3
17．如图，四边形 ABCD 内角∠BAD、∠CDA 的角平分线交于点 E，∠ABC、∠BCD 的角平分线交于点
F．
（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝
°；
∠E＝
°；
（2）探索∠E 与∠F 有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形 ABCD 添加一个条件，使得∠E＝∠F，
所添加的条件为
．
18．如图，在四边形 ABCD 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°， 求∠AOB 的度数．
知识拓展．四边形 ABCD 中，∠A＝145°，∠D＝75°． （1）如图 1，若∠B＝∠C，试求出∠C 的度数； （2）如图 2，若∠ABC 的角平分线 BE 交 DC 于点 E，且 BE∥AD，试求出∠C 的度数； （3）如图 3，若∠ABC 和∠BCD 的角平分线交于点 E，试求出∠BEC 的度数．
（1）当将△DEF 如图 1 摆放时，∠ABF+∠ACE＝
°．
（2）当将△DEF 如图 2 摆放时，试问：∠ABF+∠ACE 等于多少度？请说明理由．
（3）如图 2，是否存在将△DEF 摆放到某个位置时，使得 BD，CD 分别平分∠ABC 和∠ACB？如果
存在，请画出图形或说明理由．如果不存在，请改变题目中的一个已知条件，使之存在．
（用α
的代数式表示）；
（2）若点 P 在 ABC 的外部，如图（2）所示，则∠α，∠1，∠2 之间有何关系？写出你的结论，并
说明理由．
（3）当点 P 在边 CB 的延长线上运动时，试画出相应图形，标注有关字母与数字，并写出对应的∠α，
∠1，∠2 之间的关系式．（不需要证明）
10．如图，∠A＝50°，∠BDC＝70°，DE∥BC，交 AB 于点 E，BD 是△ABC 的角平分线．求△BDE 各内角的度数．
1
8．叙述并证明三角形内角和定理．（至少用两种不同的证明方法）
三角形内角和定理：
．
已知：如图，∠A，∠B，∠C 分别是△ABC 的三个内角；
求证：
．
证明：
知识拓展 证明：四边形的内角和为 360°．
已知：如图，四边形 ABCD． 求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝360°． 课本给出了以下三种辅助线，将四边形转化为三角形，再利用三角形内角和定理获证．（过程略）
．（直接用α代数式）
12．如图，已知长方形的每个角都是直角，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠后点 B 恰好落在 CD 边上的点 H 处，且∠CHE＝40°．
（1）求∠HFA 的度数； （2）求∠HEF 的度数．
13．如图，AD 为△ABC 的中线，BE 为△ABD 的中线． （1）∠ABE＝15°，∠BAD＝40°，求∠BED 的度数； （2）在△BED 中作 BD 边上的高； （3）若△ABC 的面积为 40，BD＝5，则点 E 到 BC 边的距离为多少？
6．如图，已知△ABC 的高 AD，角平分线 AE，∠B＝26°，∠ACD＝56°，求∠AED 的度数．
7．在△ABC 中，∠C＝90°，BD 是△ABC 的角平分线，P 是射线 AC 上任意一点（不与 A、D、C 三点 重合），过点 P 作 PQ⊥AB，垂足为 Q，交直线 BD 于 E． （1）如图，当点 P 在线段 AC 上时，说明∠PDE＝∠PED． （2）作∠CPQ 的角平分线交直线 AB 于点 F，则 PF 与 BD 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．
14．如图①，在四边形 ABCD 中，∠A＝x°，∠C＝y°．
（1）∠ABC+∠ADC＝
°．（用含 x，y 的代数式表示）
（2）BE、DF 分别为∠ABC、∠ADC 的外角平分线，
① 若 BE∥DF，x＝30，则 y＝
；② 当 y＝2x 时，若 BE 与 DF 交于点 P，且∠DPB
＝20°，求 y 的值．
2
11．如图，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点 A1，得∠A1；∠A1BC 与∠A1CD 的平分线相
交于点 A2，得∠A2；…∠A2010BC 与∠A2010CD 的平分线相交于点 A2011，得∠A2011，根据题意填空：
（1）如果∠A＝80°，则∠A1＝
°．

（2）如果∠A＝α，则∠A2011＝
请再给两种不同的证明方法．（画出辅助线即可）
9．在△ABC 中，∠A＝50°，点 D，E 分别是边 AC，AB 上的点（不与 A，B，C 重合），点 P 是平面内
一动点（P 与 D，E 不在同一直线上），设∠PDC＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点 P 在边 BC 上运动（不与点 B 和点 C 重合），如图（1）所示，则∠1+∠2＝
《平面图形的认识》提优训练
1．三角形的三边长为 4，a，7，则 a 的取值范围是
．
2．已知三角形的两边分别为 a 和 b（a＞b），三角形的第三边 x 的范围是 2＜x＜6，则 ab＝
3．三角形的两边的长分别为 2cm 和 7cm，若第三边的长为奇数，则三角形的周长是
4．如图 1，四边形 ABCD 中，AD∥BC，DE 平分∠ADB，∠BDC＝∠BCD．
19．概念学习 已知△ABC，点 P 为其内部一点，连接 PA、PB、PC，在△PAB、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角
形，其内角与△ABC 的三个内角分别相等，那么就称点 P 为△ABC 的等角点． 理解应用
（1）试判断线段 ED 与 DC 的位置关系，并加以证明；
（2）如图 2，∠ABD 的平分线与 CD 的延长线交于 F，且∠F＝58°，求∠ABC．
20200608
． cm．
5．已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A＝36°，∠E+∠F＝100°，将△DEF 如图放置，使得∠D 的两条
边分别经过点 B 和点 C．
（3）如图②，∠ABC 的平分线与∠ADC 的外角平分线交于点 Q，则∠Q＝
．
（用含 x，y 的代数式表示）
15．如图，BD 是△ABC 的角平分线，DE∥BC，交 AB 于点 E，∠A＝38°，∠BDC＝55°．求△BED 各内角的度数．
16．如图，D、E、F 分别在△ABC 的三条边上，DE∥AB，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：DF∥AC； （2）若∠1＝110°，DF 平分∠BDE，求∠C 的度数．