2012-2013学年第一学期统计10本
《随机过程》期中考试
一. 填空题
1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵()
()n ij P p =，二者之间的关系为
(n)
n P
P =
2.状态i 常返的充要条件为(
)
n i i n p ∞
==∑∞。
3.在马氏链{},0n X n ≥中，记()
n i j
p ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1.
i j p =(
)
1n i j n p ∞
=∑,若i j p <1,称状态i 为 。
二. 判断题
1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若
(
)
1
01110011111
1,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-∀≥∀∈X =|====X =|X
=并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。
×
2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。
×
3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。
×
4. 若状态i ↔状态j ，则i 与j 具有相同的周期。
√
5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。
√
三. 简答题
1．什么是随机过程，随机序列？
答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。
当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。
2 .什么是时齐的独立增量过程？
答：称随机过程{t ξ：t ≥0}为独立增量过程，如果对于01,0,n n t t t ∀∀≤<<< 起始随机变量及其后的增量s t s ξξ+-是相互独立的随机变量组；如果s t s ξξ+-的分布不依赖于s, 则此独立增量过程又称为时齐的独立增量过程。
3.由4个状态组成的马氏链的转移概率矩阵000.50.5100
0100001
0P ⎡⎤
⎢
⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
，确定哪些状态是暂态，哪些状态是常返态？
4.考虑由状态0,1,2,3,4组成的马尔科夫链，而0.50.50
000.50.5000000.50.500
00.50.500.250.25000.5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，确定常返
态？
5.设有四个状态{}I=0123，，，
的马氏链，它的一步转移概率矩阵1
100221
100P =221111444400
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
1) 对状态进行分类； 2) 对状态空间I 进行分解。
解：1) 33303132p 1,p p p =而，，均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记{}1C =3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记{}2C =01，
，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达12C C ，中的状态，而12C C ，中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记{}D =2。
2）状态空间I 可分解为：12E=D C C ⋃⋃
3)
四. 计算题
1. 说是有一位赌徒，他去赌博带有赌资100元，而对手有200元赌资，他们的规则是每次下注五元，每次赢五元或输五元的概率相等, ()5P ε== ()5P ε=-=1/
2.当赌徒破产或完胜时停止赌博。
问：（1）该赌徒完胜和破产的概率分别是什么？ （2）赌博结束时，该赌徒平均能赢多少钱？ （3）这场赌博平均要用多长时间？
解：（1）由题可得，m=100.M=300.则完胜时:
()()100300m P S m P S ττ====m/M=100/300=1/3,
破产时：
()()100()0130011/32/3m P S m P S S τττ====-==-=
(2):
()()1000*0*100m m m S E S P S M P S M
m ττττE ===+===（元）
2. 设子代分布为二项分布B(2，1/2).考察相应的分支过程{:0n n X ≥}及其灭绝时间τ，求灭绝概率ρ
解：由子代分布为二项分布B(2，1/2)，可得：Pk= k k n k
n C p q
-
=P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.
又知f(ρ)=2
0i
i i P ρρ
==∑=1/4+1/2ρ+1/42ρ
解得：ρ=1
3. 设马尔科夫链的转移概率矩阵为: 0.3
0.700
0.20.80.7
0.3P ⎡⎤
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(1).求两步转移概率矩阵(2)P 及当初始分布为
{}011P X ==，{}{}00230P X P X ====时，经两步转移后处于状态2的概率。
（2）求马尔科夫链的平稳分布。
：。