由格的基本性质，有 a∧b
∨(a∧c)) ∧(( a∧b)∨(b∧c)) 。 由于 a∧b a 和 a∧c a∧b。 a，得(a∧b)∨(a∧c) a。同理可得(a∧b)∨(b∧c) b。于是(( a∧b)∨(a∧c))
∧(( a∧b)∨(b∧c))
综上可得(( a∧b)∨(a∧c)) ∧(( a∧b)∨(b∧c)) ＝a∧b。 4. 完成定理 9.2 的证明。 证明 首首先证明 是一一个偏序关系。
设<L， >为分配格。 由(a∧c)
a∨(b∧c)， 所以(a∨b)
a∨(b∧c)。 反之，若对于任意的 a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a∨(b∧c)。则(a∨b)∧c＝(( b∨a)∧c)∧c (b∨(a∧c)) (a∨b)
∧c(由已知条件)＝(( a∧c)∨b)∧c ∧c 得(a∧c)∨(b∧c)
（吸收率、交换率）
(a∨b)∧(a∨c)，故(( a∨b)∧(a∨c)) ∨a)＝(a∨b)∧(a∨c)。 a∨b∨c，故(( a∨b)∧(a∨c)) ∧(a∨b∨c)＝(a∨b)∧(a∨c)。
4
因为(a∨b)∧(a∨c)
第 9 章 格与布尔代数
将上述两结果代入入上式右端，再利用用吸收率得 右端＝(a∨b)∧(a∨c)。 于是 a∨(b∧c)＝(a∨b)∧(a∨c)。 由于分配率是对偶的，故只需要证明一一个分配率，所以<L， >是分配格。
1
f(b)。
反之，设 f(a)
f(b)，则 f(a)∧2 f(b)＝f(a∧1b)＝f(a)，由于 f 是双射，所以 a∧1b＝a，故 a
2
b。
第 9 章 格与布尔代数
设对"a、b∈L，有 a f(c)
2 1
b⇔f(a)
2
f(b)，设 a∧1b＝c，则 c
1
a，c
1
b，于是 f(a∧1b)＝f(c)，f(c)
12. 举出两个含有 6 个元素的格，其中一一个是模格，另一一个不是模格。 解 6 元素的格有多种，其中有部分是分配格，从而而是模格。
图中（1）、（2）是分配格，从而而是模格。（3）不是分配格，也不是模格。（4）不是分配格，是模格。 13. 所有链都是分配格。 解 设<L， >是链，则<L， >是格。假设∧和∨是其运算。对"a、b、c∈L，只有以下两种情况： a，c a； c。
7. 设 A＝<L1， ∨1， ∧1>和 B＝<L2， ∨2， ∧2>是两个格， 证明 A 的同态像(即 f(L1) f 是 A 到 B 的同态映射， ＝{f(x)| x∈L1})是 B 的子子格。 证明 显然 f(L1)非非空。
任意的 f(x)、f(y)∈f(L1)，其中 x、y∈L1，由 f 是同态映射，有 f(x)∨2f(y)＝f(x∨1y)∈f(L1) f(x)∧2f(y)＝f(x∧1y)∈f(L1) 所以 f(L1)对 L2 中运算∨2、∧2 封闭，故 A 的同态像是 B 的子子格。 8. 设 f 是格<L， 证明
（2）从图中可以看出 6∨10＝30，6∧10＝2，9∨30＝90，9∧30＝3。 （3）通过对除去 1、90 之后的 10 个元素的二二元素组合共 ＝45 个进行行验证，可求得满足足条件的子子格
共有 24 个：{1，2，6，90} ；{1，2，10，90} ；{1，2，18，90} ；{1，2，30，90} ；{1，2，45，90} ；{1，3，6， 90} ；{1，3，9，90} ；{1，3，15，90} ；{1，3，18，90} ；{1，3，30，90} ；{1，3，45，90} ；{1，5，10，90} ； {1，5，15，90} ；{1，5，18，90} ；{1，5，30，90} ；{1，5，45，90} ；{1，6，18，90} ；{1，6，30，90} ；{1， 9，10，90} ；{1，9，18，90} ；{1，9，45，90} ；{1，10，30，90} ；{1，15，30，90} ；{1，15，45，90} 。 10. 设 S＝{1，2，4，6，9，12，18，36} ，设 D 是 S 上的整除关系：<x，y>∈D⇔y 是 x 的倍数。 (1) 证明 D 是一一个偏序关系。 (2) 试画出关系 D 的哈斯图，并由此说明<S，D>是一一个格。 (3) D 是一一个分配格吗？为什么？ (4) 求集合{2，4，6，12，18} 的下界、最大大下界、最小小元素及上界、最小小上界和最大大元素。 (5)< S，D>中有多少个 5 个元素的子子格。 解 （1）因为对 S 上任一一元素，都有 x 整除它自自身身，故 D 自自反。对任意 x、y∈S，若 xDy 且 yDx ，即
2. 设<L， >是格，证明：若 a (1) a∨b＝b∧c。
(2)( a∧b)∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。 证明 (1)由 a b 得 a∨b＝b，而而由 b c 得 b∧c＝b，所以 a∨b＝b∧c。
(2) 因为(a∧b)∨(b∧c)＝(a∧b)∨b＝b， 而而由 a∨b＝b 和 b∨c＝c 得(a∨b)∧(b∨c)＝b∧c＝b， 所以(a∧b) ∨(b∧c)＝(a∨b)∧(b∨c)。 3. 设<L， 证明 >是格，证明：对任意的 a、b、c∈L，则(( a∧b)∨(a∧c)) ∧(( a∧b)∨(b∧c)) ＝a∧b。 (a∧b)∨(a∧c)和 a∧b (a∧b)∨(b∧c)，从而而可得 a∧b (( a∧b)
是传递的。因此，
其次证明 a∧b 是 a 和 b 的最大大下界。 由于(a∧b)∧a＝a∧b，(a∧b)∧b＝a∧b，所以 a∧b 设 c 是 a 和 b 的任一一下界，即 c ∧b＝c，所以 c a，c a，a∧b b，即 a∧b 是 a 和 b 的下界。
b，那么就有 c∧a＝c，c∧b＝c，而而 c∧(已知条件)。又又由(a∧c)
(a∨b)∧c 和(b∧c)
(a∨b)∧c。于是有(a∨b)∧c＝(a∧c)∨(b∧c)。
又又(a∨c)∧(b∨c)＝(( a∨c)∧b)∨(( a∨c)∧c) ＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨(c∧c) ＝(a∧b)∨(c∧b)∨(a∧c)∨c ＝(a∧b)∨c 故<L， >为分配格
x 整除 y，y 整除 x，所以 x＝y，从而而 D 反对称。 对任意 x、y、z∈S，若 xDy 且 yDz，即 x 整除 y，y 整除 z，所以 x 整除 z，即 xDz，故 D 传递。
3
第 9 章 格与布尔代数
综上可得，D 是一一个偏序关系。 （2）其哈斯图如图所示示。由于任意两个元素均有最大大下界和最小小上界，故是格。
因为 a∨1∈L，而而 1 是 L 的全上界，故 a∨1 因为 a a，0 a，所以 a∨0 a，又又因为 a >是格，证明：<L，
a∨0，因此，a∨0＝a。 a∨(b∧c)。
6. 设<L， 证明 ∧c
>为分配格⇔对于任意的 a、b、c∈L，有(a∨b)∧c a 和(b∧c) (b∧c)可得(a∧c)∨(b∧c)
必要性。由格<L，
(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∧b)∨(( b∧c)∨c)∧(( b∧c)∨a)) ＝(( a∧b)∨(b∧c)∨c)∧(( a∧b)∨(b∧c)∨a)) ＝(( a∧b)∨c)∧(( b∧c)∨a)) (分配率)
(交换率、吸收率) (分配率)
＝(a∨c)∧(b∨c)∧(b∨a)∧(c∨a) ＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)
(幂等率、交换率)
充分性。由已知条件，则对"a、b、c∈L，有 ((( a∨b)∧(a∨c)) ∧a)∨(a∧(b∨c))∨(( b∨c)∧(( a∨b)∧(a∨c))) ＝((( a∨b)∧(a∨c)) ∨a)∨(a∨(b∨c))∧ (( b∨c)∨(( a∨b)∧(a∨c))) 这里里(a∨b)∧(a∨c)、a、(b∨c)分别相当于式中的 a、b、c。 而而上式左端＝a∨(a∧(b∨c))∨(( b∨c)∧(a∨b)∧(a∨c)) ＝a∨(( a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)) ＝a∨(( a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)) ＝a∨(b∧c) 因为 a (吸收率、交换率) （已知条件） (吸收率)
（3）D 不是分配格，因为 2∨(9∧6) ＝2∨1＝2，而而(2∨9) ∧(2∨6) ＝18∧6＝6，所以 2∨(9∧6) ≠(2∨9) ∧(2 ∨6) 。 （4）集合{2，4，6，12，18} 的下界为 1 和 2，最大大下界为 2，最小小元为 2；上界为 36，最小小上界为 36； 最大大元不存在。 （5）<S，D>中有 5 个元素的子子格共有下面面的 13 个： {2，6，12，18，36} ；{2，4，6，12，36} ；{1，6，12，18，36} ；{1，6，9，18，36} ；{1，4，9，12，36} ； {1，2，9，18，36} ；{1，2，6，18，36} ；{1，2，6，12，36} ；{1，2，6，9，18} ；{1，2，4，9，36} ；{1，2， 4，18，36} ；{1，2，4，12，36} ；{1，2，4，6，12} 。 11. 证明：格<L， 证明 >是分配格⇔对"a、b、c∈L，有(a∧b)∨(b∧c)∨(c∧a)＝(a∨b)∧(b∨c)∧(c∨a)。 >是分配格，则对"a、b、c∈L，有 (分配率)
类似可证 f(a∨1b)＝f(a)∨2 f(b)。 因此，f 是格同构。 9. D90 表示示 90 的全体因子子的集合，包括 1 和 90，D90 与整除关系 (1) 画出格的哈斯图。 (2) 计算 6∨10、6∧10、9∨30 和 9∧30。 (3) 求 D90 的所有含 4 个元素且包含 1 和 90 的子子格。 解 （1）格<D90 ， >所对应的哈斯图如下： 构成格。
第 9 章 格与布尔代数