0
001
27
8
12 6
1
i
27 27 27 27
6
二、6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量 X 表示第一次出现
的点数,Y 表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分
布及Y 的边缘分布。
X2 表示第二次出现的点数,
解 X，Y 的所有可能的取值为1，2，…，6.
（i）当
i j 时， PX i,Y j PX i, X 2 j
j
a
(a b)
b
(a b)
a
b
i
(a b) (a b)
a
b
i
(a b) (a b)
pij pi p j i, j 01 X与Y相互独立. pij pi p j i, j 01 X与Y不独立5 .
二、5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性
是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子
的分布函数
y ln x是单增函数，
FY ( y) P(Y y) P(ln X y) 其反函数为 x e y .
P(X
e y ) e y 0
f
( x)dx
随机变量函数Y的概率密度为
x e y .
Y的概率密度为
fY ( y) FY y f (e y ) e y
2e y
e2y 1
（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？
解（1） F ( , ) A(B )(C ) 1 ( A 0)
2
2
对任意的x与y，有
F ( x, ) A(B arctan x )(C ) 0
上式两边对 y 求导数，即得Y 的概率密度
fY
(
y
)
1 4 y
,
0 y 4;
0,
其它.
4
二、4 一批产品中有a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任 取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。 设随机变量X 及 Y 分别表示第一次及第二次取出的次品数，
写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布
c yd 其它
因f x, y fX ( x ) fY ( y ), 故X与Y是 相互独立。 9
二、8. 设二维随机变量（X,Y）在联合分布列为
Y1
2
X
1
1
1
6
9
2
1
3
3
1 试问， 为何值时，
18 X,Y才能独立？
解 要使X,Y独立需满足
P(
X
1,Y
2)
1 9
pX 1pY 2
1 6
1 9
1 1 18 9
球的个数，求(X,Y )的概率分布及边缘分布
解
P(X
i,Y
j)
C
i 3
C
j 3
i
(i, j 0,1,2,3. i j 3)
33
由此得(X,Y)的二维概率分布如下：
XY 0
1
23
j
1
3
3 18
0 1
27 3
27
27 6
27
27 3
27
27
0
27 12
27
2
3 27
3 00 6
27
27
3
1 27
11 1
P( X
i)P(X2
j)
66
36
（i i ）当 i j
时，
PX i,Y
j
i
PX i, X2
j 1
j i
36
即
PX i,Y
j
1
36 i
, ,
36
i j
i, j 1,2,,6. i j
i j
7
Y X
1
2
1
1/36 1/36
2
0 2/36
3
0
0
4
0
0
5
0
0
6
0
0
Y 的边缘分布为：
（1） Y1 X 2
Y1 P( y j )
0
1
0.216 0.432来自490.288 0.064
（2）Y3
X 3
2
X
Y3
0
1
P( y j )
0.28 0.72
1
二、2.设随机变量 X 的概率密度为
f
x
2 x2 1
当x 0
0 当 x 0
求随机变量函数 Y ln X 的概率密度。
解 对于任意的实数y，随机变量Y 或
P(
X
1,Y
3)
1 18
pX 1pY 3
1 6
1 9
1 1 18 18
解得 2 , 1 .
99
10
二、9：设 (X,Y）的分布函数为：
F( x, y) A(B arctan x )(C arctan y )
2
3
（1）确定常数A, B, C； （2）求(X,Y）的概率密度；
3
4
5
6
1/36 1/36 1/36 1/36
1/36 1/36 1/36 1/36
3/36 1/36 1/36 1/36 0 4/36 1/36 1/36
0
0
5/36 1/36
0
0
0 6/36
Y
1 23 4
5
6
Py j
115 36 12 36
7 36
1 4
11 36
8
二、7. 设二维随机变量（X,Y）在矩形域 a x b, c y d
概率论与数理统计作业6（§2.8～§2.11）
二、1.设随机变量 X 服从二项分布B（3，0.4），
求下列随机变量函数的概率分布：
（1）Y1 X 2;
（2）Y3
X 3
2
X
解
X的概率分布为
P( X
i)
C
i 3
0.4
i
0.63i
i 0,1,2,3
X
0
1
2
3
P(xi )
0.216 0.432 0.288 0.064
上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。
X与Y是 否独立？
解 （X,Y）的概率密度
f
(
x,
y)
(b
a
1 )(
d
c)
0
a x b,c y d 其它
X边缘概率密度
f
X
(
x)
f
(
x,
y)dy
Y边缘概率密度
fY ( y)
f ( x, y)dx
b
1
a
0
d
1
c
0
a xb 其它
(1)当y 0时, FY ( y) 0;
2当y 4时,FY ( y ) 1; 3当0 y 4时,
FY y P X 2 y P
yX
y
y y
fX xdx
0
y1
y
0dx dx
-y
02
2
3
所以，随机变量Y的分布函数
0,
y 0;
FY
(
y
)
y ,
2 1,
0 y 4; y 4.
并说明X与Y是否独立。
解 （1）放回抽样
（2）不放回抽样
Y X
0 1
0
a2 (a b)2
ab (a b)2
1
ab (a b)2
b2 (a b)2
j
a
(a b)
b
(a b)
Y X
0
1
a(a 1)
ab
0 (a b)(a b 1) (a b)(a b 1)
1
ab
b(b 1)
(a b)(a b 1) (a b)(a b 1)
yR
fY ( y) f (e y ) e y
2e y
e2y 1
2
二、3.设随机变量 X 服从[0，2]上的均匀分布，求 Y X 2在(0,4) 内的概率密度函数。
解 对于任意的实数y,随机变量Y的分布函数,
FY y PY y PX 2 y
因为X的取值区间是0,2, 所以Y的取值区间是0,4.