当 ft为实 ,F 函 F 数 * 共 时 轭 R 为偶 ,X 函 为数 奇函数
F ( ) R ( ) j X ( ) R () jX () F * ()
五．时移特性
若 f(t) F (),
则 f(t t0 ) F ()e j t0 ;
若 F ()F ()ej() 则 f ( t t 0 ) F () e j ( ) t 0
utF 直流 12
余下部 f2(t)分 u(t)1 21 2sgtn),( utj1
f2t微f分 2tt1, f2(t)j1
ut
f1 t
dut f1t
1
dt
1 2
1
o
t
o
t
o
t
2．频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d
或 j t( t f ) d F d
显然
R ftc ostdt
X
fts
intdt
R R
关于 的奇函数
X X
F F
已 F f t 知 F
F f t F
证明
当 F 1 a 0 时 ,设 f(a a b b t)t e j x t,d 则 tt x b ,d t 1 d x
aa
F 1 f(x )e j axeja ba 1d xa1Faejab
2 E ej24 E 2 E e j2 j2 F 2 F
F 1 2 2 E e j 2 4 E 2 E e j 2
122 E ej2 2 e j2
2 E 2 e j 4 e j 4 2 2 E 2 2 jsi4 n 2
2
对压 所 2 ： f缩 2 有 t 5 E S a e j 5 2
24
例3-7-6（教材例3-4）
已知矩形调幅信号 ft G tco 0 t,s f t
其 中 Gt为 矩 形 脉 冲 ， 脉 为E冲 ，幅 度E
脉 宽为 ,试
解：
求
其
频
谱
函
数
。 2
o
t 2
已知矩 G t的 形频 G 脉 为 谱 冲(a)矩 形 调 幅 信 号 的 波 形
已f知 例t 3-F 7-9ESa，f求 2t5的 频 谱 密
2
方法一：先标度变换，再时延
a2, f2 t 1F E S a b5，对 t时移 52（2向2 右 ） f2 2t5 4 E 2 S a 4 e j5 2
方法二：先时延再标度变换
相同
对 t时 5 （ 移 向 ft 右 5 E ） S a ： e j5
求三角函数的频谱密度函数．
f t
E
2 o 2 t
E 2F
4 o 4
f t
分析 E
2 o 2 t
f t
三角形 函 求 导 数 方波
2E
2 o
2 t
方 波 求 导 冲 激 函 数
2 E
f t
2 E
2 o 2 t
4 E
X
F f t 2 E t 2 4 E t 2 E t 2 e j td t 2第页9
说明……
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
说明……
( 3 ) a 1 f t f t , F F 说明……
3．意义
F
E
2 o 2
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
f t 2
E
o
t
2E 2F 2
o
脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频 带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。
GESa
因为
2
ft1G tej0tej0t 2
根据频f移 t频 性 F 谱 质 为，
F 1 G 1 G
2
02
0
频谱图
F1G 1G
2
02
0
E 2Sa2 0E 2Sa2 0
将包络线的频二 谱， 一向 分左 为、右 0 各平移
F
E
2
0 O
0
0
2
(b)矩形调幅信号的频谱
例3-7-5
4．应用
通信中调制与解调，频分复用。
七．微分性质
时域微分性质
f ( t) F () ， f ( t) 则 jF ()
频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d j( t t) fd F d
jtnf(t) dn d F n
或
tn f(t) jn F n
E 2 cS a 2 ct
宽 度 为20
的方波
若c 20，则S有 a0t)( 0G 20()
例3-7-4（时移性质，教材3-2）
求图(a)所示三脉冲信号的
f t
频谱。
E
解：
T
Tt
令f0t表示矩形单脉冲
22 (a)三脉冲信号的波形
信号，其频谱 F0函 ,数
F0
F0ESa2
E1 f 1 ( t) c 2 f 2 ( t) c 1 F 1 () c 2 F 2 () c 1 ,c 2 为常
2．例
ut11sgntF
22
j1
三．奇偶虚实性
若 f ( t) F () ， f ( t) 则 F ( )
证明： 由定义
F f( t) f( t) e j td t F ()
8E 2si n42 42 2
ESa2
2 4
4
X
例3-7-8
已 f ( t ) F ( 知 ) ， F t 2 f t 求 ？
解：
F t 2 ft F tt f 2 f t
jdd F 2F
例求 F 3-t7n-9
解：
tntn1
1 2 F
t1jdF d t t 1jjdF d 22
a a
等效脉冲宽度与等效频带宽度
f0 ft
F F0
O
t
O
B
ftdtf0
F d F 0B
f0 1 Fejt d
2
t0
F0ftdt
等效脉冲宽
21
Fd
B 2
1
Bf
度与占有的 等效带宽成
反比。
例3-7-1
t 1, F t 1 2
例3-7-2
已F 知 [sgtn )](j2,
（2）a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
f 2t
E
o
t
44
1F
2 2
E
2
4 o 4
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频 带展宽，各分量的幅度下降a倍。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比， 有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则 要以展开频带为代价。
( 3 ) a 1 f t f t , F F F *
即先求时移的单位阶跃 信号的傅里叶变换
对 积 分 变量而 言 为
常数，移到积分外
……续
j1 fejd
j1F
ftu t F j1
Fj1 F
F0F j
如F 果 00,则第一项为
t f d F j 1 F 0 F j
证明
f(t)21 F()ejtd
一．对称性质
1．性质
若 f(t) F() 则 F t 2 f
若ft为偶函数 则 F t 2 f
2． 意义
若 F ( t) 形 F (状 ) 相 与 同 t ，
则 F (t)的频谱函 ft形 数 状 形 t相 状 ,同 与 幅度 2 差
二．线性性质
1．性质
若 f 1 ( t ) F 1 () ,f 2 ( t ) F 2 ()
§4.3 傅里叶变换的性质
主要内容
对称性质 奇偶虚实性 时移特性 微分性质
线性性质 尺度变换性质 频移特性 时域积分性质
意义
傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了 信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。 讨论傅里叶变换的性质，目的在于：
•了解特性的内在联系； •用性质求F(ω)； •了解在通信系统领域中的应用。
tn 1 j n d n d F n j n d n 2 dn
例3-7-10
1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换
解：已u 知 (t)t (t)dt (t)1 则 u (t) j1 ( )1j1 ( )
2.求门函 Gt数 积分的频谱函数。
G (t) 1
解：G(t)Sa2
由 S0 )a ， (F 0 知 0
推广
jtnf(t) dn d F n
或
tn f(t) jn F n
八．时域积分性质
若 ft F ，则
F 0 0 时 t f， d F j
F 0 0 时 t f d ， F 0 F j
也可以记作：
F()j1
()
证明
因为
F fa t fae tj td t
a
aa
证明
tfdejtdt
fu td e jtd t
变上限积分用带时移的 单位阶跃的无限积分表
示，成为 ftut
f u te jtd t d
f j1 ejd j1 fejd
续……
交换积分顺序 先t 后，
可以得到
F f ( t ) f ( t ) e jt d t f ( u ) e j u d u F ( )
若 f( t) F () ， f( t) 则 F ()
四．尺度变换性质
若 f(t) F()则 , fat 1F,a为非零函
a a
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。