高中物理模型组合讲解 水平方向上的碰撞+弹簧模型
车晓红
［模型概述］
在应用动量守恒、机械能守恒、功能关系和能量转化等规律考查学生的综合应用能力时，常有一类模型，就是有弹簧参与，因弹力做功的过程中弹力是个变力，并与动量、能量联系，所以分析解决这类问题时，要细致分析弹簧的动态过程，利用动能定理和功能关系等知识解题。

［模型讲解］
一、光滑水平面上的碰撞问题
例1. 在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A 、B ，质量都为m ，现B 球静止，A 球向B 球运动，发生正碰。

已知碰撞过程中总机械能守恒，两球压缩最紧时的弹性势能为E P ，则碰前A 球的速度等于（ ） A. m E P B. m E P 2 C. m E P 2 D. m
E P 22 解析：设碰前A 球的速度为v 0，两球压缩最紧时的速度为v ，根据动量守恒定律得出
mv mv 20=，由能量守恒定律得220)2(2121v m E mv P +=，联立解得m
E v P 20=，所以正确选项为C 。

二、光滑水平面上有阻挡板参与的碰撞问题
例2. 在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。

这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A 和B 用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P ，右边有一小球C 沿轨道以速度v 0射向B 球，如图1所示，C 与B 发生碰撞并立即结成一个整体D ，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A 球与挡板P 发生碰撞，碰后A 、D 都静止不动，A 与P 接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A 、B 、C 三球的质量均为m 。

图1
（1）求弹簧长度刚被锁定后A 球的速度。

（2）求在A 球离开挡板P 之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：（1）设C 球与B 球粘结成D 时，D 的速度为v 1，由动量守恒得1
0)(v m m mv +=
当弹簧压至最短时，D 与A 的速度相等，设此速度为v 2，由动量守恒得2132mv mv =，由以上两式求得A 的速度023
1v v =。

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为E P ，由能量守恒，有P E mv mv +⋅=⋅222132
1221撞击P 后，A 与D 的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，势能全部转弯成D 的动能，设D 的速度为v 3，则有23)2(2
1v m E P ⋅= 以后弹簧伸长，A 球离开挡板P ，并获得速度，当A 、D 的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为v 4，由动量守恒得4332mv mv =
当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为E P '，由能量守恒，有'3212212423P E mv mv +⋅=⋅解以上各式得2036
1'mv E P =。

说明：对弹簧模型来说“系统具有共同速度之时，恰为系统弹性势能最多”。

三、粗糙水平面上有阻挡板参与的碰撞问题
例3. 图2中，轻弹簧的一端固定，另一端与滑块B 相连，B 静止在水平直导轨上，弹簧处在原长状态。

另一质量与B 相同滑块A ，从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行，当A 滑过距离l 1时，与B 相碰，碰撞时间极短，碰后A 、B 紧贴在一起运动，但互不粘连。

已知最后A 恰好返回出发点P 并停止，滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ，运动过程中弹簧最大形变量为l 2，重力加速度为g ，求A 从P 出发时的初速度v 0。

图2
解析：令A 、B 质量皆为m ，A 刚接触B 时速度为v 1（碰前） 由功能关系，有121202
121mgl mv mv μ=- A 、B 碰撞过程中动量守恒，令碰后A 、B 共同运动的速度为v 2
有212mv mv =
碰后A 、B 先一起向左运动，接着A 、B 一起被弹回，在弹簧恢复到原长时，设A 、B 的共同速度为v 3，在这一过程中，弹簧势能始末状态都为零，利用功能关系，有
)2()2()2(2
1)2(2122322l g m v m v m μ=-
此后A 、B 开始分离，A 单独向右滑到P 点停下，由功能关系有
12321mgl mv μ= 由以上各式，解得)1610(210l l g v +=
μ
四、结论开放性问题 例4. 用轻弹簧相连的质量均为2kg 的A 、B 两物块都以s m v /6=的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量为4kg 的物体C 静止在前方，如图3所示，B 与C 碰撞后二者粘在一起运动。

求：在以后的运动中，
图3
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A 的速度多大？
（2）弹性势能的最大值是多大？
（3）A 的速度有可能向左吗？为什么？
解析：（1）当A 、B 、C 三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大，由于A 、B 、C 三者组成的系统动量守恒，有
A C
B A B A v )m m m (v )m m (++=+
解得：s m v A /3=
（2）B 、C 碰撞时B 、C 组成的系统动量守恒，设碰后瞬间B 、C 两者速度为'v ，则 s m v v m m v m C B B /2'')(=+=，
设物块A 速度为v A 时弹簧的弹性势能最大为E P ，根据能量守恒
J v m m m v m v m m E A C B A A C B P 12)(2
121')(21222=++-++= （3）由系统动量守恒得
B C B A A B A v m m v m v m v m )(++=+
设A 的速度方向向左，0<A v ，则s m v B /4>
则作用后A 、B 、C 动能之和
J v m m v m E B C B A A k 48)(2
12122>++= 实际上系统的机械能
J v m m m E E A C B A P 48)(2
1'2=+++= 根据能量守恒定律，'E E k >是不可能的。

故A 不可能向左运动。

［模型要点］
系统动量守恒21p p =，如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

能量守恒P k E E ∆=∆，动能与势能相互转化。

弹簧两端均有物体：弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相等，弹簧具有最大的弹性势能。

当弹簧恢复原长时，相互关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。

若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。

［模型演练］
（2006年江苏省前黄高级中学检测题）如图4所示，在光滑水平长直轨道上，A 、B 两小球之间有一处于原长的轻质弹簧，弹簧右端与B 球连接，左端与A 球接触但不粘连，已知m m m m B A 22==，，开始时A 、B 均静止。

在A 球的左边有一质量为m 2
1的小球C 以初速度0v 向右运动，与A 球碰撞后粘连在一起，成为一个复合球D ，碰撞时间极短，接着逐渐压缩弹簧并使B 球运动，经过一段时间后，D 球与弹簧分离（弹簧始终处于弹性限度内）。

图4
（1）上述过程中，弹簧的最大弹性势能是多少？
（2）当弹簧恢复原长时B 球速度是多大？
（3）若开始时在B 球右侧某位置固定一块挡板（图中未画出），在D 球与弹簧分离前使B 球与挡板发生碰撞，并在碰后立即将挡板撤走，设B 球与挡板碰撞时间极短，碰后B 球速度大小不变，但方向相反，试求出此后弹簧的弹性势能最大值的范围。

答案：（1）设C 与A 相碰后速度为v 1，三个球共同速度为v 2时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒，能量守恒有：
202221max 022*******
1321216
123212
1121m v m v m v E v v v m m v v v v m m v p =⋅-==><⋅==><⋅= （2）设弹簧恢复原长时，D 球速度为3v ，B 球速度为4v ><⋅+=>
<+=422
1212132242321431mv mv mv mv mv mv 则有3
32631
014013v v v v v v ==-=-=， （3）设B 球与挡板相碰前瞬间D 、B 两球速度65v v 、 ><+=5221650mv mv mv
与挡板碰后弹性势能最大，D 、B 两球速度相等，设为'v ><=-6'
3265mv mv mv 24
)4(836
)4(238'321)2(21'6
43223232'2
05202
05202
20050550565v v m m v v v m m v v m v m E v v v v v v v v v v P --=-⨯-=⨯⨯-⨯⨯=-=-=+-=-= 当405v v =时，'P E 最大8
'20max mv E P = 605v v -=时，'P E 最小，108
'20min mv E P = 所以8
'1082020mv E mv P ≤≤。