圆梦教育中心高考数学专题
1. 若不等式x2+ax+1>0对于一切xe(O ,刃成立，则a的最小值是().
A. 0 B . — 2 C .—号 D . — 3
2. 已知函数f(x)=log a［&一©门对任意xw ［㊁，+<«］都有意义，则实数a的取值范围是().
1 1 1 1 1
A.(0,才］B . ( 0 , C.［才，1 ) D.(才，刃
3. 函数f(x)定义域为R, Kx#1,已知f(x+1)为奇函数,当x<1时，f(x)=2x2-x+1,那么当x>1时，f(x)的递减区间为().
5_ 5_
A.［车，+8)
B.(l , 4 ］
7_ 7_
C.［车，4-oo)
D. ( 1 , T］
4. 已知f(x)=asinx+b^/^- +4 (a, beR),且f(lglog310)=5,则f(lglg3)的值是().
A. - 5
B. - 3
C. 3
D. 5
5•己知卫各上J=l(a, b, ce R),则有().
ja
A. b2>4ac
B. b2>4ac
C. b2<4ac
D. b2<4ac
6. 方程lgx+x=3的解所在的区间为_______ o
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3, + -)
7. f(x)定义在R 上的函数,f(x+1)=-缶，当xw［—2,T］时，f(x)=x, 则f(-3.5)为()
A.—0.5
B. — 1.5
C.1.5
D.—3.5
PA丄平而丄平而0, A,B为垂足，PA = 4,PB = 2,则AB 8.设P是60°的二而角a-l-0内一点,
的长为( )
A. 2^3
B. 2^5 C・ 2>/7 D・4迥
9. 若函数Xx)=(l-m)?-2/7U-5 是偶函数，则7U) ()
A.先增后减
B.先减后增C•单调递增D•单调递减
10. 对任意非负实数x,不等式厂一皿)Sa恒成立，処I实数a的最小值是().
1 2 3
A. 2
B. 2
C.
D.才
11.二•填空题。
1. 如果y =1 —sin2x—mcosx的最小值为一4,则m的值为______________ .
2. 设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，K f(x)+g(x)=ex+1,则f(x)= ______________ .
3. 已知矩形ABCD的边AB=a, B C = 2 , PA丄平面A B C D, P A= 2 ,现有以卜•五个数据:
(1 )a=2»(2)a = 1；(3)a=«5；(4)a=2；(5)a=4 当在EC 边上存在点Q,使PQ 丄Q
D时，则a可以取___________ .(填上一个正确的数据序号即可)
三.解答题。
1. 设集合人={x|4x—2x+2 + a = 0, xeR}.
(1 )若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；
(2)若对于任意aeB,不等式x2-6x<a(x-2)恒成立，求x的取值范围.
2. 已知二次函数f(x)=ax2+bx(a, b为常数，且aHO)满足条件：
f(x- 1 )=f( 3 —x)且方程f(x)= 2 x 有等根.
(1 )求躯)的解析式;
(2)是否存在实数m, n(mVn),使f(x)定义域和值域分别为［m, n］和［4m, 4n］,如果存在，求IP I m、n 的值；如果不存在，说明理孔
1 1
3. 已知函数f(x)=~—~(a>0, x>0).
a X
(1) 求证:f(x)在(0, +8)上是增函数;
(2) 若f(x)52x在(0, +切上恒成立,求a的取值范围；
(3) 若f(x)在［m, n］上的值域是［m, n］ (m#n),求a的取值范围.
函数与方程练习题答案
一.选择题。
1. Co解法一：看成关于a的不等式，由f(0)>0,且f(*)no可求得a的范围. 解法二：.f(x)=x2+1, g(x)=—ax,
则结合图形(象)知原问题等价于f(^)>g(^), 即a>—
解法三：.利用选项，代入检验，D不成立，而C成立•故选C.
再结合指数函数图象性质可得答案•答案：B.
3. Co 解:由题意可得 f(-x+1)=-f(x+1).令 t=—x+1,则 x=1-t,故 f(t)=-f(2-t)=-f(2-
x).当 x>1, 2-x<1,于是有 f(x)=-f(2-x)=-2(x-T)2 - § ,其递减区间为[车，+T 答 案：C
4. Co 解：因为 f(x)- 4 是奇函数，故 f(-x)-4=- [f(x)—4],即 f(-x)=-f(x)+ 8 ,而 Iglg3 = -lglg 310, /.
f(lglg3)=f(-lglg 310)=-(lglg 310)+8 =—5+8=3.故选C
5. Co 解法1 :依题设有a-5 —b-V5+c=0./.萌是实系数一元二次方程ax 2—bx+c=0的一个实 根.・・・
A=b 2-4ac>0.A bS4ac.故选E.
解法2：其实本题也可用消元的思想求解•依题设得，b=W.
•I b 2—4ac=(V~5-a 十 C 2- 4 ac=5a 2+^c 2—2ac>2ac —2ac=0.故选 B.
Co 图像法解方程，也可代入各区间的一个数(特值法或代入法)，选C
B 8.
C 9.B
10. Ao 解：问题-t-Vx 对 xnO 恒成立.记 f(x)= 5十1
■:(x >0).则问题u>anf(x)max.当 x =0吋，f(x)=O ；当x>0吋，f(x)=V "匸存，显然f(x)在(0, +切上是增函数・・・・0<f(x)< 1 (丁 当 L+s 时
-) 2- / •
故a 兮.即a 的最小值为壬,故选A.
二•填空题。
m
当
2 >1, y
min = 1 -m = -4^m=5.答案：±5.
(于十严十2)
2.答案：f(x)= 2 ,提示：构造f(x)与g(x)的方程组. 6. 7. 当一仁罗-0 时，『伽= ；
=-4 = m=±4 不符，
3.(1)或(2)
三.解答题。
17.(1)令2x=t(t>0),设f(t)=t2—4t+a.由f(t)=O,在(0, +切有且仅有一根或两和等实根，则有
①f(t)= 0 有两等根时，△= 0 = 1 6 —4a=0 = a=4；验证：t?—4t+4 = 0 = t=2丘(0 , +°°),这时x= 1 ；
②f(t) = O有一止根和一负根时，f( 0 )<0^a<0；
③若f(O)= 0 ,则a = O,此时4x-4-2x=0^2x=0(舍去),或2X=4, x=2,即A中只有一个元
素2；
综上所述，aSO或a=4,即8 = {a|aSO或a=4}.
(2)要使原不等式对任意ae(—, o ] U { 4 }恒成立•即g(a)=(x-2)a-(x2-6x)>0恒成立•只须
攵—2WO g ⑷ >0=> g(0)>0 H W2
%2-1 Ox-i-S <0 \ /17
X—2sog = 5—V" <x<2. 0<x<6 3
18.解：(1)T 方程ax2+bx=2x 有等根，.・.A=(b-2)2=0,得b=2.由f(x-1)=
b
f(3—x)知此函数图象的对称轴方程为x=—Nt =1得a= —1,故f(x)=—X2+2X.
(2)f(x)=-(x-1)2+1<1,・•・ 4n<1,即n可.而抛物线y= —x2+2x 的对称轴为x=1.
1
.・.ns才时，f(x)在［m, n］上为增函数•若满足题设条件的m , n存在，则r/Vm) =4m ( -汩十
2m=4m ( m=0 或m=-2 〔
或x—2 又Xn叼二m = —2, n = 0.
丄-丄-(丄-丄)=空空丸巩/汛比)
20. ( 1 )证明：任取x1>x2>0, f(xj—f(X2)= ° d Q 衍轩2 ,故f(x)^( o , + 8)上是增函数.
(2)解：・・・a <2x在(0, +8)上恒成立，月.a>0,・・・十丄在
1 W ,1 —二辽1⑹
(0, +8)上恒成立，令g(x)= 2x-t-—2^2^-—4(当且仅当2x=-UP x= 2吋取等号)，要
使an N十J_(0, +°°)±恒成立，贝'J a>4 »故a的取值范围是[乎，+°°).
(3)解：由(1 )f(x)在定义域上是增函数.・•・m=f(m), n=f(n),
丄丄]_
即m2—a m + 1=0, n2—a n + 1 =0.故方程x2—a x+1= 0有两个不和等的止根m, n,注意到nrn
1
—— 1
=1,则只需要厶=(a )2—4>0,由于a>0,则0VaVg。