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例5-5
设闭环系统的开环传递函数为：
K H ( s)G ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
H ( j )G( j )
的轨迹如图5-41所示。 的轨迹不包围 1 j 0
H (s)G( s) 在右半s平面内没有任何极点，并且
H ( j )G( j )
，所以对于任何的值，该系统都是稳定的。 见下图
s lime j
0
(lim
0
K1

jv jv ) e e v
15
j
Im D
C
s平面
GH平面
G( s) H ( s)
K s (Ts 1)
2
j
j 0 j0

s e
s e
j
K
2 j e 2
B 1 A F
E
0

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5.3.5 Nyquist稳定判据 如果在s平面内，奈奎斯特轨迹包含 1 H (s)的 Z 个零点 G( s)
和P个极点，并且当s变量顺时针沿奈奎斯特轨迹运动时，不
H (s)G( s) 通过 1 H (s)的任何极点或零点，则在 平面上相对应 G( s ) 的曲线将沿顺时针方向包围 点 N 1次（负 j0 N值表示逆时 Z P
5.3奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion)
C (s) G ( s) 闭环传递函数为 R( s ) 1 H ( s)G ( s)
图3-35 闭环系统 充要条件
为了保证系统稳定，特征方程的全部根， 都必须位于s平面左半平面。
注：
虽然开环传递函数 H (s)G(s) 的极点和零点可能位
在 F ( s) 平面上的变换
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当s平面上的图形包围两个F ( s) 的极点时，
F ( s) 的轨迹将逆时针方向包围 F ( s)
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平面上原点两次
5
当s平面上的图形包围 F ( s) 的两个极点和两个零点， 相应的 F ( s) 的轨迹将不包围原点
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s 1 j2
6 F (1 j 2) 1 1.115 j 0.577 (2 j 2)(3 j 2)
这样，对于s平面上给定的连续轨迹，只要它不通过任何 奇点，在 F ( s ) 平面上就必有一个封闭曲线与之对应。
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F ( s )平面上的变换或影射 图5-36 s平面上的图形在 上半s平面内的直线 3,1 和 2
于s平面的右半平面，但如果闭环传递函数的所有
极点均位于s平面的左半平面，则系统是稳定的。
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5.3.1 预备知识
令
F (s) 1 H (s)G(s) 0
辅助函数
可以证明，对于S平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封 闭曲线 ，在 F ( s) 平面上必存在一条封闭曲线与之对应。
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5.3.4 虚轴上有开环极点的奈奎斯特判椐
对于含有积分环节的开环传函，不能直接 应用前面所示的奈氏曲线。 因为：映射定理要求回线不经过F(s)极点。 当s沿着小半圆移动时，有：s lim e j
0
K G ( s) H ( s) s(Ts 1)
当s沿着小半圆从
0
变化到 0 时，
0
1


Re
j
limj G( s) H ( s)

90 90
180 180
在右半s平面内没有极点，并且对所有的正K值，轨迹包围 G(s) s平面内存在两 1 j0 点两次。所以函数 1 H (s)在右半
个零点，即闭环极点。因此，系统是不稳定的。
N Z P
P0
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N 0 Z 0
P0
N 2
Z 2
K值比较小时是稳定的
K值比较大时是不稳定的
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例5-7 设开环传递函数为： 该系统的闭环稳定性取决于 T1 和 T2
T1 T2
Im
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。
其辅助方程为：
6 ( s 1.5 j 2.4)(s 1.5 j 2.4) F ( s) 1 H ( s)G( s) 1 0 ( s 1)(s 2) ( s 1)(s 2)
函数 例如
F ( s) 在s平面内除了奇点外处处解析。对于s平面上的每 一个解析点， F ( s) 平面上必有一点与之对应。
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5.3.3 奈奎斯特稳定判椐
设系统的特征方程为： F ( s) 1 H ( s)G( s) 0 开环传递函数：
G( s) H ( s) K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
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根据系统的特征方程有： G(s) H (s) F (s) 1
F 1 G( jw) H ( jw) 曲线绕原点运动的情况，相当于 G( jw) H ( jw)
绕（-1,j0）点的运动情况。
Im
1 GH平面
01 1 G( j)H ( j)
Re
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mn
代入特征方程得： F (s) 1
K1 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )(s p 2 ) ( s p n )
闭环系统稳定的条件： (s p1 )(s p2 )(s pn ) K1 (s z1 )(s z 2 )(s z m ) (s p1 )(s p2 )(s pn ) 系统特征方程的根， 特征方程根 F(s)的零点，都位于s平 ( s s1 )(s s 2 ) ( s s n ) 闭环极点 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn ) 面的左半平面。
如果这个曲线只包围一个零点，相应的 F ( s) 的轨迹将顺时针包 围原点一次； 若封闭曲线既不包围零点又不包围极点，F ( s) 的轨迹将永远不会 包围 F ( s) 平面上的原点 。
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如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点 (k=0,1,2…)， 即包围的零点数与极点数相同，则在 F (平面上，相 s) 应的封闭曲线不包围 F ( s 平面上的原点。 ) 上述讨论是影射定理的图解说明。奈奎斯特稳定判 据正是建立在影射定理基础上的。
2
从


经0变化到 2
，
G(s) H (s)
s lime
j
这时 G(s) H (s) 平面上的映射曲线将 沿半径无穷大的圆弧按顺时针 从 v 经0转到 v 。
2
2
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K1 ( j s 1)
j 1
m
0
s v (Ti s 1)
i 1
n v
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5.3.2 影射定理
Nyquist判据依据的是复变函数中的映射定理。设有复变函数：
s S为复变量，
jw
表示； F(s)为复变函数， F (s) U jV 表示。
对于s平面上的除了有限的奇点外的任意一点s，复变函数
F(s)为解析函数。 解析函数即：单值、连续的正则函数。 对于s平面上的每一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映 射点。 如果在s平面上画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一 奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。
j 1 i 1 m n
假设在s平面上的封闭曲线包围了F(s)的一个零点，而其他 零点、极点位于封闭曲线的外边，则当s沿着s平面上的封闭曲 线顺时针方向运动一周时，向量 (s 的相角变化 而其他各 2 z1 ) 向量的相角变化为零。 10 2018/10/18 这意味着映射曲线沿顺时针方向绕原点转动一周。

Re
T1 T2
H ( s)G( s)
K (T2 s 1) s 2 (T1s 1)
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例5-8 设一个闭环系统具有下列 K 开环传递函数： G ( s) H ( s) s(Ts 1)
试确定该闭环系统的稳定性。
(1 jT ) K H ( j)G( j) j (1 jT ) (1 jT )
GH平面
T 1 T2
Байду номын сангаас
Im
GH平面
0 1 0


0
Re

0 1


Re
T 1 T2
T1 T2 G( j)H ( j)矢量穿过 1 j0点
H (s)G( s) 的轨迹不包围
1 j 0 系统是稳定的
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图5-41 例5-5中的 H ( j )G( j ) 极坐标图
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H ( s)G ( s)
K (T1s 1)(T2 s 1)
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例5-6 设系统具有下列开环传递函数： K H ( s)G( s) s(T1s 1)(T2 s 1) 试确定以下两种情况下，系统的稳定性：增益K较小增益K较大。
结论： 为了判断系统的稳定性，需检验F(s)是否有 位于s右半平面的零点。
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系统开环极点
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为了判断系统的稳定性，令s平面上 的封闭曲线包围整个s右半平面。这 时的封闭曲线由虚轴（从 到 ）和整个右半s平面上半径 为无穷大的半圆轨迹两部分构成的。 称封闭曲线为奈奎斯特曲线。 奈奎斯特曲线包围了整个右半平面，所以包围了1 H (s)G(s) 所有正实部的极点和零点。 设F(s)在s平面的右半部有z个零点和p个极点，根椐映射定理， 当s沿着s平面上的奈氏曲线顺时针运动一周，在F(s)平面上的映 射曲线 F 1 G( jw)H ( jw) 按顺时针绕原点旋转N=Z-P周。 若在s平面上，s沿着奈氏曲线顺时针移动一周，在F(s)平面 上的映射曲线 F 绕原点逆时针旋转N=P周，则系统稳定。