1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r＝_____________【答案】27- 解析：27)(21)()()()(-=+⋅-=⋅-=+⋅-=⋅2.0,31=⋅==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则mn等于【答案】3[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r得⎩⎨⎧==⇒+=ny m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n mx y 330tan 0==法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r两边同乘或得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⇒=⋅=⇒=⋅n n mm 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=•=•，则边AB 的长等于22AOA BCPQ解析：4=•=•CB AB AC AB 88)(2=⇒=+⇒AB CB AC AB4.已知点G 是ABC ∆的重心，点P 是GBC ∆内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r则的取值范围是___________)1,32(解析：=+=+=''32GP AG GP AG AP λ )()(31GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+<<n m t ) =)](31)(31[)(31BC AC n CB AB m t AC AB +⋅++⋅++ =AC nt AB mt )1(31)1(31+++，则)1,32(3132∈+=+t μλ 5.已知O 为ABC ∆所在平面内一点，满足22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 22OC AB +u u u r u u u r ，则点O 是ABC ∆的心垂心解析：22OA BC +=u u u r u u u r 22OB CA +=u u u r u u u r 0))(())((=-++-+⇒CA BC CA BC OB OA OB OA 02=⋅⇒OC BA ，可知AB OC ⊥，其余同理6.设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则·的取值范围⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,41- 解析：()1122=+-c b 222b b c -=⇒200<<⇒>b7.在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于_____32 ABCOABCGP GP解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=⋅+⋅AF AC AE AB ，所以2)()(=+⋅++⋅，即22=⋅+⋅+⋅+。

因为12=，1133236133133-=⨯⨯-+⨯⨯=⋅，-=，所以21)(1=--⋅+，即2=⋅。

设EF 与BC 的夹角为θ，则有2cos ||||=⋅⋅θBC BF ，即3cos θ=2，所以32cos =θ8.已知向量αu r ,βu r ,γr 满足||1α=u r ,||||αββ-=u r u r u r ,()()0αγβγ-⋅-=u r r u r r .若对每一确定的βu r ,||γu u r的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意βu r,m n -的最小值是21解析：数形结合.=AB ,β=,βα-=,,γ=BD CD ⊥⇒-=-=αγβγ,，点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而21121,≥⇒≥⇒==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同.9.已知向量a ，b ，c 满足|a |=1，|a -b |=|b |，(a -c )(b -c )=0，若对每一个确定的b ，|c |的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m +n 的最小值为_________．23解析：本题和8完全相同。

数形结合，具体参见810.设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=，若PMN ∆是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可11.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则⋅的最大值为________212sin ))((+=++θDC OD AB OAABCDB 12.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若OB y OA x OC +=，其R y x ∈,，则yx +的最大值是___2 解析：【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)23,21(),0,1(-==则 )23,21(y y x -=，则满足11)23()21(222=-+⇒=+-2xy y x y y x ，且0,2121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA 和OB ，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若y x +=，其中x 、y ∈R ，则22)1(y x +-的最大值为2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA),(y x OC =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x13.在平行四边形中，ABCD 已知︒=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点P 在CD BC 与上运动（包括端点），则•的取值范围是]1,21[-解析：分两种情形，结合图形分析。

（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则]1,21[211∈-=⋅+⋅=⋅BP ；同理，当P 在CD 上时，]21,21[2121-∈+-=⋅DM14.在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是[)716， 解析：PM PN⋅u u u u r u u u r ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+⋅==322362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2(2=+≤b a ab ，PM PN ⋅u u u u r u u u r 732≥-=ab ，或者用消元的方法25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ⋅u u u u r u u u r732≥-=ab ；同时86106<⇒+-=+<a a b a ，当8=a 时16=ab ，故16>ab ，另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决15.已知||4,||6,,OA OB OC xOA yOB ===+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 且21x y +=，AOB ∠是钝角，若()||f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为||OC uuu r的最小值是37何图形解）解析：',,'B A C OB y OA x OC ⇒+=共线，用几()||f t OA tOB =-u u u r u u u r的最小值为23义即为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使||OC uuu r最小，则'AB OC ⊥，利用面积法可求得16.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最小值为12解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,21(),1,1(θθ=-==由AC DE AP λμ=+u u u r u u u r u u u r 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21， 1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++⋅=++-=+θθθθθθθμλ，令]2,0[,sin cos 2sin 1)(πθθθθθ∈++=f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为21)0(=f ，μλ+最小值为2117.已知P 为边长为1的等边ABC ∆所在平面内一点，且满足CA CB CP 2+=，则⋅=________3解析：如图2+=2=⇒，⋅=18.已知向量M={?=(1,2)+?(3,4)??R}，N={?=(-2,2)+?(4,5)??R}，则M ?N=________{})62,46(解析：15'5242'4231=⇒⎩⎨⎧+=++-=+λλλλλPABC OBB ’ AC19.等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ⋅=-u u u u r u u u r 时，AMMB =______3 解析：))((++=⋅20.如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1,则()()CA CD CA CE⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最大值是227解析：21.已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ∆的______________重心解析：设重心为G ，CD CB CA GP OC OB OA OG OP 32)(3)2(3λλλ=+=⇒-+-= λ=，故P G C ,,三点共线22.已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R 23.设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ24.O 是锐角∆ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+u u u r u u u r2AB AB Sin ABC λ⎛ + ∠⎝u u u r u u ur2ACAC Sin ACB ⎫⎪⎪⎪∠⎭u u u r u u u r ,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过∆ABC 的______心内心AD E B解析：设高为AD，则ADAP 1+=λ显然成立25.已知O 为坐标原点，(),OP x y =u u u r ，(),0OA a =，()0,OB a =u u u r ，()3,4OC =u u u r，记PA u u u r 、PB u u u r 、PC u u u r中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是_____)7⎡-+∞⎣解析：≥，即x y ≥，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线的抛物线，其方程为)2(8)3(2-=-y x ,它交直线x y =于点P )627,627(--=，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627-法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢？实际上就是当P 为ABC ∆==M =的最小值，因为当P不是外心时，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14225,14225(22----a a a a ,要==最小，则圆与坐标轴相切，此时a a a =--142252627-=⇒a 26.已知ABC ∆中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+u u r u u u r u u u r且，则x y +的值为_________.23,解析：延长AI 交BC 于点'I ,则AC AB BC AB AI AI 323132'23+=+==27.设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解28.平面内两个非零向量βα,，满足1=β，且α与αβ-的夹角为0135，则α的取值范围是_________]2,0(解析：数形结合。