河北科技师范学院
科研技能训练文献综述
矩阵的秩的应用
院（系、部）名称：数学与信息科技学院专业名称：数学与应用数学专业学生姓名：张晓杰
学生学号：1111110128
指导教师：张灵敏
2013年 12 月 10日
河北科技师范学院务教处
矩阵的秩不仅是代数学中的一个主要研究对象，也是应用数学研究中的一个重要工具。

矩阵的秩是矩阵的一个重要不变量，是矩阵的重要数字特征，是高等代数课程中的一个基本概念。

矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终,是矩阵一个本质的属性，在求方阵的逆、判断线性方程组是否有解以及有多少个解、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面,矩阵的秩都有着广泛的应用。

不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说，学习和理解它的含义都是十分必要的。

文献[1]讨论了矩阵的秩在解决方阵问题中的作用，即对于一个方阵n n
A R´
Î是否可逆, 可根据方阵秩的大小来判断。

方阵A可逆的充要条件是方阵A的秩为n。

文献[2][3][4]在矩阵的秩的应用中写了关于矩阵的秩在解线性方程组中的应用，可以通过矩阵的秩来判断方程组是否有解，当方程组有解时,解的个数情况;并且在如何求解中对其增广矩阵实施初等变换，化为最简行阶梯形，还原成同解方程组，求出其解。

文献[5][6]讨论了矩阵的秩在求向量组的最大无关组以及判别向量组的线性相关性时的应用。

将向量组的线性相关性的判别问题转化为判别向量组构成的矩阵的秩与向量组中向量的个数之间的关系问题，从而使得向量组的线性相关性的判别简单化，并且为判断向量组的线性相关性时使用齐次线性方程组解的相关理论搭建了一个平台。

文献[7]综述了线性变换的秩与其对应矩阵的秩的关系，通过线性变换把矩阵的秩运用到线性空间的求解中，利用线性变换求解变换前后矩阵的秩的变化。

从而使抽象问题得到具体化，让我们更好的解决空间问题。

文献[8]探讨了矩阵的秩在特征值和二次型问题中的作用，矩阵的特征值和二次型问题是线性代数的重要内容，它们都与矩阵的秩有关。

在二次型中，更是把二次型所对应的对称矩阵A 的秩定义为该二次型的秩。

文献[9][10][11]讨论了矩阵的秩在解析几何的应用。

①根据线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩判断空间两直线的关系；②根据线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩来判断两平面相交、平行重合的关系；③根据空间平面与直线的参数方程的系数构成的矩阵来判断平面与直线相交、平行；④根据空间三平面的方程系数矩阵和增广矩阵的秩来判断三平面之间的关系。

文献[12]讨论了矩阵的秩在判定齐次马尔可夫链遍历性中的应用。

判断齐次
Markov 链的遍历性，通常需要找到一个正整数k，使k步转移概率矩阵
k
p无零元。

当k比较大时，通常的处理比较繁琐而且运算量大。

因此，该作者引入矩阵的秩来判断齐次Markov 链是否具有遍历性。

通过矩阵是否为满秩来确定齐次Markov 链具不具有遍历性。

文献[13][14]对矩阵的秩教学方法的探究，得出了通过运用矩阵的秩求解线性方程组在教学过程中有着重要的作用。

基于这些研究和自身的教学实践, 探讨以知识点为基础的例题教学, 引导学生养成分析问题的能力, 加深对抽象知识的理解和把握。

文献[15]说明了矩阵的秩是矩阵的一个重要的理论，我们可以根据矩阵的秩解决很多东西。

一个矩阵的秩等价于它的子矩阵的秩，矩阵的秩还是判断两个矩
阵等价的重要工具。

矩阵的秩不光在代数学有着重要的应用，在解析几何中也有着很重要的应用，在线性代数中更有着不可替代的作用。

所以我们不仅要学会它，还应该更加的牢固的掌握它。

参考文献:
[1] 苏芳.徐湛.成礼智.矩阵的秩在线性代数中的应用[J].科技创新导报.国防科技大学理学院.2010年27期:205.
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[5] 吴天毅．线性代数教学内容改革的研究与实践[J].天津轻工业学院学
报.2003年18期:27-28.
[6] 江蓉.王守中.矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨广东[J]. 石油化工学院理学院.2012年08期:175-180.
[7] 丁万龙.孙梅香.线性变换的秩与其对应矩阵的秩的等价性[J].阴山学刊:自然科学版.内蒙古科技大学附属中学.2009年01期:23-24.
[9] 马世祥.郑平.矩阵秩在判断平面及直线间相关位置中的应用[J].甘肃高师学报.兰州城市学院.2008年02期:14-15.
[10] 陈荣海.浅谈矩阵的秩在中学数学解析几何中的应用[J].科技传播.福建泉州安溪一中.2010年24期:124-127.
[11] 冯锡刚.解析几何中矩阵秩的应用[J].山东省农业管理干部学院学报.山东省农业管理干部学院.2000年01期:60-61.
[12] 赵为华.束剑.矩阵秩在判定齐次马尔可夫链遍历性中的应用[J].南通大学学报:自然科学版.南通大学.2009年01期:80-82.
[13] 郭竹梅.矩阵的秩教学方法新探.北京工业职业技术学院学报[J].安徽科技学院理学院.2009年02期:71-73.
[14] 陈洪.陶燕芳.矩阵的秩例题教学浅析[J].湖北成人教育学院学报.华中农业大学理学院.2011年03期:122-141.
[15] 滕冬梅.矩阵秩理论的新处理[J].苏州大学学报:自然科学版.苏州大学数学科学学院.2011年03期:8-11.
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年月日。