选修2-3第二章概率质量检测(二)时间:120分钟总分:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)1.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξA.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.82.若X的分布列为则D(X)等于(A.0.8 B.0.25 C.0.4 D.0.23.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为35,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为()A.36125 B.54125C.81125 D.271254.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X<c)=P(X>c),则c的值为()A.0 B.1 C.μ D.μ25.将三颗骰子各掷一次,记事件A=“三个点数都不同”,B=“至少出现一个6点”,则条件概率P (A |B ),P (B |A )分别是( )A.6091,12B.12,6091C.518,6091D.91216,12 6.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球.从箱中一次摸出两个球,记下号码后放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖.现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( )A.16625B.96625C.624625D.4625 7.已知X 的分布列为且Y =aX +3,E (Y )=3,则a 为( )A .-1B .-12C .-13D .-148.已知变量x 服从正态分布N (4,σ2),且P (x >2)=0.6,则P (x >6)=( )A .0.4B .0.3C .0.2D .0.19.设由“0”,“1”组成的三位数组中,若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”,用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”,则P (A |B )等于( )A.25B.34C.12D.1810.把10个骰子全部投出,设出现6点的骰子的个数为X ,则P (X ≤2)=( )A .C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568 B .C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569+⎝ ⎛⎭⎪⎫5610C .C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569+C 210×162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568D .以上都不对 11.已知随机变量X ~B (6,0.4),则当η=-2X +1时,D (η)=( ) A .-1.88 B .-2.88 C .5.76 D .6.76 12.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没售出的鲜花以每束1.6元处理.据前5年节日期间这种鲜花销售情况得需求量ξ(单位:束)的统计如下表,若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则期望利润是( )A.706D .720元第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为170,169,168,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________.14.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望为________.15.如果一个随机变量ξ~B ⎝ ⎛⎭⎪⎫15,12,则使得P (ξ=k )取得最大值的k 的值为________.16.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N (1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的.(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望.18.(12分)某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ,q (p >q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为ξ 0 1 2 3 P6125ab24125(1)(2)求p ,q 的值; (3)求数学期望E (ξ).19.(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望.(注:若三个数a ,b ,c 满足a ≤b ≤c ,则称b 为这三个数的中位数.)20.(12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).21.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.22.(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求X 的数学期望.答案1.B ∵E (ξ)=7x +8×0.1+9×0.3+10y =7(0.6-y )+10y +3.5=7.7+3y ,∴7.7+3y =8.9,∴y =0.4.2.B 由题意知0.5+a =1,E (X )=0×0.5+a =a =0.5,所以D (X )=0.25.3.C 设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X ,则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P (X =2)+P (X =3)=C 23⎝⎛⎭⎪⎫352×25+C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫353=81125. 4.C 因为P (X <c )=P (X >c ),由正态曲线的对称性知μ=c . 5.A 由题意得事件A 包含的基本事件个数为6×5×4=120,事件B 包含的基本事件个数为63-53=91,在B 发生的条件下A 发生包含的基本事件个数为C 13A 25=60,在A 发生的条件下B 发生包含的基本事件个数为C 13A 25=60,所以P (A |B )=6091,P (B |A )=60120=12.故正确答案为A.6.B 若摸出的两球中含有4,必获奖,有5种情形;若摸出的两球是2,6,也能获奖.故获奖的情形共6种,获奖的概率为6C 26=25.现有4人参与摸奖,恰有3人获奖的概率是C 34⎝⎛⎭⎪⎫253×35=96625. 7.C E (X )=1×16+2×23+3×16=2, 由Y =aX +3,得E (Y )=aE (X )+3. 所以73=2a +3,解得a =-13.8.A 因为P (x >2)=0.6,所以P (x <2)=1-0.6=0.4.因为N (4,σ2),所以此正态曲线关于x =4对称,所以P (x >6)=P (x <2)=0.4.故选A.9.C 因为P (B )=1×2×22×2×2=12,P (A ∩B )=1×1×22×2×2=14,所以P (A |B )=P (A ∩B )P (B )=12.10.DP (X ≤2)=P (X =0)+P (X =1)+P (X =2)=C 010×⎝⎛⎭⎪⎫160×⎝ ⎛⎭⎪⎫5610+C 110×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫569+C 210×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×⎝ ⎛⎭⎪⎫568.11.C 由已知D (X )=6×0.4×0.6=1.44,则D (η)=4D (X )=4×1.44=5.76.12.A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (ξ)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).设利润为η,则η=5ξ+1.6(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,则E (η)=E (3.4ξ-450)=3.4E (ξ)-450=3.4×340-450=706(元).13.370解析:加工出来的零件的合格品率为 ⎝⎛⎭⎪⎫1-170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1-168=6770,所以次品率为1-6770=370. 14.1解析:区间(-3,-1)和区间(3,5)关于x =1对称(-1的对称点是3,-3的对称点是5),所以正态分布的数学期望就是1.15.7,8解析:P (ξ=k )=C k 15⎝ ⎛⎭⎪⎫1215,则只需C k 15最大即可,此时k =7,8. 16.38解析:设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ,B ,C ,显然P (A )=P (B )=P (C )=12,所以该部件的使用寿命超过1 000的事件为(A B +A B +AB )C .所以该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12+12×12+12×12×12=38. 17.解:(1)由题可得,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p =1-(1-0.5)(1-0.6)=0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3, p (ξ=0)=(1-0.8)3=0.008,p (ξ=1)=C 13(1-0.8)20.8=0.096, p (ξ=2)=C 23(1-0.8)10.82=0.384,p (ξ=3)=0.83=0.512. 故ξ的分布列为ξ18.解:记事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”,i =1,2,3. 由题意知P (A 1)=45,P (A 2)=p ,P (A 3)=q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ=0”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P (ξ=0)=1-6125=119125.(2)由题意知P (ξ=0)=P (A 1A 2A 3)=15(1-p )(1-q )=6125, P (ξ=3)=P (A 1A 2A 3)=45pq =24125. 整理得pq =625,p +q =1. 由p >q ,可得p =35,q =25.(3)由题意知a =P (ξ=1)=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=45(1-p )(1-q )+15p (1-q )+15(1-p )q =37125,b =P (ξ=2)=1-P (ξ=0)-P (ξ=1)-P (ξ=3)=58125.所以E (ξ)=0×P (ξ=0)+1×P (ξ=1)+2×P (ξ=2)+3×P (ξ=3)=95.19.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P =C 34+C 33C 39=584.(2)X 的所有可能值为1,2,3,且P (X =1)=C 24C 15+C 34C 39=1742, P (X =2)=C 13C 14C 12+C 23C 16+C 33C 39=4384, P (X =3)=C 22C 17C 39=112,故X 的分布列为从而E (X )=1×1742+2×84+3×12=28.20.解:(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”,A 2表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”.因此P (A 1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P (A 2)=0.003×50=0.15,P (B )=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P (X =0)=C 03·(1-0.6)3=0.064,P (X =1)=C 13·0.6(1-0.6)2=0.288,P (X =2)=C 23·0.62(1-0.6)=0.432,P (X =3)=C 33·0.63=0.216.分布列为因为X ~B ,方差D (X )=3×0.6×(1-0.6)=0.72.21.解:记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功}.由题设知P (E )=23,P (E )=13,P (F )=35,P (F )=25,且事件E 与F ,E 与F ,E 与F ,E 与F 都相互独立.(1)记H ={至少有一种新产品研发成功},则H =E F ,于是P (H )=P (E )P (F )=13×25=215,故所求的概率为P (H )=1-P (H )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220.因P (X =0)=P (E F )=13×25=215,P (X =100)=P (E F )=13×35=315,P (X =120)=P (E F )=23×25=415,P (X =220)=P (EF )=23×35=615,故所求的分布列为数学期望为E (X )=0×215+100×315+120×415+220×615=300+480+1 32015=2 10015=140.22.解:记A i 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i =0,1,2,B 表示事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2·B·C.P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=C i2×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为P(X=0)=P(B·A0·C)=P(B)P(A0)P(C)=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·C+B·A0·C+B·A1·C)=P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A0)P(C)+P(B)P(A1)P(C)=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,数学期望E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X =3)+4×P(X=4)。