∴ 平面 .
12．证明见解析
【分析】
在等腰三角形PAB中， 是 的中点，可得 ，利用线面垂直的判定定理可证 平面 ，利用线面垂直的性质定理，即可得证.
【详解】
证明：∵ 是 的中点， ，
∴ ，
∵ 底面 ，
∴ ，
又∵ ，即
∴ 平面 ，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
8．证明见解析
【分析】
由平面 ⊥平面 得到 ⊥平面 ，进一步得到 ⊥ ，再结合直径所对圆周角为直角得到 ⊥ ， ⊥平面 ，从而得到证明.
【详解】
由题设知，平面 ⊥平面 ，交线为 .
因为 ⊥ ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，故 ⊥ .
因为 为 上异于 ， 的点，且 为直径，所以 ⊥ .
又 = ，所以 ⊥平面 .
∴点O为三角形ABC的垂心，∴BO⊥AC
又因PO⊥AC，所以AC⊥PBO
故PB⊥AC
考点：证明异面直线垂直．
7．见解析
【分析】
由已知中P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，结合正方形的几何特征，我们易得到BC⊥平面PAB，由线面垂直的性质得到BC⊥AE，结合已知中AE⊥PB，及线面垂直的判定定理，得到AE⊥平面PBC，最后再由线面垂直的判定定理，即可得到AE⊥PC．
【点睛】
此题考查线面垂直的性质和判定的综合应用，利用线面垂直得线线垂直.
5．证明见解析
【分析】
先证直线 平面 ，再证平面 ⊥平面 .
【详解】
证明:∵ 是圆的直径， 是圆上任一点， ， ，
平面 ， 平面 ，
，又 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 ⊥平面 .
【点睛】
本题考查圆周角及线面垂直判定定理、面面垂直判定定理的应用，考查垂直关系的简单证明.
6．三棱锥P—ABC中，PO⊥面ABC，垂足为O，若PA⊥BC，PC⊥AB，求证：
（1）AO⊥BC
（2）PB⊥AC
7．P为正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥面ABCD，AE⊥PB，求证：AE⊥PC．
8．如图，边长为2的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 ， 的点.证明：平面 平面 .
专题4：立体几何中垂直关系的证明基础练习题
1．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且 ，求证：CD⊥平面PAD.
2．如图所示， 是边长为 的正六边形 所在平面外一点， ， 在平面 内的射影为 的中点 .证明 .
而 平面 ，故平面 ⊥平面定理进行证明即可
【详解】
证明：由已知得， 平面 ，
平面 ，
故 .
又 ， ，
所以， 平面 .
10．证明见解析
【分析】
由等腰三角形的性质证明 ，由面面垂直的性质定理证明 平面 ，最后由线面垂直的性质得出PE⊥BC.
【详解】
∵ ，且 为 的中点，∴ .
9．如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1，证明：BE⊥平面EB1C1
10．如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，E为AD的中点.求证：PE⊥BC.
11．如图所示，四面体 中， 为 的中点， ， ，求证： 平面 .
12．如图所示，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， ， 底面 ，且 ， 、 分别为 、 的中点.求证： .
参考答案
1．证明见解析
【分析】
由PA⊥CD，AD⊥CD即可得出.
【详解】
因为PA⊥平面ABCD， 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又因为AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD.
2．证明见解析
【分析】
连结 ，则易知 与 的交点为 ，利用线面垂直的判定定理及性质定理，即可得证.
【详解】
证明：连结 ，则易知 与 的交点为 ，如图所示：
由正六边形的性质可得 ，
∵ ， ， ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
3．详见解析.
【分析】
根据直线与平面垂直的判定定理可知,只需证明 与平面 内的两条相交直线垂直即可,而 , 满足定理条件.
【详解】
证明: C是底面圆周上异于A,B的任意一点，AB是圆柱底面圆的直径， ,
3．如图所示，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A,B的任意一点，A1A=AB=2.求证:BC⊥平面A1AC．
4．如图，在三棱锥P-ABC中， ，垂足为D， 底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证： .
5．已知 是圆的直径， 垂直圆所在的平面, 是圆上任一点．求证:平面 ⊥平面 .
【详解】
证明：∵PA⊥面ABCD，
∴PA⊥AD
又∵BC∥AD
∴PA⊥BC
又由AB⊥BC，PA∩AB＝A
∴BC⊥平面PAB
又AE⊂平面PAB
∴BC⊥AE
又由AE⊥PB，BC∩PB＝B
∴AE⊥平面PBC
又∵PC⊂平面PBC
∴PC⊥AE
【点睛】
本题考查知识点是直线与平面垂直的判定及直线与平面垂直的性质，其中熟练掌握正方形的几何特征及线面垂直的判定定理和性质是解答本题的关键．
∵平面 平面 ，平面 平面
∴ 平面 .
∵ 面 ，∴PE⊥BC.
11．证明见解析
【分析】
在等腰三角形ABD中， 为 的中点，可得 ，分别求出AO,CO,AC的长，利用勾股定理，可得 ，利用线面垂直的判定定理，即可得证.
【详解】
证明：连接 ，∵ ， ，
∴ ，
在 中，由已知可得 ， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， 平面 ， 平面 ，
平面 平面 , ,
平面 平面
平面 .
【点睛】
本题考查直线与平面垂直的判定,考查棱柱的性质,考查学生空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
4．证明见解析
【分析】
通过线面垂直证得 ，结合 得 平面POC，即可得证.
【详解】
证明： 底面ABC， 底面ABC， .
∵O在CD上, .
又 ，
平面POC. 平面POC， .
6．证明过程详见解析．
【解析】
试题分析：异面直线垂直往往是证明其中一条直线垂直另一条直线所在的平面，即由直线与平面垂直的性质证明直线与直线垂直．
试题解析：（如图）
（1）∵PO⊥面ABC，BC 平面ABC
∴PO⊥BC，又因PA⊥BC
∴BC⊥平面PAO
∴AO⊥BC．
由（1）知，AO⊥BC．同（1）证法，由PC⊥AB，可得CO⊥AB