课时跟踪检测(十五) 回归分析的基本思想及其初步应用
一、选择题
1．(重庆高考)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )
A.y ^
＝0.4x ＋2.3 B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^
＝－2x ＋9.5
D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C ，D.且直线必过点(3,3.5)代入A ，B 得A 正确．
2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：
甲 乙 丙 丁 R 2
0.98
0.78
0.50
0.85
哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙
D ．丁
解析：选A 相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．
3．对变量x ，y 进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )
解析：选A 用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．
4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
解析：选B 样本点的中心是(3.5,42)， 则a ^＝y －b ^
x ＝42－9.4×3.5＝9.1， 所以回归直线方程是y ^
＝9.4x ＋9.1， 把x ＝6代入得y ^
＝65.5.
5．(福建高考)已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.b ^>b ′，a ^
<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^
<a ′
解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.
而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^
＝
∑i ＝1
6
x i y i －6x －·y
－
∑i ＝1
6
x 2i －6x －
2
＝
58－6×72×
13
6
91－6×⎝⎛⎭
⎫722
＝57，a ^＝y －－b ^x －＝136－57×72＝－13
，所以b ^<b ′，a ^
>a ′. 二、填空题
6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2x ＋1上，则这组样本数据
的样本相关系数为________．
解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：1
7．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2为________． 解析：回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝80－60＝20， 故R 2＝20
80＝0.25⎝⎛⎭⎫或R 2＝1－6080＝0.25. 答案：0.25
8．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：
x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2
i ＝79，∑i ＝1
6x i y i ＝1 481.
则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元． 解析：由题意知，b ^
＝1 481－6×7
2×71
79－6×⎝⎛⎭
⎫722≈－1.818 2，
a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，y ^
＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1 000箱，则单位
成本下降1.818 2元．
答案：1.818 2
9．某中高二某班为了对即将上市的班刊进行合理定价，将对班刊按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
(1)求线性回归方程y ＝b x ＋a .
(2)预计今后的销售中，销量与单价服从(1)中的关系，且班刊的成本是4元/件，为了获得最大利润，班刊的单价定为多少元？
解：(1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9
6＝8.5，
y ＝90＋84＋83＋80＋75＋686
＝80，
∑i ＝1
4
x i y i ＝8×90＋8.2×84＋8.4×83＋8.6×80＋8.8×75＋9×68＝4 066，
∑i ＝1
4
x 2i ＝82＋8.22＋8.42＋8.62＋8.82＋92
＝434.2， b ^＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x )2
＝4 066－6×8.5×80434.2－6×8.52
＝－20，
a ^＝y －
b ^
x ＝80＋20×8.5＝250， 所求线性回归方程为y ^
＝－20x ＋250.
(2)获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000， 当x ＝8.25时，z max ＝361.25(元)，
所以当单价定为8.25元时，可获得最大利润．
10．(全国卷Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：
(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^
＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
n
(t i －t )2
，a ^
＝y
－b ^
t .
解：(1)由所给数据计算得
t ＝1
7
×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y ＝1
7
×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑
i＝1
7
(t i－t)2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∑
i＝1
7
(t i－t)(y i－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，
b
^＝
∑
i＝1
7
(t i－t)(y i－y)
∑
i＝1
7
(t i－t)2
＝14
28
＝0.5，
a
^＝y－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，
所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.
(2)由(1)知，b
^＝0.5>0，
故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
11．假设关于某设备使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
x 2345 6
y 2.2 3.8 5.5 6.57.0
若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：
(1)回归直线方程；
(2)估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
解：(1)由表格中的数据可得
x＝
1
5(2＋3＋4＋5＋6)＝4
y＝
1
5(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0)＝5.
∑i ＝1
5
x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62
＝90， ∑i ＝1
5
x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7.0＝112.3，所以回归系数
b ^＝
∑i ＝15
x i y i －5x －y
－
∑i ＝1
5
x 2i －5x
2
＝112.3－5×4×590－5×42
＝12.310＝1.23.
可得a ^＝y －b ^
x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以回归直线方程为y ^
＝1.23x ＋0.08.
(2)当x ＝10时，y ^
＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元) 即估计用10年时，维修费约为12.38万元．。