ˆ1 ˆ 0


ˆ1 ˆ p 1 a
ˆ p 2
ˆ p 2
ˆ a 2 ˆ ˆ 0 a p
和 ˆ ˆ （ aˆ ˆ 推方法：
2 0 1
1
ˆ 2 ˆ 2 a ˆ p ˆ p） a
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§6.1 时间序列简介
1. 时间序列是指存在于自然科学或者社会科学中的某一变量或指标的数值或 者观测值，按照其出现的时间先后次序，以相同的或者不同的时间间隔排列的一 组数值，如我们观测声音、电流和电压信号等。 2. 时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类： （1）按研究系统复杂程度不同分：线性时间序列和非线性时间序列； （2）按研究系统的确定性程度不同分：随机时间序列和确定性时间序列； （3）按研究系统的观察变量多少不同分：单变量时间序列和多变量时间序列； （4）按研究系统序列的统计特性分：平稳时间序列和非平稳时间序列； （5）按研究系统时间的连续性分：离散时间序列和连续时间序列； （6）按研究系统时间序列的分布规律分：高斯型时间序列和非高斯型时间序列。 3. 时间序列分析的表示主要有数据图法、指标法和模型法。
2
离散化，则有
2 1
Y (z) X (z)

as b s(s c)
1 1
s 2 1 z T 1 z 1
1

2 aT bT 2 bT z 4 2 cT 8 z
1
( bT 2 aT ) z
2
2
2
(4 2 cT ) z
上式可简写为： X ( z ) B
由此，上式是一个离散系统，也是一个典型的ARMA模型。
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§6.4 平稳时间序列模型的参数估计
1 2
6.4.1
AR(p)模型的参数估计 MA(q)模型的参数估计
6.4.2 3
6.4.3 ARMA(p, q)模型的参数估计
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§ 6.4.1 AR(p)模型的参数估计
1 0 2 1 p p 1
0 , 1 , ,
p
Yule-
1 0


0 1 1

p2
2
a1 p2 a2 0 a p
t
,1 t n
来自正态总体，则
(1)： (2)：
g 1 N (0,1)
g 2 N ( 1, 1)
t
利用以上结论，可检验 y ,1 t n 的正态性，具体步骤如下： z 4 ； Step1. 由给定的置信水平 查标准正态表得上 4 分为点， Step2. 由 y ,1 t n 计算 y , s , g 1 , g 2 的值； Step3. 若 g z 4 且 g 2 z 4 ，则以置信度 1 认为 y ,1 t n 是正 态的 ，否则认为是非正态的。 g2 上述检验一般要求 n 2 0 ，仿真结果表明：g 1 对非对称分布比较敏感， 对对称分布比较敏感 。
p 1
2 2 p

唯一决定，白噪声的方差 2 由 （ a a a x1 , x 2 , , x N 可以构造出样本自协方差的估计：
ˆ k
1 N
N k
p）
决定。现在从观测样本

y j y jk ,
j 1
k 0,1, 2, , p
T ˆ 2 , a ˆ p） ˆ2 ,a ,
i
,1 i k
中按数值大小排列形成的逆序
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9
§6.3 系统模型的时间序列表示
1 2
6.3.1
零极点匹配法 双线性变换法
6.3.2
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§6.3.1 零极点匹配法
零极点匹配法就是利用 z 变换的定义，将模拟系统 D ( s ) 的零极点变换为 数字系统 D ( z ) 的零极点，并使 D ( z )和 D ( s ) 的低频增益相互匹配。 具体步骤为： 1. 将 D ( s ) 的零极点映射到 z 平面
0.0039
最后
D(z) 0.0039( z 1)
2
( z 0.8187 )( z 0.7408)

0.0039(1 z )
1
1
2 1
(1 0.8187 z )(1 0.7408 z )
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§6.3.2 双线性变换法
根据 z 表达式与拉氏表达式之间的关系
t 1 t
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6
ˆ t ,1 y
t n
§6.2.2 独立性检验
通常的独立性检验方法仅适合于静态测量情况下，不能照搬到动态数据处理 中来。下面介绍一种基于样本自相关函数的关于时序残差数据的独立性检验法， 这是一种适合于动态数据独立性检验的方法：
ˆ ,1 t n ，若 ˆ : 1 t n 为独立序 ˆ ,1 t n 为 y ,1 t n 的拟合序列，令 ˆ y y 设 y 为 ˆ 的自相关函数列，可得 n ˆ , n ˆ , , n ˆ N 0,1 因 列，即有 0 ， 此，若将 ˆ 绘在直角坐标图中，它们应当在横坐标轴上下随机起伏，且有 6 8 .3 % ˆ 1 n 的两条平行线内；有 9 5 .5 % 的点值落在 ˆ 1 n 的 的点值，落在纵坐标 两条平行线内，这些性质可用来初步判别 ˆt 是否为独立序列。
s 1 T ln z 1 T 2( u 1 3
ze
Ts
，可以推知
u )
5
u
3
1 5
式中，u 1 z
1 z
1 1
低阶近似下，有
s
2 1 z 1 T 1 z Y (s) X (s)
Y
1
对输入输出分别为 、 的连续系统
X

as b s(s c)
lim D ( z ) lim D ( s )
z 1 s 0
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§6.3.1 零极点匹配法
4. 如果还要求在高频段，使 D ( z ) 的增益与 D ( s ) 的增益相匹配，则有
z 1
lim D ( z ) lim D ( s )
s
例：对 D ( s ) ( s 2)( s 3) 做零极点匹配变换，设采样周期为
0
Y (z)
A0 A1 z
0
A2 z B2 z
2 2
B1 z
做逆变换可得： A x ( kT ) A x[( k 1)T ] A x[( k 2)T ]
1 2
B 0 y ( kT ) B1 y [( k 1)T ] B 2 y [( k 2)T ]
4 yt y s 3 t 1
其中，标准偏度系数 g 1 反映了数据序列 y t 其总体概率密度关于均值的不
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§6.2.1 正态性检验
对称性，而标准峰度系数 g 2 则反映了总体概率密度函数与标准正态密度在 峰度上的差异。 定理6.1 若 y
对观测数据 y ,1 t n ，有以下四个表征总体概率密度函数的参数
t
均值：
方差： 标准偏度系数：
y
1 n 1

t 1 n
n
yt

2
(y n
t 1
t
y)
2
g1
1 6n

t 1
n
yt y s
n
3
标准峰度系数：
g2
1 24 n n
t
y1 1 yk1
i
y1 2 yk 2

y1 M y kM
2 i
计算各子列的均值与方差得 y ,1 i k 和 s
yk
s
2 k
,1 i k
，
1 M
1 M

t 1
M t 1
M
yt
2 t
y
yt
其中k，M的选取依数据长度n而定（一般地k>10）
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2
时间序列的应用领域
时间序列广泛存在于各个测量领域，如： 可对特殊路面不平度建立AR模型进行特殊路面的路面谱的测量与谱估计 ；
对影响测量数据校正的因素进行分析，建立了时序平均MA模型，增加测量 数据的冗余提高常减压炼油装置过程数据的校正精度 ；
对全球定位系统 (GPS) 的缺陷，采用时间序列分析的方法建立定位误差 ARMA模型，通过对ARMA模型的残差分析等操作提高定位的精度等 。 此外，时间序列还有很多被观测和研究的领域。
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3
§6.2 时序观测数据的检验
1 2
6.2.1
正态性检验 独立性检验
6.2.2 3
6.2.3 平稳性检验
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4
§6.2.1 正态性检验
对时序观测数据 y , y
t 2
, , y n
2 的正态性检验，一般可采用 --拟合优度检验法。
2 下面介绍正态性检验的偏峰值态检验法，这是一种较 --拟合优度检验法 具有更高功效的检验法 。
第六章 时间序列
§6.1 时间序列简介 §6.2 时序观测数据的检验 §6.3 系统模型的时间序列表示 §6.4 平稳时间序列模型的参数估计 6.4.1 AR(p)模型的参数估计 6.4.2 MA(q)模型的参数估计 6.4.3 ARMA(p, q)模型的参数估计 §6.5 平稳时间序列建模 §6.6 非平稳时间序列