【2010 课标卷】设函数f(x)= 2x 4 1
（Ⅰ) 画出函数y=f(x) 的图像；
（Ⅱ）若不等式f(x) ≤ax 的解集非空，求 a 的取值范围.
【答案】
【2011 课标卷】设函数 f ( x) x a 3x , 其中a 0。

（Ⅰ）当a 1时，求不等式 f (x) 3x 2 的解集
（Ⅱ）若不等式 f (x) 0的解集为x| x 1 ，求 a 的值。

解：（Ⅰ）当a 1时，f (x) 3x 2可化为| x 1| 2。

由此可得x 3或x 1。

故不等式 f (x) 3x 2的解集为{ x | x 3或x 1} 。

( Ⅱ) 由f (x) 0得：x a 3x 0
x a x a
此不等式化为不等式组x a
x a 3x 0
或
x a
a x 3x 0
即
a
x 或
4
a
a
2
a
因为
a 0，所以不等式组的解集为|
x x 由题设可得
2 a
2
= 1，故a 2
1
【2012 课标卷】已知函数 f (x) x a x 2
（1）当a 3时，求不等式 f ( x) 3的解集；
（2）若 f (x) x 4 的解集包含[1,2] ，求a 的取值范围。

【解析】（1）当a 3时， f ( x) 3 x 3 x 2 3
x 2
3 x 2 x 3 或
2 x 3
或
3 x x 2 3
x 3
x 3 x 2 3
x 1或x 4
（2）原命题f (x) x 4 在[1,2] 上恒成立x a 2 x 4 x在[1,2] 上恒成立
2 x a 2 x在[1,2] 上恒成立
3 a 0
【2013 课标Ⅰ卷】已知函数 f (x) =|2x 1| | 2x a |, g(x) = x 3 .
（Ⅰ）当 a =2 时，求不等式 f (x) ＜g( x) 的解集；
（Ⅱ）设 a ＞-1, 且当x ∈[ a
2
，
1
2
) 时， f (x) ≤g(x) , 求a 的取值范围.
【解析】当 a =-2 时，不等式 f (x) ＜g (x) 化为|2x 1| | 2x 2 | x 3 0 ，
5x, x 1 2
设函数y =|2x 1| |2x 2 | x 3 ，y =
1
x 2, x 1
2
，3x 6, x 1
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x (0,2) 时，y ＜0 ∴原不等式解集是{ x | 0 x 2} .
a （Ⅱ）当x ∈[
，
2 ∴x a 2对x∈[ 1
2
) 时， f (x) =1 a ，不等式 f (x) ≤g( x) 化为1 a x 3，
4
a 1 a
) 都成立，故，
a 2，即a ≤
，
2 2 2 3
∴a 的取值范围为（-1 ，4
3
].
【2013 课标Ⅱ卷】设a、b、c均为正数，且 a b c 1，证明：
2
（Ⅰ）
1
ab bc ac ；（Ⅱ）
3
2 2 2
a b c
b c a
1
【2014 课标Ⅰ卷】若 a 0,b 0 ，且1 1
a b
ab .
( Ⅰ) 求 3 3
a b 的最小值；（Ⅱ）是否存在a,b ，使得2a 3b 6？并说明理由.
【解析】：( Ⅰ) 由ab 1 1 2
a b ab
，得ab 2 ，且当 a b 2 时等号成立，
故 3 3 3 3 3 4 2
3 3
a b a b ，且当a b 2 时等号成立，∴a b 的最小值为4 2 . （Ⅱ）由 6 2a 3b 2 6 ab ，得 3
ab ，又由(Ⅰ) 知ab 2 ，二者矛盾，
2
所以不存在a,b，使得2a 3b 6成立.
【2014 课标Ⅱ卷】设函数f x = x 1 x a (a 0)
a
（Ⅰ）证明： f x ≥2；（Ⅱ）若 f 3 5，求a 的取值范围.
3
【2015 课标Ⅰ卷】已知函数 f x x 1 2 x a ,a0 .
（I ）当a 1 时求不等式 f x 1 的解集；
（II ）若 f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.
x 1 2a, x 1
（Ⅱ）由题设可得， f (x) 3x 1 2a, 1 x a
，
x 1 2a, x a
所以函数 f (x) 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为
2a 1
A( ,0) ，B(2a 1,0) ，3
C(a,a+1) ，所以△ABC的面积为2
3
2 (a 1) .
由题设得2
3
2
(a 1) ＞6，解得a 2. 所以a 的取值范围为（2，+∞）.
【2015 课标Ⅱ卷】设a,b, c, d均为正数，且 a b c d ，证明：（Ⅰ）若
ab cd，则 a b c d ；
（Ⅱ） a b c d 是a b c d 的充要条件．
【解析】（Ⅰ）因为 2
( a b) a b 2 ab ，
2
( c d ) c d 2 cd ，由题设
a b c d ，ab cd ，得 2 2
( a b) ( c d ) ．因此 a b c d ．
（Ⅱ）（ⅰ）若a b c d ，则 2 2
(a b) (c d) ．即
2 2
(a b) 4ab (c d) 4cd ．因
为
a b c d ，所以ab cd ，由（Ⅰ）得 a b c d ．
（ⅱ）若 a b c d ，则 2 2
( a b)( c d ) . 即
a b 2 ab c d 2 cd ．因为a b c d ，所以ab cd .
于是 2 2
(a b) (a b) 4ab
2
(c d) 4cd
2
(c d) ．因此a b c d .
综上， a b c d 是a b c d 的充要条件．
4。