八年级【几何模型三角形轴对称】试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.如图,△ABC 中,AB=AC=BC,∠BDC=120°且BD=DC,现以D为顶点作一个60°角,使角两边分别交AB,AC边所在直线于M,N两点,连接MN,探究线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.(1)如图1,若∠MDN的两边分别交AB,AC边于M,N两点.猜想:BM+NC=MN.延长AC到点E,使CE=BM,连接DE,再证明两次三角形全等可证.请你按照该思路写出完整的证明过程;(2)如图2,若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点,其它条件不变,再探究线段BM,MN,NC之间的关系,请直接写出你的猜想(不用证明).【答案】(1)过程见解析;(2)MN= NC﹣BM.【解析】【分析】(1)延长AC至E,使得CE=BM并连接DE,根据△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,可以证得△MBD≌△ECD,可得MD=DE,∠BDM=∠CDE,再根据∠MDN=60°,∠BDC=120°,可证∠MDN =∠NDE=60°,得出△DMN≌△DEN,进而得到MN=BM+NC.(2)在CA上截取CE=BM,利用(1)中的证明方法,先证△BMD≌△CED(SAS),再证△MDN≌△EDN(SAS),即可得出结论.【详解】解:(1)如图示,延长AC至E,使得CE=BM,并连接DE.∵△BDC为等腰三角形,△ABC为等边三角形,∴BD=CD,∠DBC=∠DCB,∠MBC=∠ACB=60°,又BD=DC,且∠BDC=120°,∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°,∴∠MBD=∠ECD=90°,在△MBD与△ECD中,∵BD CDMBD ECD BM CE,∴△MBD≌△ECD(SAS),∴MD=DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△DMN与△DEN中,∵MD DEMDN EDN DN DN,∴△DMN≌△DEN(SAS),∴MN=NE=CE+NC=BM+NC.(2)如图②中,结论:MN=NC﹣BM.理由:在CA上截取CE=BM.∵△ABC是正三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,又∵BD=CD,∠BDC=120°,∴∠BCD=∠CBD=30°,∴∠MBD=∠DCE=90°,在△BMD和△CED中∵BM CEMBD ECD BD CD,∴△BMD≌△CED(SAS),∴DM= DE,∠BDM=∠CDE∵∠MDN =60°,∠BDC=120°,∴∠NDE=∠BDC-(∠BDN+∠CDE)=∠BDC-(∠BDN+∠BDM)=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,即:∠MDN =∠NDE=60°,在△MDN和△EDN中∵ND NDEDN MDN ND ND,∴△MDN≌△EDN(SAS),∴MN =NE=NC﹣CE=NC﹣BM.【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.2.如图1,等腰△ABC中,AC=BC=42∠ACB=45˚,AO是BC边上的高,D为线段AO上一动点,以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚,连结BE.(1) 求证:△ACD≌△BCE;(2) 如图2,在图1的基础上,延长BE至Q, P为BQ上一点,连结CP、CQ,若CP=CQ=5,求PQ的长.(3) 连接OE,直接写出线段OE的最小值.【答案】(1)证明见解析;(2)PQ=6;(3)OE=422-【解析】试题分析:()1根据SAS即可证得ACD BCE≌;()2首先过点C作CH BQ⊥于H,由等腰三角形的性质,即可求得45DAC∠=︒,则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.()3OE BQ⊥时,OE取得最小值.试题解析:()1证明:∵△ABC与△DCE是等腰三角形,∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=,45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=,∴∠ACD=∠BCE;在△ACD和△BCE中,,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌;()2首先过点C作CH BQ⊥于H,(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ,∵△ABC 是等腰三角形,∠ACB=45˚,AO 是BC 边上的高,45DAC ∴∠=,ACD BCE ≌,45PBC DAC ∴∠=∠=,∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=, 54PC CQ CH ===,,3PH QH ∴==,6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时,OE 取得最小值.最小值为:42 2.OE =-3.如图,在ABC ∆中,ACB ∠为锐角,点D 为射线BC 上一动点,连接AD .以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF .(1)若AB AC =,90BAC ∠=︒①当点D 在线段BC 上时(与点B 不重合),试探讨CF 与BD 的数量关系和位置关系; ②当点D 在线段C 的延长线上时,①中的结论是否仍然成立,请在图2中面出相应的图形并说明理由;(2)如图3,若AB AC ≠,90BAC ∠≠︒,45BCA ∠=︒,点D 在线段BC 上运动,试探究CF与BD的位置关系.【答案】(1)①CF⊥BD,证明见解析;②成立,理由见解析;(2)CF⊥BD,证明见解析.【解析】【分析】(1)①根据同角的余角相等求出∠CAF=∠BAD,然后利用“边角边”证明△ACF和△ABD全等,②先求出∠CAF=∠BAD,然后与①的思路相同求解即可;(2)过点A作AE⊥AC交BC于E,可得△ACE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AC=AE,∠AED=45°,再根据同角的余角相等求出∠CAF=∠EAD,然后利用“边角边”证明△ACF和△AED全等,根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠AED,然后求出∠BCF=90°,从而得到CF⊥BD.【详解】解:(1)①∵∠BAC=90°,△ADF是等腰直角三角形,∴∠CAF+∠CAD=90°,∠BAD+∠ACD=90°,∴∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,∵AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠ABD=45°,∵∠ACB=45°,∴∠FCB=90°,∴CF⊥BD;②成立,理由如下:如图2:∵∠CAB=∠DAF=90°,∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD,即∠CAF=∠BAD,在△ACF和△ABD中,∵AB=AC,∠CAF=∠BAD,AD=AF,∴△ACF≌△ABD(SAS),∴CF=BD,∠ACF=∠B,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°,(2)如图3,过点A 作AE ⊥AC 交BC 于E ,∵∠BCA=45°,∴△ACE 是等腰直角三角形,∴AC=AE ,∠AED=45°,∵∠CAF+∠CAD=90°,∠EAD+∠CAD=90°,∴∠CAF=∠EAD ,在△ACF 和△AED 中,∵AC=AE ,∠CAF=∠EAD ,AD=AF ,∴△ACF ≌△AED(SAS),∴∠ACF=∠AED=45°,∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°,∴CF ⊥BD .【点睛】本题考查全等三角形的动点问题,综合性较强,有一定难度,需要熟练掌握全等三角形的判定和性质进行综合运用.4.如图,在平面直角坐标系中,A 、B 坐标为()6,0、()0,6,P 为线段AB 上的一点.(1)如图1,若P 为AB 的中点,点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点,且保持AM ON =,则在点M 、N 运动的过程中,探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系,并说明理由.(2)如图2,若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点,过B 点作BD OP ⊥,交OP 、OA 分别于F 、D 两点,E 为OA 上一点,且PEA BDO =∠∠,试判断线段OD 与AE 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)PM=PN ,PM ⊥PN ,理由见解析;(2)OD=AE ,理由见解析【分析】(1)连接OP .只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题;(2)作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .由△DBO ≌△GOA ,推出OD=AG ,∠BDO=∠G ,再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题;【详解】(1)结论:PM=PN ,PM ⊥PN .理由如下:如图1中,连接OP .∵A 、B 坐标为(6,0)、(0,6),∴OB=OA=6,∠AOB=90°,∵P 为AB 的中点,∴OP=12AB=PB=PA ,OP ⊥AB ,∠PON=∠PAM=45°, ∴∠OPA=90°,在△PON 和△PAM 中, ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PON ≌△PAM (SAS ),∴PN=PM ,∠OPN=∠APM ,∴∠NPM=∠OPA=90°,∴PM ⊥PN ,PM=PN .(2)结论:OD=AE .理由如下:如图2中,作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .∵BD ⊥OP ,∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°,∴∠AOG=∠DBO ,∵OB=OA ,∴△DBO ≌△GOA ,∴OD=AG ,∠BDO=∠G ,∵∠BDO=∠PEA ,∴∠G=∠AEP ,在△PAE 和△PAG 中,AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PAE ≌△PAG (AAS ),∴OD=AE .【点睛】 考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.5.如图(1),在ABC 中,90A ∠=︒,AB AC =,点D 是斜边BC 的中点,点E ,F 分别在线段AB ,AC 上, 且90EDF ∠=︒.(1)求证:DEF 为等腰直角三角形;(2)若ABC 的面积为7,求四边形AEDF 的面积;(3)如图(2),如果点E 运动到AB 的延长线上时,点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒,DEF 还是等腰直角三角形吗.请说明理由.【答案】(1)证明见解析;(2)3.5;(3)是,理由见解析.【解析】【分析】(1)由题意连接AD ,并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF 为等腰直角三角形;(2)由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ,以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可;(3)根据题意连接AD ,运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA),进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.【详解】解:(1)证明:如图①,连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD,∴∠1=∠B=45°,∵∠EDF=90°,∠2+∠3=90°,又∵∠3+∠4=90°,∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF中,∠1=∠B,AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°,∴ΔDEF为等腰直角三角形.(2)由(1)可知DE=DF,∠C=∠6=45°,又∵∠2+∠3=90°,∠2+∠5=90°,∴∠3=∠5,∴△ADE≌△CDF,∴S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF,∴ S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S四边形AEDF=3.5 .(3)是.如图②,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC,D是斜边BC的中点,∴AD⊥BC,AD=BD ,∴∠1=45°,∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°,∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°,∴∠DAF=∠DBE,∵∠EDF=90°,∴∠3+∠4=90°,又∵∠2+∠3=90°,∴∠2=∠4,在△BDE和△ADF中,∠DAF=∠DBE,AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°,∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质,根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.6.如图,在ABC ∆中,903, 7C AC BC ∠=︒==,,点D 是BC 边上的动点,连接AD ,以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE .(1)填空:ABC ∆的面积等于 ;(2)连接CE ,求证:CE 是ACB ∠的平分线;(3)点O 在BC 边上,且1CO =, 当D 从点O 出发运动至点B 停止时,求点E 相应的运动路程.【答案】(1)212;(2)证明见解析;(3)32【解析】【分析】 (1)根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得;(2)如图所示作出辅助线,证明△AEM ≌△DEN (AAS ),得到ME=NE ,即可利用角平分线的判定证明;(3)由(2)可知点E 在∠ACB 的平分线上,当点D 向点B 运动时,点E 的路径为一条直线,再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +,根据CD 的长度计算出CE 的长度即可.【详解】解:(1)903, 7C AC BC ∠=︒==, ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=, 故答案为:212 (2)连接CE ,过点E 作EM ⊥AC 于点M ,作EN ⊥BC 于点N ,∴∠EMA=∠END=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠MEN=90°,∴∠MED+∠DEN=90°,∵△ADE是等腰直角三角形∴∠AED=90°,AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°,∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM与△DEN中,∠EMA=∠END=90°,∠AEM=∠DEN,AE=DE∴△AEM≌△DEN(AAS)∴ME=NE∴点E在∠ACB的平分线上,即CE是ACB∠的平分线(3)由(2)可知,点E在∠ACB的平分线上,∴当点D向点B运动时,点E的路径为一条直线,∵△AEM≌△DEN∴AM=DN,即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中,CE=CE,ME=NE,∴Rt△CME≌Rt△CNE(HL)∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+,又∵∠MCE=∠NCE=45°,∠CME=90°,∴22()2CN AC CD=+,当AC=3,CD=CO=1时,21)22+=当AC=3,CD=CB=7时,27)2+=∴点E的运动路程为:522232=【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题,涉及角平分线的判定,几何中动点问题,全等三角形的性质与判定,解题的关键是综合运用上述知识点.7.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E .易得DE AD BE =+(不需要证明).(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE ,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE .由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ,证得△ACD ≌△CBE ,得到AD=CE ,CD=BE ,即有DE=AD-BE ;(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD .证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△CBE(AAS),∴AD=CE ,CD=BE ,∴DE=CE-CD=AD-BE ;(2)结论:DE=BE-AD .∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB(AAS),∴AD=CE ,DC=BE ,∴DE=CD-CE=BE-AD .【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.8.在等边ABC 中,点D 是边BC 上一点.作射线AD ,点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长,交射线AD 于点F .(1)如图,连接AE ,①AE 与AC 的数量关系是__________;②设BAF α∠=,用α表示BCF ∠的大小;(2)如图,用等式表示线段AF ,CF ,EF 之间的数量关系,并证明.【答案】(1) ①AB=AE ;②∠BCF=α;(2) AF-EF=CF ,理由见详解.【解析】【分析】(1)①根据轴对称性,即可得到答案;②由轴对称性,得:AE=AB ,∠BAF=∠EAF=α,由ABC 是等边三角形,得AB=AC ,∠BAC=∠ACB=60°,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°,即可求解; (2)作∠FCG=60°交AD 于点G ,连接BF ,易证∆FCG 是等边三角形,得GF=FC ,再证∆ACG ≅∆BCF(SAS),从而得AG=BF ,进而可得到结论.【详解】(1)①∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ,∴AB 和AE 关于射线AD 的对称,∴AB=AE.故答案是:AB=AE ;②∵点B 关于射线AD 的对称点为点E ,∴AE=AB ,∠BAF=∠EAF=α,∵ABC 是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°,∴∠EAC=60°-2α,AE=AC,∴∠ACE=1180(602)602αα⎡⎤--=+⎣⎦,∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α+-60°=α.(2)AF-EF=CF,理由如下:作∠FCG=60°交AD于点G,连接BF,∵∠BAF=∠BCF=α,∠ADB=∠CDF,∴∠ABC=∠AFC=60°,∴∆FCG是等边三角形,∴GF=FC,∵ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°,∴∠ACG=∠BCF=α.在∆ACG和∆BCF中,∵CA CBACG BCF CG CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴∆ACG≅∆BCF(SAS),∴AG=BF,∵点B关于射线AD的对称点为点E,∴AG=BF=EF,∵AF-AG=GF,∴AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.9.如图1,已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线,D为CF上一点,且DA=DB.(1)求证:∠ACB =∠ADB ;(2)求证:AC +BC <2BD ;(3)如图2,若∠ECF =60°,证明:AC =BC +CD .【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】【分析】(1)过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ,得出∠DAM=∠DBN ,则结论得证;(2)证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ,可得CM=CN ,得出AC+BC=2BN ,又BN <BD ,则结论得证;(3)在AC 上取一点P ,使CP=CD ,连接DP ,可证明△ADP ≌△BDC ,得出AP=BC ,则结论可得出.【详解】(1)证明:过点D 分别作AC ,CE 的垂线,垂足分别为M ,N ,∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线,∴DM =DN ,在Rt △DAM 和Rt △DBN 中,DA DB DM DN =⎧⎨=⎩, ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN (HL ),∴∠DAM =∠DBN ,∴∠ACB =∠ADB ;(2)证明:由(1)知DM =DN ,在Rt △DMC 和Rt △DNC 中,DC DCDM DN=⎧⎨=⎩,∴Rt△DMC≌Rt△DNC(HL),∴CM=CN,∴AC+BC=AM+CM+BC=AM+CN+BC=AM+BN,又∵AM=BN,∴AC+BC=2BN,∵BN<BD,∴AC+BC<2BD.(3)由(1)知∠CAD=∠CBD,在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,∵∠ECF=60°,∠ACF=60°,∴△CDP为等边三角形,∴DP=DC,∠DPC=60°,∴∠APD=120°,∵∠ECF=60°,∴∠BCD=120°,在△ADP和△BDC中,APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADP≌△BDC(AAS),∴AP=BC,∵AC=AP+CP,∴AC=BC+CP,∴AC=BC+CD.【点睛】本题是三角形综合题,考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.10.如图,A(0,4)是直角坐标系y轴上一点,动点P从原点O出发,沿x轴正半轴运动,速度为每秒1个单位长度,以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.(1)若AB∥x轴,如图1,求t的值;(2)设点A关于x轴的对称点为A′,连接A′B,在点P运动的过程中,∠OA′B的度数是否会发生变化,若不变,请求出∠OA′B的度数,若改变,请说明理由.(3)如图2,当t=3时,坐标平面内有一点M(不与A重合)使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等,请直接写出点M的坐标.【答案】(1)4;(2)∠OA′B的度数不变,∠OA′B=45 ,理由见解析;(3)点M的坐标为(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1)【解析】【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质,可证明△AOP为等腰直角三角形,从而求得答案;(2)根据对称的性质得:PA=PA'=PB,由∠PAB+∠PBA=90°,结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B=45°;(3)分类讨论:分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时,点M的坐标的情况;过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线,利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.【详解】(1)∵AB∥x轴,△APB为等腰直角三角形,∴∠PAB=∠PBA=∠APO=45°,∴△AOP为等腰直角三角形,∴OA=OP=4.∴t=4÷1=4(秒),故t的值为4.(2)如图2,∠OA′B的度数不变,∠OA′B=45°,∵点A 关于x 轴的对称点为A ′,∴PA =PA ',又AP =PB ,∴PA =PA '=PB ,∴∠PAA '=∠PA 'A ,∠PBA '=∠PA 'B ,又∵∠PAB +∠PBA =90°,∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '=180()PAB PBA ∠∠︒-+180=︒-90°=90°,∴∠AA 'B =45°,即∠OA 'B =45°;(3)当t =3时,M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等, ①如图3,若△ABP ≌△MBP ,则AP =PM ,过点M 作MD ⊥OP 于点D ,∵∠AOP =∠PDM ,∠APO =∠DPM ,∴△AOP ≌△MDP (AAS ),∴OA =DM =4,OP =PD =3,∴M 的坐标为:(6,-4).②如图4,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点E ,过点B 作BG ⊥x 轴于点G ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PGB ≅∴34BG OP PG AO ====,∵BG ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BGOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OG OP PG ==+=+=在Rt ABF 和Rt PME 中∠BAF =45︒+1∠,∠MPE =45︒+2∠,∴∠BAF =∠MPE∵AB PM =∴Rt ABF Rt PME ≅∴71ME BF PE AF ====,∴M 的坐标为:(4,7),③如图5,若△ABP ≌△MPB ,则AB PM =,过点M 作M E ⊥x 轴于点D ,过点B 作BG ⊥x 轴于点E ,过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,∵△APB 为等腰直角三角形,则△MPB 也为等腰直角三角形,∴∠BAP =∠MPB=45︒,PA PB =∵139023∠+∠=︒=∠+∠,∴12∠=∠∴Rt AOP Rt PEB ≅∴34BE OP PE AO ====,∵BE ⊥x 轴BF ,⊥y 轴∴四边形BEOF 为矩形,∴3OP BG ==,则431AF OA OF =-=-=347BF OE OP PE ==+=+=在Rt ABF 和Rt PMD 中∵BF ⊥y 轴∴42∠=∠∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+∴ABF PMD ∠∠=∵AB PM =∴Rt ABF Rt PMD ≅∴17MD AF PD BF ====,∴M 的坐标为:(10,﹣1).综合以上可得点M 的坐标为:(6,﹣4),(4,7),(10,﹣1).【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,第(3)小题要注意分类讨论,作此类型的题要结合图形,构建适当的辅助线,寻找相等的量才能得出结论.。