3．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.
(1)当切线PA的长度为2 时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3)求线段AB长度的最小值．
(2)若从南面漂来一根长为7m的笔直的竹竿(粗细不计)，竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠(不会卡住)？请说明理由．
解(1)由题意，PA＝ ，QA＝ ，所以l＝PA＋QA＝ ＋ .
(2)设f(θ)＝ ＋ ，θ∈ .
由f′(θ)＝－ ＋ ＝ ，
令f′(θ)＝0，得tanθ0＝ .
f′(x)＝3x2－2－ ＝
＝ ，
令f′(x)＝0，得x＝1，
且当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
因为f(1)＝－1＜0，f ＝ － ＋1＞0，f(e)＝e3－2e－1＞0，函数f(x)在区间 和[1，e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，知函数f(x)有两个零点．
解(1)由题意可知，圆M的半径r＝2，设P(2b，b)，
因为PA是圆M的一条切线，A为切点，
所以∠MAP＝90°，
所以MP＝ ＝ ＝4，
解得b＝0或b＝ ，
所以P(0,0)或P .
(2)设P(2b，b)，因为∠MAP＝90°，所以经过A，P，M三点的圆N以MP为直径，
其方程为(x－b)2＋ 2＝ 曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝b，求a＋b的值；
(2)在(1)的条件下，求函数f(x)零点的个数．
解(1)f′(x)＝3ax2－2－ ，
由题意，f′(1)＝0，f(1)＝b，解得，a＝1，b＝－1，
所以a＋b＝0.
(2)由(1)知，f(x)＝x3－2x－lnx，
所以tanA＝ ，所以A＝ .
因为sin2C＋cos2C＝1，cosC＝ ，C∈(0，π)，
所以sinC＝ ，
由正弦定理知 ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ ，
即2a－3c＝0.
(2)解 因为B∈ ，所以A－B＝ －B∈ ，
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，
所以sin(A－B)＝ ，
所以sinB＝sin(A－(A－B))＝sinAcos(A－B)－cosA·sin(A－B)＝ .
且当θ∈(0，θ0)，f′(θ)＜0；当θ∈ ，f′(θ)＞0，所以f(θ)在(0，θ0)上单调递减，在 上单调递增，
所以当θ＝θ0时，f(θ)取得极小值，即为最小值．
当tanθ0＝ 时，sinθ0＝ ，cosθ0＝ ，所以f(θ)的最小值为3 ，
即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为3 m.因为3 ＞7，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．
点M到直线AB的距离d＝ ，
相交弦长AB＝2 ＝4
＝4 .
当b＝ 时，AB有最小值 .
4．如图是一“T”型水渠的平面视图(俯视图)，水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向渠宽为4m，东西向渠宽 m(从拐角处，即图中A，B处开始)．假定渠内的水面始终保持水平位置(即无高度差)．
(1)在水平面内，过点A的一条直线与水渠的内壁交于P，Q两点，且与水渠的一边的夹角为θ ，将线段PQ的长度l表示为θ的函数；
1．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C，已知sin ＝2cosA.
(1)若cosC＝ ，求证：2a－3c＝0；
(2)若B∈ ，且cos(A－B)＝ ，求sinB.
(1)证明 因为sin ＝2cosA，得 sinA＋ cosA＝2cosA，
即sinA＝ cosA，因为A∈(0，π)，且cosA≠0，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由
解得 或 所以圆过定点(0,4)， .
(3)因为圆N方程为(x－b)2＋ 2＝ ，
即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0.①
圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0.②
②－①得圆M与圆N的相交弦AB所在直线方程为
2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，