多角度、多层次的变式教学——《高中数学变式教学的研究》开题报告黄坪数学变式教学已经成为中国数学教师课堂教学的一种有意识的行为。

在每一节数学课里，老师从课题引入到数学概念的表述，再到概念的应用，老师设计了与课题相关的变式教学链，虽然课堂变式教学的环节不一定做到丝丝入扣，但围绕一个新的知识或重要的知识所展开的变式训练，其目的是为了促进对本节课教学内容的理解和掌握。

从问题解决的角度来看变式教学，就是变化不同问题的类型，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，不断地迁移事物的非本质属性。

数学变式教学，就是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度（情形、背景、设问方式等）不同层次（横向联系、纵向引深等）的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系并不断提升数学思维品质的一种教学设计方法。

通过变式教学，一题多用，多题归类，唤起学生的好奇心和求知欲，从而保持学生主动参与教学过程的兴趣和热情，提高学生举一反三解决数学问题的能力。

一、从两大方面来看变式教学的必要性1．从学习的认知心理方面（1）概念性的理解需要进行知识的变式——多角度的变式数学学习离不开对概念的掌握，数学中的概念很多，学生初次接触一个新的概念，总是寻找和原先知识经验里相一致的东西，这在学习建构主义的理论上叫做知识的“同化”；如果当所学的新知识（概念）和原先的知识不一致的时候，学生就打开一个新的知识窗口接受它，这叫知识的“顺应”。

概念的顺应过程是学生学习中最为艰苦的过程，变式教学要为学生的知识顺应做好铺垫性的准备，让学生准确地理解和掌握新知识的概念，使学生有一个先入为主的知识正迁移。

如，均值不等式教学的概念性变式：①均值不等式的引入： 右图,由正方形的面积不小于四个全等的直角三角形的面积，得到：222a b ab +≥；又由中间的一个小正方形的面积，得到：2()0a b -≥。

将上式中0,0a b >>推广到,a R b R ∈∈，不等式仍成立。

②均值不等式的得出：将基本不等式222a b ab+≥特殊化，得到： 当0,0a b >>时，a b +≥，即2a b +≥，当且仅当ab =时等号成立。

③均值不等式的几何解释：图中半圆中所有半径就是算术平均数，CD 就是几何平均数。

几何平均数的构作。

均值不等式的几何解释()OD CD ≥。

若0a b <<，则2a b a b +<<<。

④均值不等式的实际应用情景：情景1：在周长相等的矩形中正方形的面积最大。

设矩形长、宽分别为,a b ，则正方形的边长为2a b +，因为2a b +≥，所以222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，得证。

在面积相等的矩形中正方形的周长最小。

设相等面积为S ，矩形的一边长为a ，则另一边为S a ，矩形周长为2()S a a +，正方形的周长为S a a +≥2()S a a+≥。

实际上在均值不等式中，我们把,a b 看成矩形的两条边，若由矩形的周长l 为定值，则面积2224a b l ab +⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，即矩形为正方形时，面积取得最大为216l ；若有矩形的面积S 为定值，则周长2()a b +≥当且仅当a b =时，即矩形为正方形时，周长取得最小为情景2：哪种走法的平均速度大？哪位旅客先到？两位旅客从同一地点出发，他们沿同一方向走到同一目的地，旅客甲先用一半时间以速度a 行走，另一半时间以速度()b a b ≠行走；旅客乙有一半路程以速度a 行走，另一半路程以速度()b a b ≠行走，问哪种走法的平均速度大？哪位旅客先到？ 设甲用的时间为1t ，则112()2t s a b s t a b +=⇒=+，则甲的平均速度12a b v +=， 设乙用的时间为2t ，则2()222s s s a b t a b ab +=+=，则乙的平均速度22ab v a b=+， 由均值不等式得到22a b ab a b +>+，所以21t t >，12v v >。

甲先到，甲的平均速度大。

情景3：某种商品哪种提价方案提价最多？（0m n >>）方案1：先提价的百分率为m ，再提价的百分率为n ；方案2：先提价的百分率为n ，再提价的百分率为m ；方案3： 两次提价的百分率均为2m n +。

因为221(1)(1)22m n m n m n mn ++⎛⎫⎛⎫+>++⇔> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以第三种方案提价最多。

一个新的概念，从引入到概念的得出，再到对概念的多角度的理解，其中引入是概念的孕育过程，不能匆匆而过。

在新概念的变式教学过程中，考虑到学生是新学一个知识的概念，在学习的起步阶段，应充分地进行多角度的变式，适当地进行多层次变式。

因为在多层次变式的过程中，要从问题解决的技巧和方法层面进行变式，思维层次较高，所以要有所侧重和不同。

（2）过程性的掌握需要进行知识的变式——多层次的变式数学思维活动过程的基本特征是层次性。

这种层次性既可以表现为一系列的台阶，也可以表现为某种活动策略或经验。

因此，过程性变式的主要教学含义是在数学教学过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题，积累多种活动经验。

分式不等式的解法教学多层次变式：第一层次：在基础题层面上作出的变式： ①解不等式：2101x x +<-； ②解不等式：2101x x +≥-； ③不等式101ax x +<-的解集是1(,1)2-，求实数a 的值。

变式层次依次加深，问题③是问题①的逆向演变。

第二层次：从知识的联系上作出的变式： ④若分式函数211x y x +=-的图像所对应的点在第二象限，求x 的取值范围； ⑤若一元一次方程(1)21a x x -=+的解为正数，求实数a 的取值范围； ⑥设211x a x +=-，(1,)x ∈+∞，求a 的取值范围。

问题④转化为分式不等式组求解问题；问题⑤把解x 用a 表示出来，再转化为分式不等式求解问题；问题⑥既可以看成分式方程，也可以看成分式函数，反过来用a 表示x ，转化为关于a 的分式不等式问题。

问题⑤、⑥在解法上是相同的，但对刚学分式不等式解法的学生来说，问题⑥比问题⑤难一些。

第三层次：从参数的研究上作出的变式： ⑦不等式211x a x +>-在12a <<上恒成立，求x 的取值范围； ⑧不等式211x a x +>-在12x <<上恒有解，求a 的取值范围。

问题⑦转化为解不等式2121x x +≥-；问题⑧转化为21(1)x a x +>-， 即(2)1a x a -<+，再讨论a 与2的大小，分离出x ，并化归为问题⑦的类型。

2．从解决问题的方法方面来看数学学习的过程从问题解决的角度来看，是发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的过程，在问题解决的全过程中，我们试图在多种解决问题的方法中找到最好的方法，因此有必要采用一题多解的方法，从而在多种解法中挑出最好的方法；同时我们也希望一个好的方法能够解决一类问题，也就是多题一解的问题。

一题多解，是数学思维的发散；多题一解，是数学思维的聚合。

两种思维方式的协调发展，有利于学生数学创造性思维的发挥。

（1）一个方法解决多个问题的多题一解需要侧重多角度的变式我们再回到刚才的均值不等式的教学上来。

一个方法，用均值不等式解决问题，作多角度的变式。

在多角度的条件变式上进行多层次递进：①若0ab >，则2b a a b+≥，当且仅当a b =时取等号； ②若0ab <，则2b a a b+≤，当且仅当a b =-时取等号； ③若0x >，则12x x+≥，当且仅当1x =时取等号； ④当1x >时，求11x x +-的最小值，并指出取得最小值时x 的取值范围； ⑤当1x >时，求211x x x -+-的最小值，并指出取得最小值时x 的取值范围。

在多层次变式基础上的多角度结论探索：⑥若0,0x y >>，且1x y +=，你能得到哪些成立的不等式？2124x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭； 22211()22x y x y +≥+=；≤1124x y x y y x x y x y x y+++=+=++≥； 0,0,,a b a b >>为常数，则()()a b a x y b x y ay bx a b x y x y x y+++=+=+++。

2a b ≥++=。

（2）多个方法解决一个问题的一题多解需要侧重多层次的变式我们继续来研究上面提到的问题：不等式211x a x +>-在12x <<上恒有解，求a 的取值范围。

层次1：因为1x >，所以(2)1a x a -<+。

当2a =时，适合；当2a >时，12a x a +<-，要在12x <<上恒成立，122a a +≥-，解得25a <≤；当2a <时，12a x a +>-，要在12x <<上恒成立，112a a +≤-，解得2a <。

综合得5a ≤。

层次2：令213211x y x x +==+--在12x <<上，函数是单调的减函数，得到函数的值域是(5,)+∞，故所求a 的取值范围是5a ≤。

层次3：因为1x >，所以(2)1a x a -<+，即()f x =(2)10a x a ---<在12x <<上恒成立，所以(1)0,110,5(2)02410f a a a f a a ≤---≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤---≤⎩⎩。

没有学分式函数求值域的方法，用层次1的分类讨论法，繁了一点；层次2的方法直截了当；层次3的方法非常巧妙，用到了一次函数的单调性。

从这个例子我们可以看到，一题多解不一定要集中在一节课里完成的，可以分散到数学学习的某个阶段和较长的一个时间区间内进行的，这就需要教师对高中阶段的数学教学有一个整体的规划。

二、多角度、多层次变式教学的策略和方法1．多角度方面的变式（1）条件的等价变式；（2）增加和减少条件的不等价变式；（3）从问题的侧面和反面来思考；（4）从充要性的角度对问题进行变式；（5）通过类比、归纳、推广等数学思维方法进行变式。

如，若0,0x y >>，且1x y +=，则114x y+≥。

上面我们进行了归纳性推广，下面我们再作类比性推广，推广到三个元素得到：若0,0,0x y z >>>，且1x y z ++=，则1119x y z ++≥；进一步推广到(2,)n n n N ≥∈个元素，得到若(1,2,,)i a i n =，且11n i i a==∑，则211n i in a =≥∑。