乘法公式的拓展及常见题型整理一.公式拓展:拓展一:ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+aa a a 拓展二:ab b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=-拓展三:bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++拓展四:辉三角形3223333)(b ab b a a b a +++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+拓展五: 立方和与立方差))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-二.常见题型:(一)公式倍比例题:已知b a +=4,求ab b a ++222。
⑴如果1,3=-=-c a b a ,那么()()()222a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ,则222121y xy x ++= ⑶已知xy 2y x ,y x x x -+-=---2222)()1(则=(二)公式组合 例题:已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab⑴若()()a b a b -=+=22713,,则a b 22+=____________,a b =_________ ⑵设(5a +3b )2=(5a -3b )2+A ,则A=⑶若()()x y x y a-=++22,则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-,那么M 等于⑸已知(a+b)2=m ,(a —b)2=n ,则ab 等于⑹若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ,ad bd ac ,求))((2222d c b a ++(三)整体代入例1:2422=-y x ,6=+y x ,求代数式y x 35+的值。
例2:已知a=201x +20,b=201x +19,c=201x +21,求a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac 的值⑴若499,7322=-=-y x y x ,则y x 3+=⑵若2=+b a ,则b b a 422+-= 若65=+b a ,则b ab a 3052++=⑶已知a 2+b 2=6ab 且a >b >0,求b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ,20062005+=x b ,20082005+=xc ,则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 .(四)步步为营例题:3⨯(22+1)⨯(24+1)⨯(28+1)⨯(162+1)6⨯)17(+⨯(72+1)⨯(74+1)⨯(78+1)+1 ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++1)12()12()12()12()12()12(3216842++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+222222122009201020112012-++-+-ΛΛ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411…⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011(五)分类配方例题:已知03410622=++-+n m n m ,求n m +的值。
⑴已知:x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0,则x+y+z 的值为 。
⑵已知x ²+y ²-6x-2y+10=0,则11x y+的值为 。
⑶已知x 2+y 2-2x+2y+2=0,求代数式20032004x y +的值为 .⑷若x y x y 2246130++-+=,x ,y 均为有理数,求yx 的值为 。
⑸已知a 2+b 2+6a-4b+13=0,求(a+b)2的值为⑹说理:试说明不论x,y 取什么有理数,多项式x 2+y 2-2x+2y+3的值总是正数.(六)首尾互倒例1:已知242411112,1;(2);(3)x a a a x a a a +=++-求:()例2:已知a 2-7a +1=0.求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值; ⑴已知0132=--x x ,求①221x x += ②221x x -= ⑵若x 2- 219x +1=0,求441x x + 的值为 ⑶如果12a a +=,那么221a a += 2、已知51=+x x ,那么221x x +=_______ ⑷已知31=-x x ,则221x x +的值是 ⑸若12a a+= 且0<a<1,求a - a 1的值是 ⑹已知a 2-3a +1=0.求a a 1+和a - a1和221a a +的值为 ⑺已知31=+x x ,求①221x x += ②441xx += ⑻已知a 2-7a +1=0.求a a 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值;(七)知二求一例题:已知3,5==+ab b a ,求:①22b a + ②b a - ③22b a - ④ab b a + ⑤22b ab a +- ⑥33b a +⑴已知2=+n m ,2-=mn ,则=--)1)(1(n m _______⑵若a 2+2a=1则(a+1)2=________.⑶若22a b +=7,a+b=5,则ab= 若22a b +=7,ab =5,则a+b=⑷若x 2+y 2=12,xy=4,则(x-y)2=_________.22a b +=7,a-b=5,则ab= ⑸若22a b +=3,ab =-4,则a-b=⑹已知:a+b=7,ab=-12,求 ①a 2+b 2= ②a 2-ab+b 2= ③(a-b)2=⑺已知a +b=3,a 3+b 3=9,则ab= ,a 2+b 2= ,a-b=第五讲 乘法公式应用与拓展【基础知识概述】一、基本公式:平方差公式:(a+b)(a-b)=a 2—b 2完全平方公式:(a+b)2=a 2+2ab+b 2(a-b)2=a 2-2ab+b 2变形公式:(1)()2222a b a b ab +=+-(2)()2222a b a b ab +=-+(3) ()()222222a b a b a b ++-=+(4) ()()224a b a b ab +--= 二、思想方法:① a 、b 可以是数,可以是某个式子;② 要有整体观念,即把某一个式子看成a 或b ,再用公式。
③ 注意公式的逆用。
④ 2a ≥0。
⑤ 用公式的变形形式。
三、典型问题分析:1、顺用公式:例1、计算下列各题:① ()()()()()224488a b a b a b a b a b -++++② 3(22+1)(24+1)(28+1)(162+1)+12、逆用公式:例2. ①1949²-1950²+1951²-1952²+……+2011²-2012²②⎪⎭⎫ ⎝⎛-2211⎪⎭⎫ ⎝⎛-2311⎪⎭⎫ ⎝⎛-2411……⎪⎭⎫ ⎝⎛-2201011③ 1.2345²+0.7655²+2.469×0.7655【变式练习】填空题:① 26a a ++__= 2__a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+ ②241x ++__=( 2)6.x 2+ax+121是一个完全平方式,则a 为( )A .22B .-22C .±22D .03、配方法:例3.已知:x ²+y ²+4x-2y+5=0,求x+y 的值。
【变式练习】①已知x ²+y ²-6x-2y+10=0,求11x y+的值。
②已知:x ²+y ²+z ²-2x+4y-6z+14=0,求:x+y+z 的值。
③当x = 时,代数式2x 取得最小值,这个最小值是当x = 时,代数式24x +取得最小值,这个最小值是当x = 时,代数式()234x -+取得最小值,这个最小值是当x = 时,代数式243x x --取得最小值,这个最小值是 对于2243x x ---呢?4、变形用公式:例5. 若()()()240x z x y y z ----=,试探求x z +与y 的关系。
例6.化简:()()22a b c d a b c d +++++--例7. 如果22223()()a b c a b c ++=++,请你猜想:a 、b 、c 之间的关系,并说明你的猜想。
完全平方公式变形的应用练习题一:1、已知m 2+n 2-6m+10n+34=0,求m+n 的值 2、已知0136422=+-++y x y x ,y x 、都是有理数,求y x 的值。
3.已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
二:1.已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2.已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60,(a -b)2=80,求a 2+b 2及a b 的值5.已知6,4a b ab +==,求22223a b a b ab ++的值。
6.已知222450x y x y +--+=,求21(1)2x xy --的值。
7.已知16x x -=,求221x x +的值。
8、0132=++x x ,求(1)221x x +(2)441x x +9、试说明不论x,y 取何值,代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
10、已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++,请说明该三角形是什么三角形?B卷:提高题一、七彩题1.(多题-思路题)计算:(1)(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)+1(n是正整数);(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(32008+1)-401632.2.(一题多变题)利用平方差公式计算:2009×2007-20082.(1)一变:利用平方差公式计算:22007200720082006-⨯.(2)二变:利用平方差公式计算:22007 200820061⨯+.二、知识交叉题3.(科交叉题)解方程:x(x+2)+(2x+1)(2x-1)=5(x2+3).三、实际应用题4.广场有一块边长为2a米的形草坪,经统一规划后,南北方向要缩短3米,东西方向要加长3米,则改造后的长方形草坪的面积是多少?课标新型题1.(规律探究题)已知x≠1,计算(1+x)(1-x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1-x3,(1-x)(•1+x+x2+x3)=1-x4.(1)观察以上各式并猜想:(1-x)(1+x+x2+…+x n)=______.(n为正整数)(2)根据你的猜想计算:①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______.②2+22+23+…+2n=______(n为正整数).③(x-1)(x99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______.(3)通过以上规律请你进行下面的探索:①(a-b)(a+b)=_______.②(a-b)(a2+ab+b2)=______.③(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=______.2.(结论开放题)请写出一个平方差公式,使其中含有字母m,n和数字4.3.从边长为a的大形纸板中挖去一个边长为b的小形纸板后,•将剩下的纸板沿虚线裁成四个相同的等腰梯形,如图1-7-1所示,然后拼成一个平行四边形,如图1-7-2所示,分别计算这两个图形阴影部分的面积,结果验证了什么公式?请将结果与同伴交流一下.4、探究拓展与应用(2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=(28-1).根据上式的计算方法,请计算(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)-2364的值.“整体思想”在整式运算中的运用“整体思想”是中学数学中的一种重要思想,贯穿于中学数学的全过程,有些问题局部求解各个击破,无法解决,而从全局着眼,整体思考,会使问题化繁为简,化难为易,思路清淅,演算简单,复杂问题迎刃而解,现就“整体思想”在整式运算中的运用,略举几例解析如下,供同学们参考:1、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.2、已知2083-=x a ,1883-=x b ,1683-=x c ,求:代数式bc ac ab c b a ---++222的值。