否命题与命题的否定
一、识别否命题与命题的否定
1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。

2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。

由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。

二、区别否命题与命题的否定
1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。

命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。

2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。

“非”的含义有四条：
①“非m ”只否定的结论；
②m与“非m ”的真假必须相反；
③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；
④“非m ”必须使用否定词语。

三、实例帮您理解否命题与命题的否定
对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。

若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。

命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：
①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。

②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。

四、“或”、“且”连结的命题的否定形式
“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。

它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。

五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系
原命题
否定形
式
否命题
真假与原命题的真假无关与逆命题真假相
同
假真与原命题的真假无关与逆命题真假相
同
六、命题中关键词的否定表
把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表：关键词大（小）于是有全部任何，所有的至少有一个至多有一个任意
否定不大（小）于不是无不全部不都某些，有几个一个也没有至少有两个存在
七、含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
全称命题的否定是存在性命题。

含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题：，它的否定：：
存在性命题的否定是全称命题
八、典型例题剖析
例1写出命题“若≤ 或≤ ，则≤ ”的否命题
错解一：否命题为“若≤ 或≤ ，则”
错解二：否命题为“若或，则”。

错解剖析：这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。

“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。

即若原命题为，那么它的否命题是非非，而命题的否定是非。

其次要注意对“且”与“或”的否定。

一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。

正解：原命题的否命题为：
若且，则。

例2写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）： R，≥ ；（2）：所有的正方形都是矩形；（3）： R，≤ ；（4）：至少有一个实数，使。

解：（1）： R，。

（假）
这是由于 R，≥ 恒成立；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形。

（假）
（3）： R，。

（真）
这是由于， R，≥ 成立。

例3已知命题：存在一个实数，使得，写出。

分析：命题有两种答案：（1）存在一个实数，使得≥；或（2）不存在一个实数，使得。

这两个答案哪一种正确？
解：由。

故原命题是真命题。

又时，，所以分析中答案（1）也是真命题。

而与的真假性相反，所以（1）是错误的。

答案（2）是正确的。

事实上，我们不妨把命题改写成：若一个不等式是，则存在一个实数使这个不等式成立。

由此可知，答案（2）才是否定了命题的结论，得到了“ ”。

例4写出命题“若，则”的否定和否命题。

解：命题“若，则”的否定为“若，则≤ ”；否命题为：若，则≤ 。