单位阶跃响应如图（c ）；其单位斜坡响应函数为Tt or TeT t x -+-=，单位斜坡响应如图（d ）。

（2）标准积分器的传递函数为 Tss G 1)(= 其中T=RC 其单位脉冲响应函数为T t 1)(1=ω；其单位阶跃响应函数为Ttt x ou =)(1；其单位斜坡响应函数为Tt t x or 2)(21=，显然，用图（a ）所示网络代替积分器，存在误差e(t)。

它们分别为：（a ） 当输入为单位脉冲函数时)1(1)()()(1T te T t t t e --=-=ωω若t<<T, 0)1(1)()()(1=-=-=-T t e T t t t e ωω若t=T, )11(1)1(1)()()(1e T e T t t t e T t -=-=-=-ωω若t>>T, Te T t t t e T t 1)1(1)()()(1=-=-=-ωω（b ） 当输入为单位阶跃函数时T tou ou e T tt x t x t e -+-=-=1)()()(1若t<<T, 01)()()(1=+-=-=-T tou ou e T tt x t x t e若t=T, e e T t t x t x t e T t ou ou 11)()()(1=+-=-=-若t>>T, )(11)()()(1T t Te T t t x t x t e T t ou ou -=+-=-=-（c ） 当输入为单位斜坡函数时T tor or Te T t Tt t x t x t e --+-=-=2)()()(21 若t<<T, 0)()()(1=-=t x t x t e or or若t=T, )15.0()()()(1e T t x t x t e or or -=-=若t>>T, )5.0()()()(1T t Ttt x t x t e or or -=-=从以上分析可知，用图（a ）所示系统代替积分器时，只能用在t<<T 段，才能保证误差很小。

当T 增大时，其近似程度提高。

3.7已知控制系统的微分方程为2.5()()20()y t y t x t '+=，试用Laplace 变换法，求该系统的单位脉冲w ()t 和单位阶跃响应()ou x t ，并讨论二者的关系。

解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为()208()() 2.510.4Y s G s X s s s ===++ 系统的单位脉冲响应为0.488()[()()][*1][]80.40.4t w t L G s X s L L e s s -'''====++ 系统的单位阶跃响应为8111()[()()][*]20[]0.40.4ou x t L G s X s L L s s s s '''===-++1120[]0.4L s s '=-+比较()w t 和()ou x t ，有()w t =()ou x t '或()ou x t =0()tw t dt ⎰。

由此可得结论：系统对某种输入的导数的响应等于系统对该输入的响应的导数；系统对某种输入的积分的响应等于系统对该输入饿响应的积分。

3.9已知单位反馈系统的开环传递函数为(s)=求：（1）K=20，T=0.2；（2）K=16，T=0.1；（3）K=2.5，T=1等三种情况是的单位阶跃响应。

并分析开环增益K 与时间常数T 对系统性能的影响。

解：由于单位反馈系统，其前向通道传递函数与开环传递函数相等，所以系统的闭环传递函数为由于为一阶系统，故时间常数为。

故单位阶跃响应为当K=20，T=0.2时，=0.952（1-）当K=1.6，T=0.2时，=0.615（1-）当K=2.5，T=1时，=0.714（1-）从上面可知：当K值增大时，系统的响应应快速性好；T值减小是，系统的响应快速性变好。

3.11解解：简化传递函数方框图有ω，且显然，这是一个简单的二阶系统。

无阻尼固有频率为nω2n则，阻尼比为，有阻尼固有频率为3.12图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求： （1）阻尼比ξ及无阻尼比固有频率w n ； （2）求该系统的M p ，t p ，t s 和N 。

解：G k (s)=9(1)s s + H(S)=1 G B (s)=9(1)91(1)s s s s +++ =929s s ++ 该系统为一简单的二阶系统，其中w n =3s-1, ξ=16w d =w 21ξ-2116⎛⎫- ⎪⎝⎭-1=2.958s -1 σ=ξw n =0.5β=arctan w d σ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=arctan5.916=1.403 则单位阶跃响应参数t r=w dπβ-=0.587st p =w dπ=1.062sM p =w de σπ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭=0.538=53.8%过度过程时间t s若△=2%，t s =4σ=8s若△=5%，t s =2s dt w π3σ=6s振荡次数N若△=2%，N=2s dt w ππξ=3.7≈4若△=5%，N=2s dt w ππξ≈33 . 12 图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，试求：（1） 阻尼比ξ及无阻尼固有频率 ωn；（2） 该系统的Mp，t p ，t s 和 N 。

解： ΘG K （s ）=)1(9+s s H (s) = 1G B（s ）=1)s(s 911)s(s 9+++ = 992++s s显然，该系统为一简单二阶系统，其中ωn= 3s 1-；ξ= 61，即它是一个二阶欠阻尼系统。

ωd= ωnξ21-=3 ⨯ )61(21-s 1- = 2.958s1-σ = ξωn= 3 ⨯ 61= 0.5 β = arctan(σωd ) = arctan5.916 = 1.403则单位阶跃响应参数为 上升时间t r = ωβπd- =958.2403.114.3- s = 0.587 s峰值时间t p =ωπd=958.214.3 s = 1.062 s 最大超调量 Mp=edπσω)(- =e14.3958.25.0⨯-= 0.538 = 53.8%过度过程时间若 ∆= 2%t s =σ4 = 5.04s = 8 s若 ∆= 5% t s = σ3= 5.03s = 6 s振荡次数 N =ωπdst2若 ∆= 2% N =ωπdst2 =πξξ212- = 3.7 ≈ 4若 ∆= 5% N =ωπdst2 =πξξ215.1- = 2.828 ≈ 33.13 试求下述系统在单位斜坡函数r （t ）=t （t ≥0） 输入的响应y(t)和误差函数e(t)。

1(1)()1G s Ts =+ 222(2)()(01)2n n n G s s s ξξωωω=≤<++21[()]L r t s =解：（1）∵22221111()()11s s T T Y s G s s T s s s T =⋅=⋅=-+++221()[]1tTs T T y t L t T Tes s T -=-+=-++∴tt TT--∴ e(t)=t-y(t)=t-(t-T+Te )=T-Te2212n n s s ωξωω⋅⋅++2n 221(2) ∵ Y(s)=G(s)=s s22(cos )n td d net t ξωξξωωωω-+n2∴ y(t)=t-tn ξωξωω≥n -d 2e =t-0)ωω=d 其中，tξωξωω≥n -d n 2e 则 e(t)=t-y(t)=0)3.15 要使图（题3.15）所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间p t 为2秒。