高二暑假综合练习（一）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 复数(1＋2i)2的共轭复数是____________．2. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a 、b ＞0)的离心率为2，则ba＝____________.3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是____________．4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________.5. 已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a 、b 、c ，则“以a 、b 、c 为边恰好构成三角形”的概率是__________．6. 设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3， AC ＝6，则AE →·AF →＝____________.7. 设α、β为两个不重合的平面，m 、n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：① 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；② 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ③ 若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；④ 若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直． 其中，所有真命题的序号是____________．8. 已知tan α＝17，tan β＝13，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝__________.9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝____________.10. 已知圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0相交，则实数m 的取值范围为____________．11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14，精确到1 m)．12. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7(n ∈N *)，则数列{a n }的前100项的和为____________．13. 已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足b ＋2c ≤3a ，c ＋2a ≤3b ，则b a的取值范围为____________．14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，过点P 作切线与两个坐标轴交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最小值为______________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1) 求A；(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)16.三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.17. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长l (m)的积，且车距不得小于一个车身长l (假设所有车身长均为l )．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．(1) 求通过隧道的最低车速；(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？18.如图，椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于B 、C 两点．(1) 若＝λ，求实数λ的值；(2) 设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1(n ∈N *)．(1) 求S 1，S 2及S n ；(2) 设b n ＝(12)a n ，若对一切n ∈N *，均有∑nk =1b k ∈(1m ，m 2－6m ＋163)，求实数m 的取值范围．20. 设函数f (x )＝ln x －kx －aax－ln a (x ＞0，a ＞0且a 为常数)．(1) 当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明；(2) 当k ＝0时，求证：f (x )＞0对一切x ＞0恒成立；(3) 若k ＜0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数.数学试卷附加题21．B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 －1 2 ，B ＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1．(1) 计算AB ；(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l'，求直线l'的方程．C ．选修4—4参数方程与极坐标已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ（a 是常数）．（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两个圆的圆心距为5，求a 的值．22．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，D 是棱CC 1的中点．(1) 证明：A 1D ⊥平面AB 1C 1；(2) 求二面角B －AB 1－C 1的余弦值．23．某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A 、B 、C 、D 与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对一个得3分，连错得－1分，一名观众随意连线，他的得分记作X ． (1) 求该观众得分非负的概率； (2) 求X 的分布列及数学期望．A BCA 1B 1C 1 D高二暑假综合练习（一）参考答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. －3－4i2. 33. 24. π45. 586. 107. ①②8. π4 9. 25 10. 1＜m ＜121 11. 100 12. 200 13. (34，53) 14. 3324二、 解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解：(1) 由条件，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，(2分)∴ cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.(4分)∵ A 是三角形内角，∴ A ＝60°.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧B ＋C ＝120°，B －C ＝90°，得B ＝105°，C ＝15°.(8分)由正弦定理得b sin105°＝4sin15°，即b ＝4sin105°sin15°.(10分)∴ b ＝4tan75°.(12分)∵ tan75°＝tan(45°＋30°)＝1＋tan30°1－tan30°＝2＋3，∴ b ＝8＋4 3.(14分)16. 证明：(1) 连DA 、DB 1、DO ， ∵ AB ＝A 1A ，D 为C 1C 的中点，而DB 1＝DC 21＋C 1B 21，DA ＝DC 2＋CA 2， ∴ DB 1＝DA .(2分)又O 是正方形A 1ABB 1对角线的交点， ∴ DO ⊥AB 1.(4分)又A 1B ⊥AB 1，A 1B ∩DO ＝O ， ∴ AB 1⊥平面A 1BD .(7分) (2) 取A 1O 的中点F ，在△A 1OA 中，∵ E 是OA 中点，∴ EF 12AA 1.(9分)又D 为C 1C 的中点，∴ CD 12AA 1.∴ EFCD ，故四边形CDFE 是平行四边形．∴ CE ∥DF .(12分) 又DF ⊂平面A 1BD ，CE ⊄平面A 1BD ， ∴ EC ∥平面A 1BD .(14分)17. 解：(1) 依题意，设d ＝kv 2l ，其中k 是待定系数， ∵ 当v ＝60时，d ＝1.44l ，∴ 1.44l ＝k ×602l .(2分)∴ k ＝0.000 4.则d ＝0.000 4v 2l .(4分)∵ d ≥l ，∴ 0.000 4v 2l ≥l .则v ≥50.∴ 最低车速为50 km/h.(7分)(2) 因为两车间距为d ，则两辆车头间的距离为l ＋d (m)，一小时内通过汽车的数量为Q ＝ 1 000v l ＋0.000 4v 2l ，即Q ＝ 1 000l (1v＋0.000 4v ).(9分)∵ 1v＋0.000 4v ≥21v ×0.000 4v ＝0.04，∴ Q ≤25 000l.(12分)当1v ＝0.000 4v ，即v ＝50时，Q 取得最大值为25 000l.∴ 当v ＝50 km/h 时，单位时段内通过的汽车数量最多．(14分)18. 解：(1) 由条件，得F (－1,0)，A (0，3)，直线AF 的斜率k 1＝ 3.∵ AB ⊥AF ，∴ 直线AB 的斜率为－33.则直线AB 的方程为y ＝－33x ＋ 3.(2分)令y ＝0，得x ＝3.∴ 点C 的坐标为(3,0)．(3分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－33x ＋3，x 24＋y 23＝1，得13x 2－24x ＝0.解得x 1＝0(舍)，x 2＝2413.∴ 点B 的坐标为(2413，5313)．(5分)∵ ＝λ，∴ λ＞0，且λ＝ABBC.∴ λ＝24133－2413＝85.(7分)(2) ∵ △ACF 是直角三角形，∴ △ACF 外接圆的圆心为D (1,0)，半径为2.∴ 圆D 的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(9分)∵ AB 是定值，∴ 当△PAB 的面积最大时，点P 到直线AC 的距离最大． 过D 作直线AC 的垂线m ，则点P 为直线m 与圆D 的交点．(11分) ∴ 直线m 的方程为y ＝3(x －1)．(13分)代入圆D 的方程，得(x －1)2＋3(x －1)2＝4.(14分) ∴ x ＝0或x ＝2(舍)．则点P 的坐标为(0，3)．(16分)19. 解：(1) 依题意，n ＝1时，S 1＝2，n ＝2时，S 2＝6.(2分)∵ 1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1，① n ≥2时，1S 1＋1S 2＋…＋1S n －1＝n －1n，②①－②，得1S n ＝n n ＋1－n －1n，∴ S n ＝n (n ＋1)．(4分)上式对n ＝1也成立，∴ S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(5分) (2) 由(1)知，S n ＝n (n ＋1)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n .(7分)∵ a 1＝2，∴ a n ＝2n (n ∈N *)．(8分)∴ b n ＝(14)n.∵ b n ＋1b n ＝14，∴ 数列{b n }是等比数列．(10分)则∑k ＝1nb k ＝14(1－14n )1－14＝13(1－14n )．(12分)∵ 13(1－14n )随n 的增大而增大，∴ 14≤∑k ＝1n b k ＜13.(13分) 依条件，得⎩⎪⎨⎪⎧1m ＜14，m 2－6m ＋163≥13.(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，或m ＞4，m ≤1，或m ≥5.∴ m ＜0或m ≥5.(16分)20. (1) 解：当k ＝1时，f (x )＝ln x －1a ·x 12＋ax －12－ln a ，∵ f ′(x )＝1x －12a ·x －12－a 2x －32(1分)＝－(x －a )22axx≤0，(3分)∴ 函数f (x )在(0，＋∞)上是单调减函数．(4分)(2) 证明：当k ＝0时，f (x )＝ln x ＋ax －12－ln a ，f ′(x )＝1x －a 2x x ＝2x －a2x x，令f ′(x )＝0，解得x ＝a4.(6分)当0＜x ＜a4时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数；当x ＞a4时，f ′(x )＞0，f (x )是单调幸函数．∴ 当x ＝a 4时，f (x )有极小值为f (a4)＝2－2ln2.(8分)∵ e ＞2，∴ f (x )的极小值f (a 4)＝2(1－ln2)＝2ln e2＞0.∴ f (x )＞0恒成立．(10分)(3) 证明：∵ f (x )＝ln x －k a ·x 12＋ax －12－ln a ，∴ f ′(x )＝－kx ＋2ax －a2axx .令f ′(x 0)＝0，得kx 0－2ax 0＋a ＝0.(12分)∴ x 0＝a 1－1－k k .(x 0＝a 1＋1－kk舍去)∴ x 0＝a(1＋1－k )2.(14分) 当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＜0，f (x )是单调减函数； 当x ＞x 0时，f ′(x )＞0，f (x )是单调增函数． 因此，当x ＝x 0时，f (x )有极小值f (x 0)．(15分)又f (x 0)＝ln x 0a －k x 0a＋a x 0，而x 0a ＝1(1＋1－k )2是与a 无关的常数， ∴ ln x 0a ，－kx 0a ，ax 0均与a 无关．∴ f (x 0)是与a 无关的常数．则f (x )的极小值是一个与a 无关的常数．(16分) 21．B ．解：(1) AB ＝⎣⎡⎦⎤2 －3－1 4 ， ………………………………3分(2) 设P (x ，y )是直线l'上一点，P (x ，y )由直线l 上点P'(x'，y')经矩阵B 变换得到，……4分则⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤1 －20 1 ⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x'－2y' y'， ………………………………6分 所以⎩⎨⎧x ＝x'－2y'，y ＝y'， 解得⎩⎨⎧x'＝x ＋2y ，y'＝y ．………………………………8分代入直线l 的方程x ＋y ＋2=0，得x ＋2y ＋y ＋2＝0，即x ＋3y ＋2＝0， 故直线l'的方程为x ＋3y ＋2＝0． ………………………10分C ．解：（1）两圆原方程可化为ρ2＝2ρcos θ和ρ2＝2aρsin θ．∴两圆的直角坐标方程分别是x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2－2ay ＝0．（2）根据（1）可知道两圆圆心的直角坐标分别是O 1(－1，0)和O 2(0，a )．由题知1＋a 2＝5，解得a ＝±2．22．证明(1) ∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ．∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴BC ⊥CC 1． ∵ AC CC 1＝C ，∴BC ⊥平面ACC 1A 1． 以C 为坐标原点，，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向的方向向量，建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝1，AA 1＝6，∴C (0，0，0)，B (1，0，0)，A (0，0，3)，C 1(0，60)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)．(1) ＝(0，－62，－3)，＝(－1，0，0)，＝(1，6，－3)， ∵·＝0，·＝0，∴⊥，⊥，即AD 1⊥B 1C 1，AD 1⊥AB 1．∵B 1C 1∩AB 1＝B 1，B 1C 1，AB 1⊂平面AB 1C 1，∴A 1D ⊥平面AB 1C 1．(2) 设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的法向量，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋6y －3z ＝0，6y ＝0．取z ＝1，则n ＝(3，0，1)是平面ABB 1的一个法向量．又＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且＜，n ＞与二面角B －AB 1－C 1的大小相等．由cos ＜，n ＞＝＝(0，－62，－3)·(3，0，1)３22×２＝－66．故二面角B －AB 1－C 1的余弦值为－66． y zx A B CA 1B 1C 1 D百度文库 - 让每个人平等地提升自我1123．解：(1) X 的可能取值为－4，0，4，12． P (X ＝12)＝＝124； P (X ＝4)＝＝624＝14； P (X ＝0)＝＝824＝13； 该同学得分非负的概率为P (X ＝12)＋P (X ＝4)＋P (X ＝0)＝1524． (2) P (X ＝－4)＝＝924． X 的分布列为:E (X )＝－4×924＋4×14＋12×124＝0．X －4 0 4 12 P 924 1314 124。