PlotStyle RGBColor 1, 0, 0 , PlotLabel " t 0.01"
t0.5 ,
ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process )
在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.
设随机变量 x 满足以下等式 : dx = a dt + b dz ( # )
其中 a 和 b 为常数 , 变量 z 遵循基本维纳过程 , 则称变量 x 遵循
一般化维纳过程.
从一般化维纳过程的定义式 ( # ) 可以看出, adt 项表明 x 是时间 t 的线性函数, 而 bdz 项可被看作是添加到 x 的变动轨迹上的噪声或 波动. 换言之 , 一个线性变化过程与一个基本维纳 ( 随机 ) 过程的 叠加结果便是一个一般化维纳 ( 随机 ) 过程.
如果变量 z 遵循 基本维纳过程 , 则 Δz 必须满足两个基本性质:
(a) z t (*) 其中ε是服从标准正态分布的一个随机变量 .
当
Δt
→0
时,
方程
(*)
可以写为
,
..
:
dz dt
(b) 对于任何两个不同时间间隔 Δt , Δz 的值是相互独立的.
从性质 (a) , 我们推得 Δz 本身具有正态分布, 其中 :
从而导致这种股票的价格当即上扬, 变成了每股20元， 结果这种所谓 已被 “察觉” 的一个月后必然获利机会瞬间就会消失 .
这说明上面的 “根据股票价格的历史发展情况可以推断出股票价格的
今后发展情况” 的 假定 是不成立的.
股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the we
form of market efficiency).
因为 假定 根据过去一段时间内某种股票价格变化的情况, 可以判断 出 在未来的一段时间内, 例如在一个月后，这种股票将从现在价格
每股10元上涨到每股15元左右. 由于一个成熟的市场上, 所有的信息在市场上都能有效地 ( 均匀、同 时地 ) 传播, 这种股票价格变动的特征立即会被众多的投资者发现, 投资者第二天开市就会马上买入这种股票, 对这种股票的需求也会 立即增加,
过程表明只有变量的当前值与未来的预测有关, 而变量过去的历史 和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测不相关. 或者说, 随机 变量过去的取值与今后的取值是相互独立的.
因此 ,在建立股票价格的数学模型时,通常的假设是: 股票价格遵循 马尔科夫过程 . 在以下提及的一个的实例中，我们可以看到，这样的
假设能经受实践的检验。
(2) 维纳 ( Wiener) 过程
i) 基本维纳过程
在马尔科夫随机过程的数学研究中,有一种特殊的马尔科夫过程,它
被称为 基本维纳过程 (wiener processes) .物理学中最早用它来描 绘某个粒子受到大量小分子碰撞的运动,有时它也被称为 布朗运动
(Brownian motion) .
Δz的均值 = E(z) E( t ) t E( ) t 0 0
Δz的方差 = D(z) D( t ) ( t )2 D( ) t 1 t
Δz的标准差 = D(z) t 性质 (b) 则隐含 z 遵循 马尔科夫过程 .
下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示 为: z ( T ) – z ( 0 ) .
dz dt
对于维纳过程而言, 我们常称其随机变量在某个时刻的平均值为该 变量在该时刻的 “平均漂移”, 而称在单位时间处的平均漂移为该维 纳过程的漂移率 ; 同时还称此随机变量在单位时间处的方差值为该 维纳过程的方差.率. 上面讨论到的维纳过程, 其漂移率应是 0 , 方差 率应是 1 . 这里 , 漂移率为 0 , 意味着在未来任何时刻 , z 的期望值 等于它的当前值 ; 方差率为 1 , 意味着在长度为 T 的一段时间段后, z 的变化的方差为 1×T = T .
§13. 常见的数学建模方法(8) ---- 随机微分方程法
实例: 股票价格模型 1. 股票价格的随机变化过程
(1) 股票价格的马尔科夫性质
在实际经济生活中, 投资者都非常密切地注视着股票市场的变化,
总想试图通过各种各样的分析, 从股票市场的变化中寻找有用的信息
而从中获利.
但事实上, 这是不可能的 !
漂移率为 0、方差率为 1 的维纳过程,我们常称之为 基本维纳过 程. 生成 基本维纳过程 的 Mathematica 软件程序可以写为：
t 0.01; z 1 10; Do
N zi 1 z i Random Real, 10, 10 i, 1, 100 ;
a Table z i , i, 1, 100 ; ListPlot a, PlotJoined True,
弱市场有效性 主要是有两点内涵:
其一, 现在的价格是过去所有信息的完全反映, 没有任何信息的作用 会持续到以后 ;
其二, 对于某种资产的任何新信息,市场会立即作出反映.
从数学上来说, 这是一种称之为马尔科夫随机过程 所具有的性质.
马尔科夫过程 (Markov process) 是一种特殊类型的随机过程. 这个
N
i1
N i1
i 1
t D(i ) t = N Δt = T ,
i 1
i 1
因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的
变化量服从于均值为 0、标准差为 T 的正态分布 .
当 Δt →0时, 体现维纳过程性质 (a) 的方程 (*) 可以写为 :
这可以被看作是在 N 个长度为 Δt 的小时间间隔中 z 的变化总量. 这里 N = T /Δt .
N
N
因此 , z ( T ) – z ( 0 ) = zi i t
i1
i1
其中 εi 服从标准正态分布, 且是相互独立的.
由此可得 z ( T ) – z ( 0 ) 是正态分布的,T) – z(0)] 的均值 = E( zi ) E( i t ) E(i t )
i1
i1
i1
N

t E( ) 0 i
i 1
N
N
N
[z(T) – z(0)] 的方差 = D( zi ) D(i t ) D(i t )