D
以 D 为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法
的法矢量
n1
1,1,
4
当
n
∥
n
1
时，即
6x
2y 1
6y 1
2x
4 4
得： x y 1 , z 1
4
16
∵ 在 (1 , 1 , 1 ) 点处切平面平行已知平面 4 4 16
∴
点(1 4
,
1 4
,
1 16
)
到平面距离最短，
d
m
in
2 8
例 2、在曲面 z 2 x2 y2 位于第一卦限部分上求一点，使该点的切 平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
Y y 3x y X x
x 3y
Yx 3y X3x y yx 3y x3x y
切线与两坐标轴的截距分别为 x x 3y y, y 3x y x
3x y
x 3y
S
1 2
x
x 3y 3x y
y
y
3x y x 3y
x
1 2
x
1 3y
1 3x
y
若要使 S 最小，只要 x 3y3x y最大
例3、 求原点到曲线 x , y 0 的最大距离 此题即在条件 x , y 0 下求 z x2 y2 的最小值问题
20 条件极值、拉格朗日乘数法 在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件 x , y 0 下, z f x , y的极值
令 F f x , y x , y 称 f x , y 为目标函数, 为拉格朗日常
10 二重积分 1、定义
第六章 多元函数的积分 P225
n
f
D
x
, y d l im f 0 1
,
2、性质
P226
其中 d 表示平面区域 D 的面积
D
f x , yd f , , , D ， 表 D 的面积
D
3、几何意义
f x , y 0 ，x , y D ，则 f x , yd 表示以 z f x , y为顶，
4、二元函数的极值、最值
10 极值定义
P208
f x 、y f x0 、y0
f x0 、y0 为极大值
f x 、y f x0 、y0
f x0 、y0 为极小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f
x
、y
在
x0
、y 0
有极限值
f x f y
x0 x0
、y 0 、y 0
0 0
驻点 极值点，需判别
dx
3
3
3
z
8 3
,
4 3
256 27
比较 z 625 ， z 0 ， z 256
64
27
得最大值 z 625 ，最小值 z 0 64
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数 的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这 些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
Fz
0 4z
F x 2 y2 z 2 0
得： x y
2 2
z 1
∵ 驻点唯一
∴
2, 2
2 2
,1
为所求点。
例 3、在第一象限内，过椭圆曲线 3x 2 2xy 3y 2 1 上任一点作椭圆 的切线，求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解：在第一象限内曲线上任一点（x，y）处的切线方程为：
设 fxx x0 、y0 A 、 fxy x0 、y0 B 、 fyy x0 、y0 C
B2 AC
f x0 、y0
A < 0 极大值
< 0 A > 0 极小值
>0
非极值
=0
不定
例1、 求 z x3 y3 3xy 的极值
解： f x 3x 2 3y ， fy 3y2 3x ， fxx 6x ，
数
FFxy
0 0
F 0
解得的 x , y为可能的极值点
例 1、求曲面 4z 3x 2 2xy 3y 2 到平面 x y 4z 1的最短距离
解法一、曲面上任一点（x，y，z）到平面的距离 d x y 4z 1 18
∴ 设 F 1 x y 4z 12 3x2 2xy 3y2 4z 2
又 A 1,1 6 0 ∴ f 1 , 1 1 为极小值
例 2、求 z x 2 y5 x y在闭区域 D： x 0 ， y 0 ，
x y 4 的最大，最小值。
解： fx xy 10 3x 2y ， fy x2 5 x 2y
令
xy10
x 2 5
3x 2y 0 x 2y 0
故设 F x 3y3x yλ 3x2 2xy 3y2 1
由
FFxy
6x 10y 6λ 10x 6y 2λ
x 2λ x 6λ
y0 y0
Fλ
3x2
2xy 3y2 1 0
得： x y 1 22
∵ 驻点唯一
∴
s m in
1 4
例 4、P212 例 5.32 5.33
f xy 3 ， f yy 6y
令
f f
x y
0 0
3x 2 3y 0 3y2 3x 0
得驻点 0 , 0 ， 1 , 1
y4 y 0
y0 y 1
在 0 , 0 ， B2 AC 0,0 32 0 9 0 ∴ f 0 , 0 非极值
1 , 1 ， B2 AC 1,1 32 36 0 ∴ 1 , 1为 极值点
Fx x y 4z 1 6x 2y 0
Fy
x
y 4z 1 6y 2x
0
Fz
4x
y 4z 1 4
0
F 3x 2 2xy 3y2 4z 0
xy1
得：
4
z 1
16
∵ 驻点唯一
∴
d min
2 8
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
n
6x
2y,6y
2x,
4
平面
x+y-4z=1
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点（x，y，z）处的平面方程为：
2xX 2yY Z 4 z
即
X 4z
Y 4z
4
Z
z
1，
∴ 四面体体积 V 4 z3
24xy
2x 2y
故令 F 3ln4 z lnx lny λ x2 y2 z 2
由
Fx
1 x
2x
0
Fy
1 y
2y
0
3
（在 D 内）
x
5 2
y
5 4
在 D 的内部函数只有一个驻点 5 , 5 ， f 5 , 5 625 2 4 2 4 64
在边界 x 0 ， f 0
在y 0 ，f 0
在 x y 4 ， z x 2 4 x5 x 4 x x 2 4 x 4x 2 x3
dz 8x 3x 2 0 得： x 8 ，即 x 8 ， y 4 为驻点