中南大学考试试卷(A)
2008--2009学年第二学期 时间110分钟
复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。

()()()()()()()254(54)54(54)112Re 1
A i z i z zz
B i z i z
C z i z i
D z z z -++=-++=-++==-
2． 函数2
2
2
()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。

()()()()22A B x C y D ==全平面
处处不可导
3． 下列命题中，不正确的是（ ）。

()()()()()()()()()0Res ,0
Im 1.
z z A f z f z B f z D z f z D C e i
D z e i
ωπω∞∞=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆
4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。

()()()()
()2
2111
1112n n
n
n n n n i i i A B C i D n
n
n ∞∞
∞
∞
====⎛⎫
++
⎪⎝
⎭∑
∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0
lim 1z zf z →=，那么()()
Res ,0f z =（ ）。

()()()()2211A i B i C D ππ--
二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。

2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。

3．
()1
sin z
z z e
z dz =-=⎰ 。

4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。

5． 幂级数
()
1
1n
n z n
∞
=-∑
的收敛半径为 。

三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知2
2
,()1u x y xy f i i =-+=-+。

四．(20分)求下列积分的值 1．
()
2
2
4
1z z e dz z
z =-⎰
2．
()2
sin 0x x
dx a x a
+∞
>+⎰
五．(15分)若函数()z ϕ在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点；
求()()()0Res ,f z z z f z ϕ⎡⎤
'⎢⎥⎣
⎦。

六．（15分）试求()2
1
1f z z =
+以z i =为中心的洛朗级数。

七．（10分）已知单位阶跃函数()0
01
t u t t >⎧=⎨
<⎩，试证明其傅氏变换为
()1
j πδωω
+。

中南大学考试试卷(A)答案
2008--2009学年第二学期 时间110分钟
复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 %
注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 三、单项选择题（15分，每小题3分） 6． A 7． B 8． A 9． C 10． C
四、填空题（15分，每空3分） 1
．4
i π。

2． 。

3． 233z <-<。

4． 半平面()1Re 2
w >
R 。

5．0。

三．(10分)解:容易验证u 是全平面的调和函数。

利用C-R 条件，先求出v 的两个偏导数。

()()()
()
()(),0,00
222,2(,)22211
222
x y x
y v u v u y x x y x y y x v x y y x dx x y dy C
x dx x y dy C x xy y C
∂∂∂∂=-=-==+∂∂∂∂=-+++=-+++=-+++⎰
⎰⎰则
四．(20分)求下列积分的值 1．()23e i π-
2．这里m=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的
22
e d 2πRes[()e ,]ix iz
x x i R z ai x a
+∞
-∞
=+⎰
e
2lim
2ππ2
iz a
a
z ia ze i i ie z ia π--→==⋅=+
22220
sin 11d Im().22
ix
a x x x x e dx e x a x a π+∞
+∞--∞==++⎰
⎰因此
五．(15分)
()()()()()()()
()
()()()()
()()()()()()()
()()
()()()()()()()()()00000000000010010!
(1)0,!,Res ,n n
m
n n z z z z z z z z z z z n z f z m z f z z z z z z z z f z m z z z z f z z z z m z m z z m z z z z z n z f z z f z ϕϕϕϕϕψψψϕψϕϕψϕϕψϕψϕ∞-='=+-++
-+
=-≠''=+-⎧⎫'⎪⎪=+-+⎨⎬-⎪⎪⎩⎭'∑解:函数在点解析等价于在的一个邻域内
为的阶零点等价于在的一个邻域内
其中在点解析,于是在的去心领域由此可知()
()()()()()00002Res ,z m z f z z z m z f z ϕϕϕ⎡⎤=⎢⎥⎣
⎦⎡⎤
'=-⎢⎥⎣⎦
与上面类似
六．（15分）
()
()()()
2
2
2
42242,cos 2
,.
22
11
12!
!
111
cos 12!4!
2!
z z n n
n e z R z e z z z z n z z z z z
n π
π
π±<
=+++
++<∞-=-++
++<∞函数
距原点最近的奇点其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,即=收敛范围为由
()(
)()2
2
2
2012211324220224
20242cos 2cos ,0
11
12!!
11112!4!2!329
1,,,
2243291cos 224
z z n n n
n z e
c c z c z z z
e z z c c z z z c c z n z z z n c c c e z z z π+⎛⎫=+++< ⎪
⎝
⎭===++
+++=++⨯⎛⎫
--+++
+ ⎪ ⎪⎝
⎭
====++及幂级数的除法,可设注意到与均为偶函数,其展开式中不含项可知于是比较同次系数得故4
2z π⎛⎫+< ⎪
⎝
⎭
七．（10分）
()[1]2πδω=F 2
1
[()]()tu t i πδωω
'=-
+F
()3[3]i t e ωδ--=F ()()[sin 2]22t i πδωδω=+--⎡⎤⎣⎦F
从而()()()()32
1
[]2()22i f t e i ωπδωπδωδωδωω
-'=-+++++--⎡⎤⎣⎦F。