∑ ( −1)
n
n +i
(5)
经过线性变换后，我们令 Qn = ( x)
2n + 1 Ln ( t ) ， {Qn ( x )}i=1 是标准正交基。
n
3. 造核
定义：设 H 是 Hilbert 空间，B 是某个数集，若存在二元函数 K ( s, t ) ，使得 ∀s ∈ B ，都有
f (s) = f ( t ) , K s ( t ) , ∀f ( t ) ∈ H , K s ( t ) ∈ H ，则称 K ( s, t ) 为 H 的再生核核，此时 H 为再生核空间。
(1)
其中 q1 ( x ) , q2 ( x ) , q3 ( x ) , k1 ( t , x ) , k2 ( t , x ) , f1 ( x ) 为已知的连续函数， α i , β j 为常数， u ( x ) 为未知函数。
2. 勒让德多项式
当区间为 [ −1,1] ，权函数 ρ ( x ) = 1 时，对 {1, x, 式．记 { Pn ( x )}n=0 ，这些多项式满足
i =1 n
得证。
3.1. 构造再生核空间(RKM)
由上述定理知 H 是有限维的 Hilbert 空间， 则 K ( x, y ) = ∑ Qn ( x ) Qm ( y ) {Qn ( x )}i=1 是 H 的标准正交基，
n
n
i =1
为 H 的再生核。具体表达式如下：
K ( x, y ) = 1 + 3 ( 2 x − 1)( 2 y − 1) + 5
(3)
Li+ = 1 (t )
( 2i + 1)( 2 − 1)
i +1 L0 ( t= 1, L t = 2t − 1. ) 1( )
Li ( t ) −
i Li−1 ( = t ) , i 1, 2, i +1
(4)
n 阶移位的 Legendre 多项式的一般表达式为：
Ln (= t)
( n + i )!t i , ( n − i )!( i )!2 i =0 n Ln ( 0 ) = 1. ( −1)( ) , Ln (1) =
DOI: 10.12677/aam.2018.77090
3 ( 2 x − 1) 3 ( 2 y − 1)
2
2
2
751
2
+
+ ( 2n + 1) Qn ( x ) Qm ( y ) .
(8)
应用数学进展
刘杨，王玉兰
3.2. 近似解的表示
对于方程(1)中非齐次边值条件需齐次化处理。 令 v ( x= ) u ( x ) + a1 + a2 x + a3 x 2 + + an x n−1 ，则方程(1)转化为：
A Numerical Solution of Mixed Integral Differential Equations
Yang Liu, Yulan Wang
Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia Received: Jun. 16 , 2018; accepted: Jul. 4 , 2018; published: Jul. 11 , 2018
(10)
方程(9)转化为
( Av )( x ) = f ( x ) .
其中 A 是线性可逆算子。
(11) 此时， {ψ i ( x )}i=1
∞ ∞
= 1, 2, 且 ψ j ( x ) ,ψ i ( x ) A 令ψ i ( x) A = = , i 0,1, 2, = x Ay K ( x, y ) x = x , i, j y K ( x, y )
i =1
n
证明： ∀f ( t ) = ∑ ci ei ( t ) ，故
i =1
n
f (t ) , Ks (t ) =
= i 1= j 1 n n
∑ ci ei ( t ), ∑ ei ( t ) , ei ( s )
(7)
n
n
= i 1= j 1
= ∑ ci ei ( t ) , ∑ e j ( t ) e j ( s ) = ∑ ci ei ( s ) = f ( s ).
n
引理：H 是有限维的 Hilbert 空间， {ei ( t )}i=1 是 H 的标准正交基，即
0 ( i ≠ j ) ei ( t ) , e j ( t ) = δ= , ij 1 ( i = j )
(6)
则有 K ( s, t ) = ∑ ei ( t ) e j ( s ) 为 H 的再生核。
刘杨，王玉兰
且关于积分微分方程数值解法的研究一直是存在于各领域的重要课题。 本文主要基于Legendre多项式重 新构建再生核，通过Gram-Schmidt给出方程的近似解。同时，给出三个Volterra-Fredholm积分微分方 程的数值算例，与传统的再生核方法进行数值比较，进一步验证了我们方法是有效的，且具有很高的精 度。所有数值计算都是通过数学软件Mathematica8.0给出。
Keywords
Legendre Polynomials, Reproducing Kernel, Numerical Solution, Volterra-Fredholm Integral Differential Equation
一类混合型积分微分方程的数值解法
刘 杨，王玉兰
内蒙古工业大学，内蒙古 呼和浩特
q ( x ) u ( n ) ( x ) + q ( x ) u ( n−1) ( x ) + q ( x ) u ( x ) + x k ( t , x ) u ( t ) dt + 1 k ( t , x ) u (= t ) dt f ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1 2 3 1 ∫0 1 ∫0 2 i () = = ) α i , u ( j ) (1 ) β j , 0 ≤ i, j ≤ n − 1. u ( 0
对于齐次化后的初边值条件，我们放到再生核空间中，放核过程见文献[12]。 完全系的构造
1 x n n −1 令 Av= q1 ( x ) v( ) ( x ) + q2 ( x ) v( ) ( x ) + q3 ( x ) v ( x ) + ∫ k1 ( t , x ) v ( t ) dt + ∫ k2 ( t , x ) v ( t ) dt , 0 0
刘杨，王玉兰
Legendre 多项式。记 Pn ( 2t − 1) = Ln ( t ) ，显然 { Ln ( t )}n=0 在区间 [ 0,1] 上带权函数 ρ ( x ) = 1 正交，即
∞
∫0
Li ( t ) 有如下的递推关系
1
2n + 1 Ln ( t ) 2n + 1 Lm ( t ) dt = 1.
关键词
Legendre多项式，再生核，数值解，Volterra-Fredholm型积分微分方程
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
th th th
Abstract
Polynomial approximation in the mathematical analysis and numerical approximation theory has an important position; it has been widely used in engineering calculation and the actual life. And the study of the numerical method for solving the integral differential equation is one of the important subjects exists in every field. This paper mainly based on Legendre polynomial rebuilding the reproducing kernel, through the “Gram-Schmidt”, the approximate solution of the equation is given. At the same time, it gives three numerical examples of Volterra-Fredholm integral differential equation. Compared with the traditional methods of reproducing kernel, we further verified that our method was effective and had high precision. All numerical calculations are given by the Mathematica 8.0 software.
收稿日期：2018年6月16日；录用日期：2018年7月4日；发布日期：2018年7月11日
摘
要
多项式逼近在数学分析和数值逼近理论中具有重要的地位，它已广泛应用于工程计算和实际生活中。而
文章引用: 刘杨, 王玉兰. 一类混合型积分微分方程的数值解法[J]. 应用数学进展, 2018, 7(7): 749-757. DOI: 10.12677/aam.2018.77090