高斯曲率的意义与作用1引言在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点．2 预备知识2.1 主曲率2.1.1 主曲率的定义[1](99)p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率.由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率．2.1.2 主曲率的计算公式主曲率满足0N N N N L k E M k F M k F N k G --=--即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p2.1.3 有关主曲率的一个命题[1](102)p曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值.2.2 高斯映射（球面表示）设σ是曲面S ：(,)r r u v =上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量(,)n n u v =，然后把n 的始端平移到单位球的中心，则n 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v 的点对应．因此，曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域*σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域*σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称高斯映射．2.3 高斯定理[2](147)p定理 曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量．高斯定理说明,曲面本身蕴含着一定的弯曲性质,这是曲线所不具有的特点．例如球面一定不会保持长度不变而摊成一块平面,反过来平面无论如何不可能保持长度不变而弯成一个球面,因为球面和平面的高斯曲率是不同的．3 高斯曲率的定义[1](102)p曲面S ：(,)r r u v =的主曲率1k ，2k 是曲面的切平面W 变换的两个特征值，分别是法曲率的最大值与最小值，也即曲面主方向对应的法曲率．设1k ，2k 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12k k 称为曲面在这一点的高斯曲率，通常以K 表示．由预备知识可知，利用一元二次方程的根与系数的关系便得高斯曲率 K =12k k =22LN M EG F--, 对于曲面的特殊参数表示(,)z z x y =，由于21E p =+，F pq =，21G q =+，2221EG F p q -=++，L =，M =，N =，因此得 2222(1)rt s K p q -=++． 4 高斯曲率的几何意义曲面的小区域σ在球面表示（高斯映射）下对应到球面的区域*σ．如果当曲面在这块σ上弯曲的程度越大时，它的对应球面的区域*σ也就越大．因而σ的弯曲程度可以用*σ的面积对于σ本身的面积的比值来刻画．曲面在已知点处的弯曲程度自然就用这个比值当σ收缩成点P 的极限来衡量．命题[1](102)p 曲面在P 点邻近的区域σ在单位球面上表示是*σ，当σ区域曲面上已知点P 时，*σ的面积与区域σ的面积之比趋于曲面在P 点的高斯曲率的绝对值．即*lim p p K σσσ→=的面积的面积下面给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义．由于u v n n ⨯=K （u v r r ⨯）其中u v r r ⨯是曲面的法向量，u v n n ⨯是球面的法向量．K >0表示这两法向量指向一致，因此从 u r 到 v r 的旋转方向和 u n 到 v n 的旋转方向相同．K < 0表示这两法向量的方向相反，从而 u r 到 v r 的旋转方向和从 u n 到 v n 的旋转方向相反．5 高斯曲率的作用5.1 曲面的高斯曲率确定了曲面在一点邻近的结构[3](1)P曲面在一点邻近的结构与其在该点的高斯曲率有关，该点与附近点的高斯曲率的比较，可以反映该点附近的形状变化．注意到曲面的高斯曲率与2LN M -同号的,而 22222()()0u v u v u v EG F r r r r r r -=⋅-⋅=⨯>，总是正的．因此K 的符号决定曲面在所考虑点的邻近结构．分三种情形加以讨论：1) K 0>时，即20LN M ->时，给定点P 为椭圆点．这时主曲率1k 与2k 同号，不妨设10k >，20k >，那么对应于主方向的一条法截线朝法向量n 的正侧弯曲．由欧拉公12cos sin n k k k θθ=+所有法截线的曲率n k 都时正的．因此，所有法截线都朝向量n 的正侧弯曲，所以曲面沿所有都朝同一侧弯曲．当1k ，2k 都是负的时候，所有的法截线都朝n 的负侧弯曲．总之，曲面在点P 的邻近在切平面的同一侧，故当K 0>时，曲面在椭圆点P 的邻近的形状近似于椭圆抛物面．2）当K 0<时，即20LN M -<时，给定点P 为双曲点．这时的主曲率1k 与2k 异号，不妨假设10k <，20k >，那么对应的两条法截线中有一条朝n 的负侧弯曲，另一条朝n 的正侧弯曲．由欧拉公式12cos sin n k k k θθ=+得到各个方向的法曲率n k 的变化情况．当0θ=时，120k k =<时，当2πθ=，120k k =>，从而当θ从0变到π时，K 的符号改变两次零值．此时曲面在P 点的邻近的形状近似于双面抛物面．3） 当K =0时，即20LN M -=时，该点P 为抛物点．因此120K k k ==，至少有一个主曲率等于零，不妨设120,0k k >=，那么对应于第一主方向的法截线朝n 的正侧弯曲，另一条法截线一般以P 为拐点．因此一般第二条法截线从它的切线的一侧朝另一侧弯曲，曲面在点P 的邻近的形状近似于抛物柱面．例[2](115)p 设环面的方程是((cos )cos ,(cos )sin ,sin )r a r u v a r u v r u =++，其中,r a 是常数，且0r a <<．考察环面上各种类型点的分布．解 直接计算得2E r =，0F =，2(cos )G a r u =+，L r =，0M =,cos (cos )N u a u =+，因此 22cos (cos )LN M u K EG F r a r u -==-+． 由此可见，K 的符号由cos u 的符号而定．当u =322ππ或时, K =0,这些点是抛物点分布在环面最上面和最下面的两个平行圆上． 当322u ππ<<时, K <0,这些点是双曲点,分布在环面的内侧． 当02u π≤<,或322u ππ<≤时, K >0,这些点是椭圆点,分布在环面的外侧． 很显然,曲面上的椭圆点集和双曲点集都是开集,它们的边界点必是抛物点．5.2 运用曲面的常高斯曲率确定曲面的第一基本形式假定曲面S 的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系(,)u v ．因而它的第一基本形式为22(,)I du G u v dv =+，满足条件：(0,)1,(0,)0u G v G v ==根据高斯曲率的内蕴表达式，有uu u v K ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪=+=⎬⎪⎭u的函数，满足二阶常系数齐次方程0uu +=初始条件是：(0,)1,(0,)0u G v G v ==根据K 的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是：1）K 0>)=; 2) K 0=1=; 3) K 0<)ch =．则常曲率曲面的第一基本形式分别为：若S 有正常数高斯曲率K ,222)I du dv =+；若S 的高斯曲率为零，22I du dv =+；若S 有负常数高斯曲率K，222()I du dv =+． 由上面的结论可推出：有相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应．例[2](112)P 考虑第一基本形式为22221()4du dv I c u v +=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦的曲面. 通过直接计算可以知道,该曲面的高斯曲率K 是常数c ．当c ≥0时,该抽象曲面可以定义在整个(,)u v 平面上;当c <0时,该抽象曲面的定义域是： 224u v c+<-． 设0c =,则I =22du dv +,所以这个抽象曲面就是普通的平面．它上面的测地线就是普通的直线．设0c >,则这个抽象曲面可以看作3E中半径为作球极投影所得到的象． 在0c <的情形,在圆224u v c +<-内赋予度量22221()4du dv I c u v +=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦的抽象曲面成为Klein 圆． 5.3 高斯曲率与可展曲面的联系由直线的轨迹所成的曲面称为直纹面，其参数表示为()()r a u vb u =+，()a u 为直纹面的导线的参数表示，()b u 时过导线上()a u 的直母线上的向量，直纹面分为两情形：1οa b '⨯不平行于b b '⨯，即(,,)0a b b ''≠，这种直纹面是不可展曲面;2οa b '⨯平行于b b '⨯，即(,,)0a b b ''=，这种直纹面是可展曲面．由2ο知，()()r a u vb u =+是可展曲面的充要条件是(,,)0a b b ''=，如果按公式22LN M K EG F -=-,求()()r a u vb u =+的高斯曲率，则222(,,)()b a b K EG F ''-=-． 当(,,)0a b b ''=时，必有(,,)0b a b ''=，则0K =．故当()()r a u vb u =+的高斯曲率为零时，这个直纹曲面为可展曲面．这一结论也可以这样叙述：曲面为可展曲面的充要条件时它的高斯曲率为零．以上对曲面在一点邻近的结构的研究，对运用常数高斯曲率确定曲面的第一基本形式的研究及曲面为可展曲面的充要条件的研究，可以看出，高斯曲率是曲面的内蕴量，在《微分几何》曲面论的研究中发挥了重要作用．。