7.1 二元一次方程组●教学目标(一)教学知识点1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．(二)能力训练要求1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．(三)情感与价值观要求1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．2．通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论，激发学生学习数学的兴趣．●教学重点1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．●教学难点1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．●教学方法学生自主探索——教师引导的方法．学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组．●教具准备投影片三张：第一张：老牛和小马的对话(记作§7.1 A)；第二张：“希望工程”义演(记作§7.1 B)；第三张：做一做(记作§7.1 C)．●教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”谁能用我们学过的知识来解答一下呢？［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：2x+4(35－x)=94解得x=23∵35－x=35－23=12答：鸡有23只，兔有12只．［生］不用方程也可以解答：如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡．［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94．这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组．Ⅱ．讲授新课出示投影片(§7.1 A)，并讨论回答下列问题．［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2．由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)．出示投影片(§7.1 B)［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，成人票款+儿童票款=34．由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34．［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34．在这四个方程中，它们有何共同的特点．下面请同学们分组讨论．(此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次？含有未知数的项的次数是几次？)［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次．老师，我们能不能把它们叫二元一次方程．因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次．［师］很好．它们的确都是二元一次方程．但我有一个问题和大家共讨论．我这儿有一个方程6xy－3=2．它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗?［生］不一样．它虽然含有两个未知数，未知数x ，y 也都是一次的，但6xy 这一项即含未知数的项却是二次的．［师］你真棒．正象这位同学说的，6xy －3=2不是二元一次方程．x －y=2和x+1=2(y －1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程．能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗？［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．［师］接下来，我们讨论下面的问题：在上面的方程x －y=2和x+1=2(y －1)中，x ，y 的含义相同吗？［生］应该相同．在两个二元一次方程中，x 都表示老牛驮的包裹数，y 都表示小马驮的包裹数，因此x ，y 的含义是相同的．［师］也就是说，x 、y 既满足第一个方程x －y=2，又满足第二个方程x+1=2(y －1)．于是我们把它们联立起来，得x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如、x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）和x+2y=73y+1=2⎧⎨⎩都是二元一次方程组．注意在一个方程组中x 、y 应代表同一个量．出示投影片(§7.1 C)(请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点)［师生共析］(1)把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8．我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解．我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解．还有没有其他的x ，y 的值适合方程x+y=8呢？［生］有．如x=1，y=7;x=4，y=4;x=8，y =0;……［生］我发现，只要给出x 的一个值，代入x+y=8中，便可得到y 的一个值．例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9．所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解．也因此而得到x+y=8的解有无数多个．［师生共析］(2)把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34．所以x=5、y=3是方程5x+3y=34的一个解．同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解．我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作28x y =⎧⎨=⎩同样53x y =⎧⎨=⎩也是方程5x+3y=34的一个解． (3)由(1)、(2)我们可以发现53x y =⎧⎨=⎩既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解．我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解．例如53x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组85334x y x y +=⎧⎨+=⎩的解．Ⅲ．例题精析［例1］(1)已知方程2x m+2+3y 1－2n =17是一个二元一次方程，则m=________，n=________．(2)方程①y=3x 2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤3y x ++y=0;⑥x+y+z=1; ⑦y 1+x=4中，是二元一次方程的有_________． 解：(1)由二元一次方程的定义，得m+2=1，1－2n=1∴m=－1，n=0(2)根据二元一次方程的定义．可知②③⑤是二元一次方程．评注：二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1．［例2］写出一个以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组． 解：答案不惟一．只要写出的二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-==11y x 即可．例如⎩⎨⎧=-=+.212y x y x 评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程．Ⅳ．随堂练习课本练习的答案1．解：设小明买了面值50分的邮票x 枚和面值80分的邮票y 枚，则可列出方程组．⎩⎨⎧=+=+93.68.05.0y x y x 2．解：分别将四组数值代入方程2x+y=10的左边，可知：(1)⎩⎨⎧=-=62y x 代入左边=2x+y=2×(－2)+6=2≠10，即左边≠右边，所以⎩⎨⎧=-=62y x 不是方程2x+y=10的解．(2) ⎩⎨⎧==43y x 代入左边=2x+y=2×3+4=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧==43y x 是方程2x+y=10的解．(3) ⎩⎨⎧==34y x 代入左边=2x+y=2×4+3=11即左边≠右边，所以⎩⎨⎧==34y x 不是方程2x+y=10的解．(4) ⎩⎨⎧-==26y x 代入左边=2x+y=2×6+(－2)=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧-==26y x 是方程2x+y=10的解．3．解：根据二元一次方程组的解的定义，将四个解分别代入方程组的每一个方程，可得⎩⎨⎧==42y x 是方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2102的解． Ⅴ．课时小结这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型．在此基础上，我们了解了二元一次方程．二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．Ⅵ．课后作业(一)习题7.1(二)预习课本，体会二元一次方程组是如何转化为一元一次方程问题的． Ⅶ．活动与探究求二元一次方程2x+y=7的正整数解．过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值．2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个．由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x ，由于x ，y 只能取正整数，所以x=1，2或3．当x=1时，y=7－2×1=5;当x=2时，y=7－2×2=3;当x=3时，y=7－2×3=1．结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,3;3,2;5,1y x y x y x ●板书设计●备课资料一、参考例题［例1］已知方程8x=31y+4．(1)用x 的代数式表示y ．(2)求当x 为何值时，y=12？分析：第(1)小题中，关键是把x 看作是已知数，把y 看作是未知数，然后按解一元一次方程的解法解；第(2)小题中把y=12代入方程8x=31y+4实际就是含未知数x 的一元一次方程．解：(1)去分母，得24x=y+12移项，得y=24x －12(2)若y=12，即24x －12=12∴24x=24，x=1评注：将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来，这个过程实质是方程的一个变形，这种变形的方法是，把二元一次方程看做一元一次方程，其中把要表示的未知数仍看作是未知数，把另一个未知数看作已知数，然后解一元一次方程即可．［例2］已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求m+n 的值． 分析：因为⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，所以⎩⎨⎧==12y x 同时满足方程①和方程②，将⎩⎨⎧==12y x 分别代入方程①和方程②，可得⎩⎨⎧=+=-+112214n m 则③和④可求出m 、n 的值．解：∵⎩⎨⎧==12y x 是方程组的解，所以将其代入原方程组中两个等式仍成立，即⎩⎨⎧=+=⨯-+⨯11221)1(22n m 解得⎩⎨⎧=-=01n m ，∴m+n=－1+0=－1 评注：仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义．二、参考练习1．填空题(1)已知方程2x 2n －1－3y 3m －n +1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________．(2)方程①2x+5y=0;②2x －y 1=8;③5x+2y=7;④4x －xy=3;⑤514y x =+;⑥x －2y 2=6;⑦4y x -+y=5中，二元一次方程有_________．(填序号) (3)若x －3y=2，则7－2x+6y=_________．(4)若x=1，y=－1适合方程3x －4my=1，则m=_________．(5)在x －5y=7中，用x 表示y=_________；若用y 表示x ，则_________．答案：(1)21 21 (2)①③⑤⑦ (3)7－2x+6y=7－2(x －3y)=7－2×2=3 (4)－21 (5)57-x 7+5y 2．选择题(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+7353z x y x B ．⎩⎨⎧=-=--25412y x xy y x ① ②③ ④C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=413272y x xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+3132y xy x(2)下列各对数中，是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-12472y x y x 的解是( ) A ．⎩⎨⎧-==20y x B ． ⎝⎛-==32y x C ．⎩⎨⎧-=-=51y x D ．均不对 (3)已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-51by ax by ax 的解，则a 等于( ) A ．23B ．2C ．1D ．－2(4)若⎩⎨⎧==b y a x 是方程3x+y=0的一个解(a ≠0)．则有( ) A ．a 、b 异号 B ．a 、b 同号C ．a 、b 同号也可能异号D ．以上均不对 答案：(1)C (2)B (3)A (4)A3．已知方程y x 311)1(21=+-，求当x=－3时，y 的值． 答案：－3。