《固体物理》练习题一答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 1. （ 六角 ）（ 6 ）2. ( 夫伦克尔缺陷和肖脱基缺陷 )。

3.（ 费米面 ），（ 费米能级 ）。

4.（ 面心立方 ）． 5．（ 6）． 6.二、简答题（本题共３小题，每小题５分，共１５分）１．有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？请解释。

答：不对。

自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量称为晶体结合能。

而晶体的内能是指原子的动能加原子间的相互作用势能之和。

0K 时，原子还存在零点振动能。

但零点振动能与原子间的相互势能的绝对值相比小得多，所以在0K 时原子间的相互势能的绝对值近似等于晶体的结合能。

２．请解释什么是布洛赫电子和布洛赫波。

答：布洛赫电子亦称“晶体电子”。

晶体是由许多原子按周期性排列所构成，故晶体中电子受到周期性原子势场作用，其波函数被晶格周期势场调制，变成由周期函数所调制的平面波，称为布洛赫波。

３．试解释本征半导体与绝缘体能带结构的基本特征。

解：在低温下，本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同，但本征半导体的禁带较窄，禁带宽度通常在2个电子伏特以下。

由于禁带窄，本征半导体禁带下满带顶电子可以借助热激发，跃迁到禁带上面空带的底部，使满带不满，空带不空，二者都对导电有贡献。

4、答：原子电负性的差别大的形成离子晶体，差别小的易形成分子晶体。

5、答：晶体中的一种线缺陷。

主要形成机制是滑移，位错线运动方向与滑移方向相同，好似晶体中嵌入半个原于平面，在原子平面的中断处就是一个刃位错。

小角晶界可以看作是一系列刃位错的组合。

6、答：对于导体材料，晶体能带中除了满带外，存在不满带，其价电子能带是不满带。

对于本征半导体，晶体能带中除了满带外，就是空带，而且，最高的满带与最低的空带之间的禁带宽度较较窄。

满带电子是不导电的，而不满带电子可以导电，导体之所以能导电，是因为存在不满带。

三、画图题（本题共1小题，每小题10分，共10分）1、请在下面两个立方体中画出立方晶系的（００１）和（０１１）晶面．2.四、计算证明题（本题共４小题，每小题10分，共40分）１．请分析体心立方和面心立方结构中格点分布最密的面是哪个面，以及最密的线上格点的分布周期是多少？ 答：（1）体心立方晶格的最密的面是（110）面，--------------------------------（3分） （2）面心立方晶格最密的面是（111）面，----------------------------------（3分）Oa rb rc r Oa rb rc rOa rb rc r Oa rb rc r（3）体心立方的格点分布最密的线上格点的周期分别为2， ----------------------（2分） （4）面心立方的格点分布最密的线上格点的周期分别为2。

-----------------------（2分）２．求二维一价离子晶体的马德隆常数α，（选择ＡＢＣＤ为中性离子组）。

解：最近邻距离为a ，O 为中心参考离子，我们选取中性离子组ABCD 来计算。

------(2分) 格点分布情况：最近邻 4个 异号 贡献因子1/2 1j a =-----------------------------------（2分） 次近邻 4个 同号 贡献因子1/4 j a =----------------------------------（2分） 则根据公式1Nj ija α≠=±∑----------------------------------------------------（2分）可得41124142 1.293α=⨯⨯-⨯=≈--------------------------（2分）３．试写出一维近自由电子近似的第 n 个能带（ n=1 ， 2 ， 3 ）中，简约波数2/k a π=的零级波函数。

解：设第n 个能带的电子零级波函数波矢为22n k m aaππ=+，则有--------------------------（1分）2(1)2m n n k m a a a a ππππ--<=+⋅<-→12n m -=（n 为奇数）-----------------------------（2分）(1)22m n n k m a a a a ππππ-<=+⋅<→2nm =-（n 为偶数）-----------------------------------（2分）BC二维一价离子体系∵0()nnik x k x ψ ----------------------------------------------------------------------------------------（2分）∴第一能带：m=0，12()i xa k x πψ= ----------------------------------------------------------（1分） 第二能带：m=-1，2()022()i x i x i x a aa k x e πππψ--== ---------------------------------（1分）第三能带：m=1，325()022()i x i x i x a a ak x e πππψ==------------------------------------（1分） ４．请利用公式32()(2)()V dsN E E k π=∇⎰r ，证明三维自由电子气的能态密度为：3/222()()2V m N E π=h ， 其中Ｖ为三维电子气的体积． 证明：自由电子的能量本征值：()222k E k m=v v h ，----------------------------------------------------（4分））则： ()()()32233222224222222k dsVV k V m N E k Emππππ⎛⎫=== ⎪∇⎝⎭⎰h h （6分）5、答：在一个面心立方晶格中，一个立方体晶胞中包括1186482⨯+⨯=，-------（2分） 设刚球半径为r ，4个刚球所占体积为3443r π⨯， 面心立方晶格的一个立方体晶胞的体积为3a ，这里a 与r 4r =------------------------------------------------------------（2分）所以，二者之比为334(4)/36x r a π=⨯=。

----------------------------------------（4分） 6、解：由已知可得：28()nmu r rrrrαβαβ=-+=-+；-----------------------------------------（2分）在平衡间距处，有0r du dr=----------------------------------------------------------------------（2分）即：3900280r du drr r αβ=-=-------------------------------------------------------------------------（2分）可得：1604r βα⎛⎫=⎪⎝⎭----------------------------------------------------------------------------------（4分）7、解：设第n 个能带的电子零级波函数波矢为22n k m aaππ=+，则有--------------------------（2分）2(1)2m n n k m a a a a ππππ--<=+⋅<-→12n m -=（n 为奇数）-----------------------------（2分）(1)22m n n k m a a a a ππππ-<=+⋅<→2nm =-（n 为偶数）-----------------------------------（2分）∵0()nnik x k x ψ= -----------------------------------------------------------------------------------------（2分）∴第三能带：m =1，325()022()i x i x i x a a ak x e πππψ==-------------------------------------（1分）第四能带：m =-2，4229()022()i x i x i x a a a k x e πππψ-⨯-==---------------------------------（1分） 8、解：自由电子的能量本征值为()222k E k m=v v h ------------------------------(2分)自由电子能态密度为()()()32233222224222222k dsVV k V m N E k Emππππ⎛⎫=== ⎪∇⎝⎭⎰h h （3分）由费米能级的物理意义可得()0F E N E dE N =⎰----------------------------（3分） 这里令 N n V=则可得()222332F E n mπ=⋅h ---------------------------------------------（2分）五、综合分析一，解：（1）原子间弹性恢复力系数：202222a Ad U d dr U d a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=δβ 已知一维单原子链的色散关系是())(sin cos aq m aq m 2141222ββω=-=或)sin(aq m 212βω=所以，)sin()sin()sin(aq aq m A a aq m 212122120ωβω=== （2）设振动模式数为原子总数N ，q 的分布密度为L/2π，则dq 范围内的振动模式数为dq Ldn π22= ()()()21220212201221221ωωπωωπωωω-=-===N a L dq d dq dn d dn g（3）频率为ω的格波的热振动能为1-T k Be ωωηη整个晶格热振动能为()⎰-=001ωωωωωT k B e d g E ηη 则比热为()220202120ωωωωπωωω--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰T k T k B BV B B e d e T k a L k dT dEC ηηη二，解：（1）由紧束缚近似理论知：()ssR k i R ss seR J J k E ⋅-∑--=0ε)(------------（4分）对于体心立方晶格，最近邻数为8，且()()()128...s s s J R J R J R ===u r u r u r=J 1128,,...s s s R R R v v v分别为：(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),2222(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),2222a a a aa a a a--------------------------（4分）则有()()()()()22221x y z x y z x y z x y z ssaa a ai k k k i k k k i k k k i k k k ik R sR J R eJ e e e e --++--+-+----+-⋅⎧=+++⎨⎩∑r u r()()()()2222x y z x y z x y z x y z aaaai k k k i k k k i k k k i k k k ee e e--+---------++⎫++++⎬⎭化成三角函数为： 01()8cos cos cos 222y s x z sk a k a k a E k J J ε⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭r----------（8分）（2）当0→k 时，有......)(cos+-=2212112a k a k x x -------------------（2分） 对其它同类项作同样处理后，得到：22201111111()8[1()][1()][1()]222222ss x y z E k J J k a k a k a ε⎧⎫=---⋅-⋅-⎨⎬⎩⎭r取一级近似，忽略高次交叉项，得到：2222220101(){[]}ss x y z s E k J J a k k k J J a k εε=--++≈--r --------------------------（2分）可见，()E k r与kr 的方向无关，即等能面为球面。