不等式2级 含参不等式不等式3级 不等式的应用不等式4级方程与不等式综合应用春季班 第七讲 春季班 第五讲怎么就不一样？漫画释义满分晋级阶梯8方程与不等式 综合应用编写思路：对于求参数取值范围的题目:让学生充分认识，通过不等式求范围。

即去寻找题目中的不等关系，得到关于参数的不等式或不等式组。

本块专题通常给出方程组的解所满足的不等关系，从而求出参数的取值范围.以例1为主.对于此类问题，我们可以把方程组的解用参数来表示，也可以不必求出解的值对方程组进行整体考虑，不等式对代数计算要求很高，希望能准确应用性质来解决问题.【引例】 已知3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩，其中12k <<，⑴ 求、x y 的取值范围；⑵ 求2x y -的取值范围.【解析】 ⑴ 解方程组3242231x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩得42515x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∵ 12k <<，∴ 224k <<，∴ 444224555k +<+<+，即142455x <<，同理可得11655y -<<-.例题精讲思路导航知识互联网题型一：方程解的取值范围⑵ 4162224555x y k k k ⎛⎫-=+---=+ ⎪⎝⎭, 可得66641442555k ⨯+<+<⨯+，即2646255x y <-<. 【点评】此题是已知参数的范围，确定解的范围.【例1】 1. 直接求未知数法：⑴ 已知方程组32121x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x y >？⑵k 取什么值时，关于x 、y 的二元一次方程组24x y kx y +=⎧⎨-=⎩得到的、x y 的值① 都小于1；② 都不小于12． 整体法：⑶已知32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩，则a 的取值范围是 .⑷ 已知关于x 、y 的二元一次方程组2424421x y ax y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，那么a 的取值范围是 .⑸ 若方程组3133x y k x y +=+⎧⎨+=⎩的解为x 、y ，且24k <<，求x y -的取值范围.3.与绝对值非负性综合：⑹ 已知()22230x x y m -+-+=，且0y >，则m 的取值范围是 .⑺ 如果12x y =⎧⎨=⎩是关于x 、y 的方程()21280ax by ax by +-+-+=的解，求不等式组1314 >33x x a bax x +⎧-⎪⎨⎪-<+⎩的解集.【解析】 ⑴ 解方程组得35x m y m =-⎧⎨=-⎩，∵x y >，∴35m m ->-，∴4m >.⑵ 解方程组得22x k y k =+⎧⎨=-⎩，① 2121x k y k =+<⎧⎨=-<⎩，解得1k <-；② 2121≥≥x k y k =+⎧⎨=-⎩，解得3≥k .典题精练⑶ 观察方程组32432370x y a x y a x y +=+⎧⎪+=+⎨⎪->⎩①②，不必分别求出、x y 的值，只须-①②即可得到x y -，即()()4370a a +-+>，解得43a >. ⑷ 两个方程相加即可得1a >-.⑸ 两个方程相减，得：()()22222401k x y x y x y =-+⇒<-+<⇒<-<. ⑹ 4m >-.⑺ 由非负性性质可以求得2a =，5b =，则原不等式组的解集为3x <-.【例2】 ⑴已知方程组3751x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数. 化简13a a ++-.⑵已知关于x ，y 的方程组：325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y >>，化简：3a a +-.【解析】 ⑴ 解方程组得443x a y a =+⎧⎨=-⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴44030a a +>⎧⎨->⎩，解得13a -<<.∵13a -<<，∴1030a a +>⎧⎨-<⎩，∴13134a a a a ++-=++-=.⑵32121202252x y a x a a a a x y a y a -=+=+⎧⎧⇒⇒+>->⇒>⎨⎨+==-⎩⎩. 当23a <<时，333a a a a +-=+-=; 当3a ≥时，3323a a a a a +-=+-=-.【点评】根据解的情况确定参数的范围，从而化简绝对值.求解不等式中的参数，通常根据不等式的基本性质来判断并确定含参数的式子的取值范围．如例3. 有的根据不等式的解集列出方程（组），从而求解，确定不等式中参数的值.如例4 确定不等式（组）中参数的取值范围，常用的方法有：⑴逆用不等式（组）解集确定；⑵分类讨论确定；⑶借助数轴确定.【例3】 ⑴ 若2ax >的解集为1x <-，求24x a ->的解集.⑵ 已知a ，b 为常数，若0ax b +>的解集是13x <，求不等式0bx a -<的解集．典题精练思路导航题型二：求不等式中的参数⑶已知关于x 的不等式()3a b x a b +>-的解集是53x <-，试求0bx a ->的解集【解析】 ⑴由于不等号方向改变，故0a <，且21a=-，得20a =-<，符合题意．将2a =-代入不等式24x a ->得，2(2)4x -->，解得1x >.⑵解0ax b +>得ax b >-，由于解集为13x <，不等号方向改变，故0，a <且13b a -=，得103b a =->；解0bx a -<得bx a <，因为03，ab b>=-，所以解集为3x <-.⑶由题可知，30533a b a b a b +<⎧⎪-⎨=-⎪+⎩，解得3200a b a b ⎧=-⎪⎪>⎨⎪<⎪⎩，解0bx a ->得a x b <，即32x <- 【点评】由已知解集确定参数的正负情况，从而解出新的不等式.【例4】 ⑴关于x 的不等式组12x m x m >-⎧⎨>+⎩的解集是1x >-，则m = ．⑵若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩的解集是11x -<<，则2009()a b += ．⑶不等式组237635x a bb x a-<⎧⎨-<⎩的解集是 5<x <22, 求a ·b = .⑷若关于x 的不等式组x m nx m n +<⎧⎨->⎩的解集是37x -<<，求不等式20mx n -<的解集.【解析】 ⑴ 3-.由题意得21m +=-，解得3m =-. ⑵ 1-．由题意，得：2213 , , 2122x a a a bb b x >++=-⎧⎧=-⎧⎪⎪∴∴⎨⎨⎨=<=⎩⎪⎪⎩⎩. 当3a =-，2b =时，()()20092009321a b +=-+=-⑶由题意，得：372376537265635323a b x x a b b a a b x b a b x a x +⎧<⎪-<⎧-+⎪⇒⇒<<⎨⎨--<⎩⎪>⎪⎩，∴37223265553a ba b a b +⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩ 所以15a b ⋅=.⑷解不等式组得x n m x m n <-⎧⎨>+⎩，依题意得73n m m n -=⎧⎨+=-⎩，解得52m n =-⎧⎨=⎩，代入不等式20mx n -<中得()2520x ⨯-⨯-<，解得15x >-.【例5】 已知方程()3127x -+=-的解是不等式()3256x x k -+>-+的最小整数解，求参数k 的取值范围．【解析】 解方程()3127x -+=-得，2x =-，解不等式()3256x x k -+>-+ 得72k x -+>， 即2-是不等式72k x -+>的最小整数解， 故可得7322≤k -+-<-， 解得1113≤k <.【拓展】若关于x 的不等式()152ax x a ->-的解都是不等式123x -<的解，求a 的取值范围．【解析】 ()152ax x a ->-化简得()252a x a ->-，123x -<的解集为1x >-，由题意可得205212≥a a a ->⎧⎪-⎨-⎪-⎩⇒205202+1≥a a a ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2052202≥a a a a ->⎧⎪-+-⎨⎪-⎩⇒20302≥a aa ->⎧⎪-⎨⎪-⎩⇒2030a a ->⎧⎨-⎩≥， 解得23≤a <.【点评】若不等式A 的解都是不等式B 的解，则A 的解集都在B 的解集里.【拓展】若满足不等式3(2)315a x a ---≤≤的x 必满足35x ≤≤，求a 的取值范围. 【解析】 原不等式可化为34(2)36a a x a +-+≤≤当2a >时，则343622a a x a a ++--≤≤，由题意得 34363522a a a a ++--≤≤≤解得8a ≥ 当2a =时，则不等式无解.当2a <时，则363422a a x a a ++--≤≤，由题意得 36343522a a a a ++--≤≤≤，无解.综上得8a ≥.有的不等关系隐藏在题目条件中需要细心发现，当题目中参数较多时，可选出其中一个为已知并且用它来表示其他的参数，如例7思路导航题型三：方程（组）与不等式综合应用【例6】 已知关于x 、y 的方程组2131x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和方程组31241x y ax by +=⎧⎨-=⎩的解相同，求关于x 的不等式616ax bx -->+的解集.【解析】 重组方程组得213312x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得53x y =⎧⎨=-⎩，代入另外两个方程得5315341a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解得47a b =⎧⎨=⎩，代入不等式得46716x x -->+，解得2x <-.【例7】 已知a,b,c 是三个非负数，并且满足325,231a b c a b c ++=+-=,设37M a b c =+-,记M 的最大值为x ，最小值为y ，求xy . 【解析】 由题意，得：7332711a c M c b c =-⎧⇒=-⎨=-⎩. 又因为 0730370711071100≥≥≥≥≤≤≥≥a c b c c c c -⎧⎧⎪⎪⇒-⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎩.得5132711c ---≤≤所以max min15115777x M xy y M ⎧==-⎪⎪⇒=⎨⎪==-⎪⎩.【变式】已知实数a 、b 、c 满足6,23a b c a b c ++=-+=，0c b ≤≤，则a 的最大值为 ，最小值为 .【解析】 由6,23a b c a b c ++=-+=，解得 393,22a ab c +-==. 因为0c b ≤≤，所以933022a a-+≤≤解得332a ≤≤因此a 的最小值为32，最大值为3.【例8】若a,b 满足22357 , 23a b s a b +==-，求s 的最值.(2012年北京十二中期末考试)真题赏析典题精练【解析】 由题意，得25211914319s a s b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,又∵ 20 , 0≥≥a b ，∴521019143019s s +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩≥≥.解得211453s -≤≤所以s 的最大值为143，最小值为215-.【点评】例8把s 看作已知量，并且用它来表示2a 和b ，根据非负性即可得到s 的取值范围，从而得到最值.训练1. 解方程组2133x y k x y +=+⎧⎨-=⎩得到的x 、y 的值，⑴ 如果满足2x y +=，求k ；⑵ 如果x 、y 的值都不小于1，求k 的范围； ⑶ 如果46≤k <，求x 、y 的范围【解析】 ⑴ 94k =解方程组得45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∵2x y +=，∴433255k k +-+=，解得94k =；⑵ 83≥k ．依题意得415335≥≥1k k +⎧⎪⎪⎨-⎪⎪⎩，解得83≥k ；⑶ 825≤x <，935≤y <．∵46≤k <，代入方程组的解45335k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩得825≤x <，935≤y <.训练2. 已知a 、b 为常数，若不等式()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，求不等式()4230a b x a b -+->的解集 【解析】 ∵()2340a b x a b -+-<的解集是49x >，∴2043429a b b a a b -<⎧⎪-⎨=⎪-⎩⇒8700a b a b ⎧=⎪⎪<⎨⎪<⎪⎩，将其代入()4230a b x a b -+->得88423077b b x b b ⎛⎫-+⨯-> ⎪⎝⎭，化简得20577bx b ->，思维拓展训练（选讲）解得14x >-.训练3. 已知方程组46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩与方程35471x y x y -=⎧⎨-=⎩的解相同，求解不等式()112123ax b bx +>-．【解析】 解35471x y x y -=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，将21x y =⎧⎨=⎩代入46ax by ax by -=⎧⎨+=⎩得2426a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 将521a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩代入()112123ax b bx +>-得15121223x x ⎛⎫⨯+>- ⎪⎝⎭.解得121x >-.训练4. 已知x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足325x y z ++=，2x y z +-=，又2S x y z =+-，S 的最大值为m ，S 的最小值为n ，求()kn m -（k 为整数）的值（清华附中期末）【解析】 解方程组3252x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩（将z 看作参数）,解得1341x z y z =-⎧⎨=+⎩，因为000≥≥≥x y z ⎧⎪⎨⎪⎩，所以1304100≥≥≥z z z -⎧⎪+⎨⎪⎩解得103≤≤z ，将1341x z y z =-⎧⎨=+⎩代入2S x y z =+-得33S z =-，2333≤≤z -，所以23≤≤S∴32m n =⎧⎨=⎩，∴()()1k k n m -=- 当k 为偶数时，()()11kkn m -=-=；当k 为奇数时，()()11kkn m -=-=-.复习巩固题型一 方程根的取值范围 巩固练习【练习1】 已知方程组2334541x y m x y m +=+⎧⎨-=-⎩的解满足00x y >⎧⎨<⎩，求m 的取值范围.【解析】 171223317120722454127270211m x x y m m m x y m m m y +⎧=⎪+=++>⎧⎧⎪⇒⇒⇒>⎨⎨⎨-=--+-+<⎩⎩⎪=⎪⎩. 【练习2】 已知24221x y kx y k +=⎧⎨+=+⎩且01y x <-<，则k 的取值范围为 ．【解析】 用方程组中第1个方程减去第2个方程，得21y x k -=-，因为01y x <-<，所以0211k <-<，解得112k <<．题型二 求不等式中的参数 巩固练习【练习3】 若不等式()()230a b x a b ++-<的解集为13x >-，则不等式()()320a b x b a -+->的解集为.【解析】 由已知不等式的解集可得0a b +<，且3213b a a b -=-+，于是20a b =<，代入所求不等式，解得3x >-.【练习4】 ⑴ 若不等式组2123x a x b -<⎧⎨->⎩ 的解集为11x -<<,求()()11a b +-的值.⑵ 若不等式组32122x a x b -<⎧⎨->⎩的解集为723x <<，那么()()12a b ++的值为【解析】 ⑴由题意，121123223223a x a x a b x x b x b +⎧-<<⎧+⎪⇒⇒+<<⎨⎨->⎩⎪>+⎩， ∴23111212b a a b +=-⎧=⎧⎪⇒⎨⎨+=-=⎩⎪⎩ 当12a b =⎧⎨=-⎩， ()()116a b +-=-.⑵ 8.题型三 方程（组）与不等式综合应用 巩固练习【练习5】 已知非负数x,y,z 满足325,2x y z x y z ++=+-=，若2S x y z =+-，求S 的最值. 【解析】 由题意，得：133314x zS z y z =-⎧⇒=-⎨=+⎩又因为1311002343≤≥≥≥≤≤≤≤≥≥zxy z z Szz⎧⎪⎧⎪⎪⎪⇒-⇒⇒⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎩，所以S的最大值为3，最小值为2.第十四种品格：信念信念的力量在美国纽约，有一个年轻的警察叫亚瑟尔。