第一章随机事件及其概率习题一 、填空题当A , B 互不相容时，P (A U B)=亠卩(AB )= 0_^ 当 B A 时,P(A+B = _;_RAB = 若 P(A) ,P(B) ,P(AB) , P(A B) 1P(A B)= 119 9.事件 A,B,C 两两独立，满足 ABC , P (A) P (B) P (C)-,且 P ( A+B+C )=—216则 P(A)=??10.已知随机事件 A 的概率P(A) 0.5，随机事件 B 的概率P(B) 0.6，及条件概率P(B | A) 0.8，则和事件 A B 的概率P(A B)1.设样本空间 {x|0x 2}, 事件A {x|l1x 1}, B {x|-4{x|0 x ^} U{x|-4 2x 2},- 1 AB{x|-4x 1} U{x|1 x 2.连续射击一目标，A i 表示第i 次射中，直到射中为止的试验样本空间，则=A ； A I A 2； L ； A 1 A 2 L A n 1A n ； L.3.—部四卷的文集，按任意次序放在书架上，各卷自左向右，或自右向左顺序恰好为 1、2、3、4概率为 — 124. 一批(N 个)产品中有M 个次品、从这批产品中任取n 个，其中恰有个m 个次品的概 率是 c m c nm /c N5.某地铁车站，每5分钟有一趟列车到站， 乘客到达车站的时刻是任意的, 则乘客侯 车时间不超过3分钟的概率为 6•在区间(0, 1 )中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6”的概率为57. 已知 RA)= P(B)=(1) ;P(AB)12.假设一批产品中一、二、三等品各占60% 30% 10%从中随机取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为13. 已知 P(A) a,P (B|A) b,则卩(AB )14. 一批产品共10个正品,2个次品，任取两次，每次取一件(取后不放回),则第2次抽取为次品的概率162 1 215.甲、乙、丙三人入学考试合格的概率分别是 -,1,-，三人中恰好有两人合格的概3 2 5率为2/5 .16. 一次试验中事件 A 发生的概率为 p ,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 1 (1 p)n； A 至多发生一次的概率为17.甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为和，现已知目标被击中,则它是甲中的概率为二、选择题3.如果事件A, B 有B A,则下述结论正确的是(C ).产品不全是合格品”，则下述结论正确的是(B ).5. 若二事件A 和B 同时出现的概率 P( AB )=0则(C ).(C ) AB 未必是不可能事件；(D ) P( A )=0或P( B )=0.a ab .(1 P)n np(1 p)n 11.以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” 则其对立事件 A 为(D ).(A ) “甲种产品畅销，乙种产品滞销” (B ) “甲、乙两种产品均畅销” (C ) “甲种产品滞销”(D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”2.对于任意二事件 A 和 B,与A BB 不等价的是(D ).(A) A B;(B) B A;(C) AB(D) AB(A ) A 与B 同时发生; (B) A 发生，B 必发生; (C) A 不发生B 必不发生; (D B 不发生A 必不发生.4. A 表示“五个产品全是合格品”,B 表示“五个产品恰有一个废品”,C 表示“五个(A) A B;(B) A C;(C) B C;(D) A B C.(A ) A 和B 不相容;(B ) AB 是不可能事件;6.对于任意二事件A和B有P(A B) (C ).(D) P(A) P (B) P(B) P(AB).8.设A , B 是任意两个概率不为 0的不相容的事件，则下列事件肯定正确的(D ).(A) A 与 B 不相容；(B) A 与 B 相容；(C) P( AB = P( A )P( B); (D) P( A-护P( A ). 9.当事件A B 同时发生时，事件C 必发生则(B ).(C) 事件A 和 B 互不独立；13 .设A, B 是任意二事件，且P(B) 0, P(A|B) 1 ,则必有(C ).(A) P(A B) P(A); (B) P(A B) P(B); (C) P(A B) P(A);(D)P(AB) P(B).14. 袋中有 5个球，其中2个白球和 3个黑球，又有5个人依次从袋中任取一球,取后不放回，则第二人取到白球的概率为(D .(C ) P (A) P( AB)； (A) P(C) P(A) P(B) 1;(C) P(C) P(AB);(B) P(C) P(A) P(B) 1; (D) P(C) P(A B).10.设A,B 为两随机事件，且 A ，则下列式子正确的是 (A ).(A ) P(A B) P(A);(B) P(AB) P(A); (C) P(B|A) P(B);(D)P(B A) P(B) P(A).11.设A 、B 、C 是二随机事件，且 P(C) 0,则下列等式成立的是 (B).(A) P(A|C) P(A|C) (C) P(A|C) P(A|C)1; 1;(B) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C) P (AB|C); (D) P(AUB|C) P(A|C) P(B|C).12.设A, B 是任意两事件B,P(B) 0,则下列选项必然成立的是(B ).(A) P (A) P(A|B); (C) P(A) P(A|B);(B) P(A) P(A|B); (D) P(A) P(A| B). 1(A)1;(B) |;4(C) 1;(D) I515.设 0 P(A) 1, 0 P(B) 1, P(A|B) P(A|B) 1,则(D ).(A) 事件A 和 B 互不相容;(B)事件A 和B 互相对立;事件A 和B 相互独立.p (0 p 1)，则此人第4 (D)16.某人向同一目标重复射击，每次射击命中目标的概率为次射击恰好第2次命中目标的概率为(C).三、解答题1.写出下列随机实验样本空间:(1)同时掷出三颗骰子，记录三只骰子总数之和;(2) 10只产品中有3次产品，每次从中取一只(取出后不放回) ，直到将3只次品都取 出，记录抽取的次数;⑶对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品” ，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。

(4)将一尺之棰折成三段，观察各段的长度解 1( 1){3,4,5,,18}；{3,4,5, ,10}；查出合格品记为“ 1”，查出次品记为“ 0”,100， 0100， 0101， 1010， 0110， 1100， 0111， 1011， 1101， 1110， 1111};{(X, y,z)|x 0, y 0, z 0, x y z 1}其中x, y, z 分别表示三段之长.2.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 运算关系表示下列事件:(4) A B C ; ( 5) ABC 或 ABC ;3.下面各式说明什么包含关系? (A) 3p(1 p)2; (C) 3p 2(1 p)2;(B) 6p(1 p)2; (D) 6p 2(1 p)2.{00, A 发生，B 和C 不发生;(2) A 与B 都发生，而C 不发生;A,B,C 均发生; A, B,C 至少一个不发生; A,B,C 都不发生;(6) A, B,C 最多一个发生; A,B,C 中不多于二个发生;(8) A, B,C 中至少二个发生.解(1)ABC 或 A- (AB+AC 或 A-(B +C ) ; (2) ABC 或 AB- ABC 或 AB- C ; (3) ABC ;(6) ABC ABC ABC ABC ; (7)ABC ; (8) AB AC BC .(1) ABA ; (2) A B解(1)A B ;(2) A4.设 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, {2,3,4}, B {3,4,5}, C {5,6,7}具体写出下列各事件:(1) AB ， (2) A B ，(3)AB ，(4) ABC ，(5) A(B C).解 (1){5} ; (2) {1,3,4,5,6,7,8,9,10} ;(3) {2,3,4,5}(4) {1,5,6,7,8,9,10} (5) {1,2,5,6,7,8,9,10}.5.从数字1,2,3，…，10中任意取3个数字, (1)求最小的数字为 5的概率;记“最小的数字为5”为事件A•••10个数字中任选3个为一组：选法有 C 1o 种，且每种选法等可能.又事件A 相当于：有一个数字为 5,其余2个数字大于5。

这种组合的种数有1 C ；P(A) 2(2)求最大的数字为 5的概率。

记“最大的数字为 5”为事件B ,同上10个数字中任选3个，选法有Cw 种，且每种选 法等可能，又事件 B 相当于：有一个数字为 5，其余2数字小于5,选法有1 C 2种&已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机取一只，作不放回抽样,求下列事件的概率。

P(B)1 C 42 G 3。

丄 20要4只都不配对，可在5双中任取P(A) P(A) 1 P(A)8 211 ◎21 13217.试证 P (AB AB )P ( B ) 2P (AB ).(1)两只都是正品两只都是次品 ;(3)—只是正品，一只是次品; (4)至少—只是正品。

10. 某学生宿舍有8名学生，问(1) 8人生日都在星期天的概率是多少？(日都不在星期天的概率是多少？ (3) 8人生日不都在星期天的概率是多少?1解(1) P 1严有2个电话号码相同，另 2个电话号码不同的概率 取的至少有3个电话号码相同的概率 q .C 11O C 42A 92解基本事件总数有』！种5! 5 5!(1)每个班各分一名优秀生有 3!种，对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中3 12!分法总数为种，所以共有 住L 种分法.所以 P =4^ 生4 4 4 4 4 4 15 ! 91 5! 5 5(3)C ；Pc 8c 2P3C1028 45；16 459.把10本书任意放在书架上, 解所求概率 P(2) P 2⑷P 4 1 求其中指定的6! 5! 110!42C ； CIP 21 45 1丄兰45 455本书放在一起的概率。

2)8人生(2) P 2 岸⑶P 3 111 .从0 - 9中任取 4个数构成电话号码(可重复取) 求:0.432；10弟込旦0.037.1012. 15名新生平均分配到三个班中，这 个班各分一名优秀生的概率 P (2) 3名优秀生在同一个班的概率 q .随机地将 15名新生有3名优秀生.求(1)每(1) P即该学生这门课结业的可能性为70%.(2)3 名优秀生分配到同一个班，分法有3种，对每一分法,12名非优秀生分配到三个班3 12中分法总数为12!,共有3 12种,所以q二翠5 12! 5! 5 2 ! 5 5 15 915! 5 5!13.在单位园内随机地取一点Q试求以Q为中点的弦长超过1的概率.解：在单位园内任取一点Q, 并记Q点的坐标为(X，y)，由题意得样本空间2X, y 1，记事件A为“以Q为中心的弦长超过1”，贝y事件A X, y 1 X2y2，即A X, y由几何概率计算公式得P(A)14.设A B是两事件且P ( A)= , P ( B)=.问(1)在什么条件下P (AB取到最大值，最大值是多少？ ( 2)在什么条件下P ( AB取到最小值，最小值是多少?解：由P (A) = , P ( B)= 即知AB^O,(否则AB = 0依互斥事件加法定理,P(A U B=P (A)+P (B=+= >1 与P ( A U B) < 1 矛盾).从而由加法定理得P (AB=P (A)+P (B) - P ( A U B) (*)(1)从OW RAB w P(A)知，当ABmA,g卩A n B时RAB取到最大值，最大值为R AB=P(A)=,(2)从(*)式知，当A U B= 时，RAB取最小值，最小值为F(AB=+ —1=.15.设A, B是两事件，证明： P(AB AB) P(A) P(B) 2P(AB)证 P (AB AB) P (AB) PfAB) P(ABAB) P(A B) P(B A)P(A) P (AB) P(B) P (AB) P(A) P(B) 2P( AB).16.某门课只有通过口试及笔试两种考试，方可结业.某学生通过口试概率为80%通过笔试的概率为65%至少通过两者之一的概率为75%问该学生这门课结业的可能性有多大?解A= “他通过口试”，B=“他通过笔试”，则P(A)= P(B)=, P(A+B)=P (A B)=F(A»+P(B) - P(A+B)=+-=即该学生这门课结业的可能性为70%.17.某地有甲、乙、丙三种报纸，该地成年人中有20淤甲报，16%读乙报，14%卖丙报,其中8%兼读甲和乙报，5%兼读甲和丙报，4%兼读乙和丙报，又有2%兼读所有报纸，问成年人至少读一种报纸的概率解设A，B, C分别表示读甲，乙，丙报纸P(A B C)P(A) P(B) P (C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)0.2 0.16 0.14 0.08 0.05 0.04 0.02 0.351 118.已知P (A) P (B) P (C) -,P (AB) 0,P (AC) P ( BC) 一，求事件A,B,C 全不发416生的概率.解P(ABC) P( __ ) 1 P(A B C)3 11 [P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC)] 1 - -4819.某厂的产品中有4%勺废品，在100件合格品在有75件一等品，试求在该产品任取一件的是一等品的概率.解令A “任取一件是合格品”,B “任取一件是一等品”P(AB) P(A) P(B|A) (1 0.04) 0.75 0.72 .20.在100个次品中有10个次品，每次从任取一个(不放回)，求直到第4次才取到正品的概率.解A i= “第i次取到正品” i =1 , 2, 3, 4.p(A A A3A4) P(A)P(A2 | A )P(A3 | A A2) P(A4 | A1A2A3)——900.00069100 99 98 9721.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？记H表拨号不超过三次而能接通，A表第i次拨号能接通.注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码人入2民 三种情况互斥p （A ）P （A 2|A 1）P （A ）P （A 2 [A JP （人3|入1入2）求取得正品的概率.P(B i ) = 0.5 , P (B 2)= O.3 , P (B 3)= O.2 , P(A|B i ) 0.9 , P(A|B 2)0.8, P(A|B 3)0.73所以 P (A ) P B P A B ii 125.某一工厂有A,B,C 三个车间生产同一型号螺钉，每个车间的产量分别占该厂螺钉总产量的25 %、35 %、40 %，每个车间成品中的次品分别为各车间产量的1 9 1 9 8 1310 10 9 10 9 8 10 .22.若 P(A)0,P (B) 0 ,且 P(A| B) P(A)，证明 P(B| A)P (B). 证因为 P(A|B)P(A),则 P(AB)P (A ) P(AB) P (B)P(A) P(B)所以 P(B|A) P(AB)P(A)P(B)P(B).P(A)P(A)23.证明事件 A 与B 互不相容,且 0<p(B )<1,则 p (A |B )P (A )1 P ( Bo证 P （A |B ）篇艦.。