唐山一中2013-2014学年度第一学期期中考试高二年级数学（理）试卷说明：1.考试时间120分，满分150分。

2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。

卷Ⅰ：（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ）A ．81B ．81- C ．8D ．-82．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为( ).A ．222+B ．4+22C ．22+D ． 21+3.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA＝3FB →，则|AF →|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．3 4. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点5. 过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 （ ） A b a MO MT -=- B b a MO MT ->- C b a MO MT -<- D b a MO MT --与的大小不确定（第1页共6页）6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π7.直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）（A ）|b|=2 （B ）11b -<≤或b =C ）1b -≤≤（D ）以上都错8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝0 9. 圆()()x y -+-=2331622与y 轴交于A 、B 两点，与x 轴的一个交点为P ，则∠APB 等于（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. π210.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为 A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16B ．4 C.14 D.11611. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π(第2页，共6页)12. 已知A B P ()()-1010，，，，是圆C ：()()x y -+-=34422上的任意一点，则PA PB 22+的最大值与最小值各位多少（ ）A.100,65B. 65,20C.100,20D.100,45卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．14. 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .15.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标 为)4,6(，则1PF PM +的最大值为 ．16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .（其中a b ≠） ①每个侧面都是直角三角形的四棱锥； ②正四棱锥；③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均 为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥(第3页，共6页)三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知三角形ABC ∆的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程。

18. （本小题满分12分）已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42，求直线l 的方程； (2)设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当P 恰为MN 的中点时， 求以线段MN 为直径的圆Q 的方程．(第4页，共6页)19. （本小题满分12分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M(0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？20. （本小题满分12分）已知圆C :()()252122=-+-y x 及直线()()47112:+=+++m y m x m l .()R m ∈（1）证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交；（2）求直线l 与圆C 所截得的弦长的最短长度及此时 直线l 的方程．(第5页，共6页)21. （本小题满分12分）已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以AB 的中点O 为原点建立如图所示的平面直角 坐标系xoy .(Ⅰ)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点P(0,2)的直线l 交(Ⅰ)中椭圆于M,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.22.（本小题12分）设点P 是圆x 2+y 2=4上任意一点，由点P 向x 轴作垂线PP 0，垂足为P o ，且32O O MP PP =． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=kx+m(m ≠0)与（Ⅰ）中的轨迹C 交于不同的两点A ，B ．（1）若直线OA ，AB ，OB 的斜率成等比数列，求实数m 的取值范围；（2）若以AB 为直径的圆过曲线C 与x 轴正半轴的交点Q ，求证：直线l 过定点(Q点除外)，并求出该定点的坐标．(第6页，共6页)唐山一中2013-2014学年度第一学期期中考试高二年级数学（理）答案二、填空题13. 33 14. 0 15. 15. 16. ①③④ 三、解答题17. 解：（1）如图，作直线AD BC ⊥，垂足为点D 。

781606BC k -==-- ………………… 1分 BC AD ⊥16AD BCk k ∴=-= ………………3分 由直线的点斜式方程可知直线AD 的方程为：()064y x -=-化简得： 624y x =- ……………5分 （2）如图，取BC 的中点()00,E x y ，连接AE 。

____________考号_______________班级________姓名_____________ ………装………………………订………………… 线 …………………由中点坐标公式得000632871522x y +⎧==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即点153,2E ⎛⎫⎪⎝⎭……………………7分 由直线的两点式方程可知直线AE 的方程为：1502434y x --=-- ………………………9分 化简得：15302y x =-+ ……………………………………10分18. 解:（1）设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为0(2)y k x -=-. 即02=--k y kx又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =，=， 解得34k =-. …3分所以直线方程为3(2)4y x =--， 即 3460x y +-=. ……4分当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. ……6分 所以直线l 的方程为2x =或3460x y +-=………………………7分 （2）由于CP =8分所以弦心距d ==4MN =……10分故以MN 为直径的圆Q 的方程为22(2)4x y -+=. ……12分19. 解：(1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647，由题意可知，0＝64a ＋647，……2分 ∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647. …………4分(2)设变轨点为C (x ，y )， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2100＋y 225＝1，y ＝－17x 2＋647，得4y 2－7y －36＝0.∴y ＝4或y ＝－94(不合题意，舍去)． ………………6分由y ＝4得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，…………10分 此时|AC |＝25，|BC |＝4.故当观测点A 、B 测得AC 、BC 距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令……………………………12分20. 解:(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l , 可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,…………2分 所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点. 由方程组⎩⎨⎧=-+=-+04,072y x y x 解得⎩⎨⎧==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( ………3分又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离55<=d , ……………4分 所以该点在C 内,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交…………5分 (2)连接AC ,过A 作AC 的垂线,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD 为直线被圆所截得的最短弦长. …………7分此时,545252,5,5=-===BD BC AC 所以. 即最短弦长为54. ………………9分 又直线AC 的斜率21-=AC k ,所以直线BD 的斜率为2. …………11分此时直线方程为:().052,321=---=-y x x y 即…………………12分 21. (Ⅰ)由题意可得点A,B,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-.设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by a x .()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BCAC a 则………………3分2=∴a 224222=-=-=∴c a b ………………5分∴椭圆的标准方程是.12422=+y x ……………………6分(Ⅱ)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y . 设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k …………7分 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+若以MN 为直径的圆恰好过原点,则OM ⊥,所以02121=+y y x x , ………………………………9分所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k xx k所以,()0421*******222=++-++k k k k …………………10分 即,0214822=+-kk 得.2,22±==k k …………………11分 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y .所以存在过P(0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点…12分 22.解：（Ⅰ）设点(),M x y ，()00,P x y ，则由题意知)0,(00x P .由),(00y x x MP --=，),0(00y PP -=，且0032MP PP =， 得),0(23),(00y y x x -=--. 所以⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-,23,000y y x x 于是⎪⎩⎪⎨⎧==.32,00y y x x ……1分 又42020=+y x ，所以43422=+y x .所以，点M 的轨迹C 的方程为13422=+y x .…3分 （Ⅱ）设),(11y x A ，),(22y x B .联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=,134,22y x m kx y 得0)3(48)43(222=-+++m mkx x k . 所以，0)3)(43(16)8(222>-+-=∆m k mk ，即04322>-+m k . ① ………………5分且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+.43)3(4,4382221221k m x x k mk x x （i ）依题意，21212y y k x x =，即21212kx m kx m k x x ++=⋅.()222121212x x k k x x km x x m ∴=+++.0)(221=++∴m x x km ，即0)438(22=++-m kmk km . 0m ≠，01)438(2=++-∴k kk ，…………………6分 解得432=k .将432=k 代入①，得62<m .所以，m 的取值范围是)6,0()0,6( - ……………………8分（ii ）曲线13422=+y x 与x 轴正半轴的交点为)0,2(Q . 依题意，⊥， 即0=⋅.于是0),2(),2(2211=--⋅--y x y x .∴04)(2212121=+++-y y x x x x ，即0))((4)(2212121=+++++-m kx m kx x x x x ，04)438()2(43)3(4)1(22222=+++-⋅-++-⋅+∴m k mk km k m k .化简， 得0416722=++k mk m . ……………….13分解得，k m 2-=或72k m -=，且均满足04322>-+m k ……9分当k m 2-=时，直线l 的方程为)2(-=x k y ，直线过定点)0,2((舍去)； …10分当72k m -=时，直线l 的方程为)72(-=x k y ，直线过定点)0,72(. ………11分所以，直线过定点)0,72(. ………12分。