第五单元 正比例和反比例一、知识梳理本单元在学生具有比和比例的知识，认识常见数量关系的基础上编排，通过对两个数量保持商一定或积一定的变化，理解正比例关系和反比例关系，渗透初步的函数思想。

正比例和反比例历来是小学数学里的重要内容之一，与过去的教材相比，本单元进一步加强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像及简单应用，重视正、反比例与现实生活的联系，淡化脱离现实背景判断比例关系，不安排应用正、反比例关系解决实际问题。

全单元编排三道例题和一个练习，前两道例题都是关于正比例的，分别教学正比例的意义和图像，后一道例题教学反比例的知识。

二、教材细读本单元的教学要注意以下几点：1、结合生活中的典型实例，让学生从“变化”中看到“不变”，体会并理解正、反比例的意义。

2、借助直观的图像，帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律，并为以后的学习作适当孕伏。

具体地说：1．细致安排学生的首次感知。

正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活动中形成，例1和例3分别是学生首次感知正比例关系与反比例关系，教材作了很细致的安排。

例1把感知过程设计成四步。

（1）写比、求比值、解释比值。

例1呈现的表格里是一辆汽车行驶的时间和路程的数据，让学生从中选择几组相对应的路程和时间，分别写出比并求出比值，发现所有比的比值都是80，体会这个比值是汽车行驶的速度，这辆汽车的行驶速度始终不变。

（2）用数量关系式表示比值一定。

写出的各个比的数量关系相同，可以用式子“ ＝速度（一定）”表示它们的共同特征。

学生对“路程比时间等于速度”很熟悉，而“速度（一定）”是例1数量关系的特点，首次感知正比例关系的要点就在这里。

（3）体会相关联的量。

正比例是两个相关联量的关系，教材指出路程和时间是两种相关联的量。

说它们“相关联”，是因为时间变化，路程也随着变化。

（4）揭示正比例意义。

在前三步感知活动的基础上，告诉学生：当路程和相应的时间的比值总是一定时，就说行驶的路程和时间成正比例，行驶的路程和时间叫做成正比例的量。

例3首次感知反比例关系，也分四步进行。

依次是：观察表格里的数据，笔记本的单价变化，购买的数量也变化，但总价始终不变；用数量关系式表示路程 时间积一定；理解相关联的量；揭示反比例意义。

2．变换情境，让学生反复感知。

仅有例题的首次感知还不能形成正比例、反比例的概念，需要反复感知，积累充分的感性认识。

P62“试一试”、练习十三第1题再次感知正比例关系，P65“试一试”、练习十三第6题再次感知反比例关系。

（1）选择与例题不同的数量。

P62“试一试”里购买铅笔的数量与总价是相关联的量，它们的比值（单价）保持不变。

练习十三第1题里碾米机的工作时间与碾米数量是相关联的量，它们的比值（工作效率）保持不变。

学生在感知正比例关系的同时，体会这种关系是生活中常见的。

（2）提出问题，引导有序地思考。

“试一试”和练习题分别设计四个和三个连续的问题，引导学生有条理地思考，独立、主动经历感知过程。

（3）重温发现正比例关系的方法。

几个连续问题里的学习活动依次是：找到相关联的两种量→写出几组对应数量的比并求比值→比较比值的大小，解释比值的意义→用数量关系式表达比值一定→作出成正比例的结论。

这些活动与例题保持一致，重温了认识正比例关系的过程，为判断两种量成不成正比例打下了基础。

3．建立正比例、反比例的概念。

本单元教学要形成正比例和反比例的概念。

概念是一类现象共同的本质特征的反映，形成概念要对感性认识进行抽象与概括。

（1）提取共同特征。

各个成正比例的实例中都有两个相关联的量，两种量相对应的数的比值总是一定的。

各个成反比例的实例里也有两种相关联的量，它们相对应的数的积是一定的。

这些分别是正比例、反比例的本质特征，建立概念，要把这些共同特征提取出来。

（2）用字母表示关系与特征。

用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值或者表示它们的积，用字母组成的式子表示正比例和反比例关系，是认识的一次抽象，概念在抽象中形成。

4．应用概念，判断比例关系。

形成概念是为了更好地认识和把握客观世界，在现实生活中应用概念识别、判断和推理。

正比例和反比例是常见的数量关系，判断比例关系还能初步体验函数思想，发展数学思考。

（1）判断具体问题里的正比例、反比例。

第63页“练一练”、第65页“练一练”分别判断两种量成不成正比例或反比例，并说出理由。

要根据正、反比例的意义，利用表格里的数据，按照例题和“试一试”的方法与步骤进行思考。

通过判断，进一步理解正比例、反比例的意义。

练习十三第2、7两题也作出类似的安排。

能够在具体问题里进行判断，是本单元的基本要求。

（2）利用反例加强概念。

第66页第3题通过画图、计算和填表，理解正方形面积与边长不成正比例。

第68页第8题通过看图、填表，理解长方形周长一定，长和宽不成反比例。

这些都是在具体问题里作出的判断，能使学生深刻体会正比例、反比例的特征，从而加强概念。

（3）初步进行稍抽象的判断。

第70页第12题没有提供具体的数据，判断两种量是不是成正比例或反比例，是较高的要求。

虽然思维比较抽象，也要按照判断正比例、反比例的一般程序，先找到相关联的量，研究两个量是不是比值一定或者积一定，然后作出结论。

其中的（2），一个人的年龄与体重不能看作相关联的量，而且它们的比或乘积都没有实际意义，更谈不上比值一定或积一定，因而既不成正比例，也不成反比例。

5．认识并简单应用正比例的图像。

正比例图像是一条射线（中学里是一条直线），反比例图像是曲线（中学里是双曲线）。

本单元只教学正比例的图像，不教学反比例的图像。

正比例图像的教学要求有两点，一是联系画折线统计图的经验，在方格纸上描出表示各组对应数量的点，知道所描的点在同一条直线上。

二是已知一组相对应的数量中的一个数量，在图像上估计另一个数量是多少。

三、练习说明及学生困难分析本单元安排了一个练习，预计学生遇到的困难有：1、不能熟练判断正反比例关系。

2、判断正反比例的理由叙述不全面；3、对于图形公式与正反比例结合的内容，学生混淆不清。

所以安排练习时要体现一定的层次性，帮助学生逐步提高判断成正、反比例的量的能力。

练习时建议做到以下几点：1、通过不同形式帮助学生判断。

练习十三除了第12题，其他题都通过表格、画图、图像等多种方式和多个设问进行，帮助学生判断正反比例。

2、运用比较、类比的方法帮助学生掌握结论。

练习十三的第3题和第8题这两题，在练习后可以引导学生将这两题进行比较，并尝试让学生用自己的语言来概括。

同时以这两题为泉眼，可以把其他的如圆柱体积、三角形面积、长正方体的一些公式进行类推。

3、有了前面的基础，练习十三的第12题可以适当增加一些内容让学生进行熟练的判断，并有选择性地进行理由的叙述。

四、点击精彩案例“成正比例的量”教学案例教学目标：1、使学生感受正比例在实际生活中的存在，经历概括两种量成正比例关系的过程。

2、理解正比例的意义，并能根据正比例的意义正确判断两种量是否成正比例关系。

3、培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。

4、培养学生初步的函数意识。

教学重点：学生理解正比例的意义。

教学难点：引导学生通过观察、思考发现两种相关联的量的变化规律，即它们相对应的数的比值一定，从而概括出正比例关系的概念。

教学设计：（一）复习准备： 时间路程= 数量总价= 工作时间工作量= 边长正方形的面积= （二）导学：1、出示以下两个表格：2、分组讨论：（1） 表1、表2中有哪两种量？它们相关联吗？（2）哪个表中的两种量的变化更有规律？有什么规律？3、学生汇报讨论结果。

汇报时教师引导学生比较上面两种情况的相同点和不同点。

同时教师根据学生的回答板书：相同点：一种量变化，另一种量也随着变化不同点：表1中甲车的路程和时间这两种量中相对应的两个数的比值一定；表2中乙车的路程和时间这两种量中相对应的两个数的比值不一定。

4、教师说明：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

这节课，我们就来学习和研究“成正比例的量”。

板书课题：成正比例的量5、教师质疑：根据正比例的意义想一想：上面例子中甲车的路程和时间是不是成正比例的量？为什么？乙车的路程和时间是不是成正比例的量？为什么？构成正比例关系的两种量必须具备哪些条件？6、尝试：判断下面的每张表格中的两种量是不是成正比例的量？7、字母关系式教师提问：如果字母y 和x 表示两种相关联的量，用k 表示它们的比值，正比例关系怎样用字母表示出来？学生回答后，教师板书：x y =k （一定） 8、教学例3例3．每袋面粉的重量一定，面粉的总重量和袋数是不是成正比例？（1）根据正比例的意义，由学生讨论解答．（2）汇报判断结果，并说明判断的根据．（三）尝试练习：判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由。

①每小时织布米数一定，织布总米数和时间。

②每人树植棵数一定，参加植树人数和植树总棵数。

③订阅《中国少年报》的份数和钱数。

④小新跳高的高度和他的身高。

⑤长方形的宽一定，它的面积和长。

（四）深化练习1、a 和b 相关联的两种量，下面哪个式子表示a 和b 成正比例？ ①a+b ＝12 ②b a ＝5 ③ab ＝43 ④a －b=3.8 ⑤b ＝7a2、x 、y 、z 是三种相关联的量，已知x ×y=z 。

当（ ）一定时，（ ）和（ ）成正比例。

（五）课堂小结通过这节课的学习和研究，你们都知道了什么？怎样判断两种量是否成正比例？。