②后向差分法
Gb (z) ( 1 z 1 Tz ) 0 .2
前向差分法（续1）
u f ( kT ) u f ( kT T ) [ bu
f
( kT T ) be ( kT T )] T
kT-T kT
1
由差分方程求其Z变换
1 1
U f ( z ) z U f ( z ) Tbz U f ( z ) Tbz
E (z)
对于整个S左半平面映射Z平面 是1为边缘的整个Z平面。 z j z 1 令 Re 0
T
则 1
前三种方式的稳定性讨论（续1）
2.后向差分z与s的关系
z 1 2 1 2 ( 1 1 sT ) 1 2 )
z 1 1 sT
z平面
Hale Waihona Puke (前三种方式的稳定性讨论
1.前向差分z与s的关系
z 1 T j T
z sT 1
z
2
(1 T ) ( T )
2
2
令︱z ︱为1，对应s平面为一个圆，则以1/T为 半径的极点映射到Z平面单位圆内。
1 T
2
(
1 T
) ( 0 )
2
2
z平面

s 比较s与z的关系得：

z 1 Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化 后，离散系统一定稳定。
双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
u t ( kT ) u t ( kT T ) T 2 [ bu t ( kT T )
kT-T kT
be ( kT T ) bu t ( kT ) be ( kT )]

b 2 ( z 1) T ( z 1) b
双线性变换法（续1）
s 比较s与z的关系得： 2 ( z 1) T ( z 1)
该变换保证系统的稳定性不改变。
三种变换关系总结如下：
变换方法 前向差分 后向差分 双线性变换 s与z的变换关系 z-1 s= T z-1 s= Tz 2(z-1) s= T(z+1) z与s的变换关系 z= sT+1 1 z= 1-sT 1+Ts/2 z= 1-Ts/2
再将微分方程改写成积分形式
t
u (t )
kT T
[ b u ( ) b e ( ) ] d
0
kT
u (kT )

0
[ b u ( ) b e ( )] d

kT T
[ b u ( ) b e ( )] d
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积
后向差分法
推导过程同前向差分法， 只是变为后向矩形积分。
u b ( kT ) u b ( kT T )
脉冲传递函数
U b (z) z U b (z) TbU b (z) TbE (z)
1
kT-T kT
[ bu b ( kT ) be ( kT )] T
U b (z) E (z) b ( z 1) / T z b
1 1 Ts 2 1 sT 1 2 1 2
z
可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心， 1/2 为半径的圆，s左半平面映射到圆内。
前三种方式的稳定性讨论（续2）
3.双线性变换z与s的关系
z 1 Tj / 2 1 Tj / 2
z
1 Ts / 2 1 Ts / 2
连续与离散控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
脉冲传递函数
G f (z) bTz
1 1
1 (1 b T ) z

b ( z 1) / T b
前向差分法（续2）
s 比较s与z的关系得： z 1 T
故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数 z 1 D(s)中的s用 代替即可。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
12.2控制系统的离散化方法
• • • • • • 前向差分法； 后向差分法； 双线性变换法； 脉冲响应不变法； 阶跃响应不变法； 零、极点匹配法等六种方法。
前向差分法
已知控制器的传递函数为
U (s) E (s) D (s) b s b
传递函数转化成微分方程
U ( s )( s b ) E ( s ) b u '( t ) b u ( t ) b e ( t )
z平面
z的模为1，可见为单位圆
三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线 1 性变换法将传递函数 G ( s ) ( s 0 .1 j 0 .5 )( s 0 .1 j 0 .5 ) 离散化成脉冲传递函数。 解：(1) 三种变换法的离散化 ①前向差分法
G f (z) ( 1 z 1 T ) 0 .2
2
z 1 T
0 . 26
T
2
2 2
( z 1 ) 0 . 2 ( z 1 ) T 0 . 26 T

1 z 1 .8 z 1 .0 6
2

1 ( z 0 .9 j 0 .5 )( z 0 .9 j 0 .5 )
, 设 T ＝1 s
三种变换法的运用举例（续1）
对上式取Z变换
U t (z) z U (z)
1
T 2
[ z b U t ( z ) z b E ( z ) b U t ( z ) b E ( z )]
1
1
脉冲传递函数
U t (z) E (z)
bT ( z 1 ) 2 z 2 Tb Tbz

bT ( z 1 ) 2 ( z 1 ) Tb ( z 1 )