i =1 j =1 ∞ ∞
(2) 当 ( X , Y ) 为连续型随机变量时，则 Z = g ( X , Y ) 的数学期望为
∫ ∫
−∞
+∞ +∞
g ( x, y ) f ( x, y )dx 。 −∞
三、数学期望的性质 (1) (2) (3)
E (c ) = c
E (cX ) = cE ( X )
对于离散型随机变量 对于连续型随机变量
D( X ) = ∑ [ xk − E ( X )]2 pk
k =1
∞
D( X ) = ∫ [ x − E ( X )]2 f ( x)dx
−∞
+∞
D(X) = E(X ) −[E(X)]
2
2
二、方差的性质 （1） D (c ) = 0 （2） D (cX ) = c 2 D( X )
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx 绝对收敛，则称该积分
为随机变量X的数学期望 数学期望，记为 E ( X ) 。 数学期望
数学期望简称为期望 期望，又称为均值 均值。 期望 均值 注：对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在， 对某一随机变量来说，其数学期望不一定存在， 例如习题4 例如习题4。 二、随机变量函数的数学期望 1、一个随机变量的函数的数学期望 定理1：(1) 当X为离散型随机变量时，则 Z = g ( X ) 的数学 期望为
+ + （3） D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ± 2 E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))]
若 X , Y 独立，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) （4） D ( X ) = 0 的充要条件是 X 以概率1取常数 即
例6 ：某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定 该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利
m 元，而积压一件产品导致 n 元的损失。他们
预测销售量 Y （件）服从参数为 θ 的指数分布， 问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产 品（这里假设 m, n,θ 是已知的）？
例7： 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客 对该商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且 都服从区间[10，20]上的均匀分布；商店每售出 一单位商品可得利润1000元，若需求量超出了进 货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位商 品获得的利润是500元；试计算此商店经销该种商品 每周所得利润的期望值。
D ( X ) = ∑ D ( X k ) =np (1 − p )
k =1 n
D( X ) = λ
E ( X 2 ) = E ( X ( X − 1) + X ) = E ( X ( X − 1)) + E ( X ) = ∑ k (k − 1)
k =0 ∞
λk e −λ
k!
+λ
= λ2 e −λ ∑
−2 X 求 E( X + e ) 。
例5：商店出售月饼，每出售一百公斤可获利a元， 但若过了中秋还有剩余，则每百公斤将亏损 b元，而商店的销售量X是一个随机变量， 服从（1，5）上的均匀分布，为使商店获 利最大，应进货多少？
例6 ：按规定某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00各有一辆车经过 两辆车到站时间是随机的且相互独立，两位乘客分别是8;00和 8:20到站,以X,Y分别表示他们的等车时间，求 E ( X ) , E(Y) 。 两辆车到站的规律为 到站时间 | 8:10(9:10) 概 率 | 1 6 8:30(9:30) 3 6 8:50(9:50) 2 6
E 求： ( X ) 和 D( X ) 。
0 ≤ x ≤1 其它
例3：设两个随机变量 X , Y 相互独立，且都服从均值为0， 方差为1 / 2 的正态分布，求随机变量 | X − Y |的方差。
例4: 设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布，且已知
E[( X − 1)( X − 2)] = 1 ，求参数
2
∫
2
+∞
−∞
− 1 −t 2 / 2 + ∞ 1 dt = te |− ∞ + 2π 2π
2
∫
+∞
−∞
e
−t 2 / 2
dt = 1
D ( Z ) = E ( Z ) − [E ( Z )] = 1
D ( X ) = D ( µ + σZ ) = σ 2 D ( Z ) = σ 2
例如: 设随机变量 X、Y、Z 相互独立, 且 X ~ U(0,6),Y ~ N(0,4),
D(X-Y)=D(X)+D(Y) D(XD(X-Y)=D(X)+D(Y)-2[(X-E(X))(Y( D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2[(X-E(X))(Y-E(Y))]) 4. D(kX+c)= k 2 D(X)
三、六种常见分布的方差 1、（0-1）分布 2、 二项分布 3、 泊松分布
D ( X ) = p (1 − p )
§1 数学期望
一、数学期望的定义 定义1： 设离散型随机变量X的分布律为 P{ X = xk } = pk
∞ k =1
若级数 ∑ xk pk 收敛，则称级数 ∑ xk pk 为
k =1
k = 1,2, ⋯
∞
随机变量X的数学期望 数学期望，记为 E ( X ) 。 数学期望 定义2：设连续型随机变量X的概率密度为 f (x) ， 若积分
例3：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命
X k (k = 1,2) 服从同一指数分布，其概率密度为
1 − x /θ e x>0 （其中的θ > 0 ） f ( x) = θ 0 x≤0 若将这2个电子装置串联连接组成整机，求整机
寿命 N 的数学期望。
例4： 设随机变量 X 服从参数为1的指数分布，
0 +∞ − x /θ 0
+∞
= −x e
2 − x /θ + ∞ 0
|
+ ∫ 2 xe
dx = 2θ
2
D( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2 = θ 2
6、正态分布
X ~ N (µ ,σ )
2
Z=
t e
2 −t 2 / 2
X −µ
σ
E (Z ) = 0
1 E (Z ) = 2π
λ 。
例5：X服从N(-1,2), Y服从N(3,4), X ,Y相互独立， 求：3X-2Y 的概率密度。
方差在经济上可以反映一种风险程度
例：某公司有100万资金，可以投资某工程项目，如项目 非常成功每年可获利50万（概率为0.6），如效益一 般，则可获利20万（概率0.3），如项目失败则投资 全部损失（概率0.1）。现在来评估投资价值。 X 表示实际收益，则期望收益为E(X)=26(万)； 标准差反映了实际收益与期望收益的“平均差距” D(X)=1944, 所以投资“风险”大约是44。09万
E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
(4) 若随机变量 X 和 Y 相互独立，则有
E ( XY ) = E ( X ) E (Y )
其中性质（3）（4）可推广到有限个随机变量的情形。
四、六种常见的分布的数学期望 1、（0-1）分布 2、 二项分布 3、 泊松分布
E( X ) = p
协方差、数学期望与方差有以下关系：
Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) + 2Cov ( X , Y )
当X,Y相互独立时X,Y的协方差和相关系数为0。如果X,Y 的协方差或相关系数不等于0，则一定不独立。所以X,Y 的协方差和相关系数反映了X,Y之间的一种“关系”， 这种关系称为相关关系。 相关关系。 相关关系 相关关系是统计意义下的线性关系。
c
，
P{ X = c} = 1
不一定成立。 注：1、 D( XY ) = D ( X ) D(Y ) 不一定成立 2、 E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))] = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
2 2 3、 若 X , Y 独立，则 D(k1 X + k 2Y ) = k1 D( X ) + k 2 D(Y )
∑ g(x ) p
i =1 i
∞
i
；
(2)当X为连续型随机变量时，则 Z = g ( X ) 的数学 期望为
∫
+∞
−∞
g ( x) f ( x)dx 。
注：这个定理告诉我们，求 E (Z ) 时，不需要算出 Z 的 这个定理告诉我们， 分布律或概率密度函数， 分布律或概率密度函数，只需利用 X 的分布律或概 率密度函数。 率密度函数。 2、二个随机变量的函数的数学期望 定理2： (1) 当 ( X , Y ) 为离散型随机变量时，则 Z = g ( X , Y ) 的数学期望为 ∑∑ g ( xi , y j ) pij ；
k =2
∞
λk − 2
(k − 2)!
+ λ = λ2 + λ
4、均匀分布
D( X ) = ∫
b
a
1 (b − a ) 2 a+b x2 dx − = b−a 12 2
2
5、指数分布
E( X ) = ∫
2
+∞
0
x
2
1
θ
e
− x /θ
dx = ∫ − x 2 d (e − x /θ )