§3.3 直线的交点坐标与距离公式
§3.3.1 两条直线的交点坐标
一、教材分析
本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系.在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线的位置特点，设置平面内任意两直线方程组解的情况的讨论，为课题引入寻求理论上的解释，使学生从熟悉的平面几何的直观定义深入到准确描述这三类情况.在教学过程中，应强调用交点个数判定位置关系与用斜率、截距判定两直线位置关系的一致性.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）直线和直线的交点.
（2）二元一次方程组的解.
2．过程和方法
（1）学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.
（2）掌握数形结合的学习法.
（3）组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程.
3．情态和价值
（1）通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内在的联系.
（2）能够用辩证的观点看问题.
三、教学重点与难点
教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点.
教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生观察这两条直线的位置关系.
课堂设问：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？你能求出它们的交点坐标吗？说说你的看法.
思路2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①已知两直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,如何判断这两条直线的关系？
②如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ ③解下列方程组(由学生完成)：
(ⅰ)⎩⎨⎧=++=-+022,0243y x y x ; (ⅱ)⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2131,0362x y y x ; (ⅲ)⎪⎩
⎪⎨⎧+==-2131,062x y y x .
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？
④当λ变化时，方程3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0表示什么图形，图形有什么特点？求出图形的交点坐标.
讨论结果：①教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空.
关系.
设两条直线的方程是l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,
如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l 1和l 2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0
,0222111C y B x A C y B x A 是否有唯一解. (ⅰ)若二元一次方程组有唯一解，则l 1与l 2相交;
(ⅱ)若二元一次方程组无解，则l 1与l 2平行;
(ⅲ)若二元一次方程组有无数解，则l 1与l 2重合.即
直线l 1、l 2联立得方程组⎪⎩⎪⎨⎧⇔⎪⎩⎪⎨⎧.
,,212121平行重合相交无解无穷多解唯一解转化、l l 、l l 、l l
(代数问题) (几何问题)
③引导学生观察三组方程对应系数比的特点：
(ⅰ)23≠1
4;(ⅱ)21316312=--=;(ⅲ)16312--=≠2
11. 一般地，对于直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2: A 2x+B 2y+C 2=0(A 1B 1C 1≠0,A 2B 2C 2≠0),有
方程组⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧⇔≠=⇔⇔==⇔⇔≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.,,002121212121212121212121222111平行无解重合无穷多解相交唯一解l l C C B B A A l l C C B B A A l l B B A A C y B x A C y B x A . 注意：(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂，重在应用.
(b)如果A 1,A 2,B 1,B 2,C 1,C 2中有等于零的情况，方程比较简单，两条直线的位置关系很容易确定.
④(a)可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点.
(b)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.
(c)结论：方程表示经过这两条直线l 1与l 2的交点的直线的集合.
（三）应用示例
例1 求下列两直线的交点坐标,l 1：3x+4y-2=0,l 2：2x+y+2=0.
解:解方程组⎩
⎨⎧=++=-+,022,023y x y x 得x=-2，y=2，所以l 1与l 2的交点坐标为M(-2，2). 变式训练
求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l 1:x-2y+2=0,l 2:2x-y-2=0.
解:解方程组x-2y+2=0,
2x-y-2=0,得x=2,
y=2,所以l 1与l 2的交点是(2,2).
设经过原点的直线方程为y=kx,把点(2,2)的坐标代入以上方程,得k=1,所以所求直线方程为y=x.
点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.
(1)l 1：x-y=0，l 2：3x+3y-10=0.
(2)l 1：3x-y+4=0，l 2：6x-2y-1=0.
(3)l 1：3x+4y-5=0，l 2：6x+8y-10=0.
活动：教师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后再进行讲评.
解:(1)解方程组⎩⎨⎧=-+=-,01033,0y x y x 得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.35,35y x 所以l 1与l 2相交,交点是(35,3
5). (2)解方程组⎩⎨⎧=--=+-)2(,0126)1(,
043y x y x
①×2-②得9=0,矛盾,
方程组无解,所以两直线无公共点,l 1∥l 2.
(3)解方程组⎩⎨⎧=-+=-+)
2(,01086)1(,
0543y x y x ①×2得6x+8y-10=0.
因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l 1与l 2重合.
变式训练
判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点.
(1)l 1:7x+2y-1=0,l 2:14x+4y-2=0.
(2)l 1:(3-2)x+y=7,l 2:x+(3+2)y-6=0.
(3)l 1:3x+5y-1=0,l 2:4x+3y=5.
答案：(1)重合，(2)平行，(3)相交，交点坐标为(2，－1).
例3 求过点A(1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线方程.
解法一：∵直线2x ＋3y ＋5=0的斜率为-32，∴所求直线斜率为-3
2.又直线过点A(1，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.
解法二：设与直线2x ＋3y ＋5=0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m=0，∵l 经过点A(1，－4),
∴2×1＋3×(－4)＋m=0.解之,得m=10.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10=0.
点评：解法一求直线方程的方法是通法，须掌握.解法二是常常采用的解题技巧.一般地，直线Ax ＋By ＋C=0中系数A 、B 确定直线的斜率.因此，与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m=0，其中m 待定.经过点A(x 0，y 0)，且与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线方程为A(x －x 0)＋B(y －y 0)=0.
变式训练
求与直线2x ＋3y ＋5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为6
5的直线方程. 答案：2x+3y-1=0.
（四）知能训练
课本本节练习1、2.
（五）拓展提升
问题：已知a 为实数，两直线l 1:ax+y+1=0,l 2:x+y-a=0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及x 轴上.
分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横、纵坐标的范围.
解:解方程组⎩⎨⎧=-+=++0,01a y x y ax ,得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+-=.11,112a a y a a x .若112-+a a ＞0，则a ＞1. 当a ＞1时，－1
1-+a a ＜0，此时交点在第二象限内. 又因为a 为任意实数时，都有a 2+1≥1＞0，故1
12-+a a ≠0. 因为a≠1(否则两直线平行，无交点)，
所以交点不可能在x 轴上，交点(－1
1,112-+-+a a a a )不在x 轴上. （六）课堂小结
本节课通过讨论两直线方程联立方程组来研究两直线的位置关系，得出了方程系数比的关系与直线位置关系的联系.培养了同学们的数形结合思想、分类讨论思想和转化思想.通过本节学习，要求学生掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的情况，培养学生树立辩证统一的观点.当两条直线相交时，会求交点坐标.注意语言表述能力的训练.通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力.以“特殊”到“一般”，培养探索事物本质属性的精神，以及运动变化的相互联系的观点.
（七）作业
课本习题3.3 A组1、2、3,选做4题.。