第九章 欧几里得空间习题解答P394.1.1(,)'0(""0)'(')'''(,)A A A αααααβαβαβααβαβ∴=≥=⇔====正定非负性证得由矩阵失去,线性性成立,再由(,)=A A 对称性成立，是一个内积()1111161P394.1.2,(006);19,,P394.1.2|(,)|||||(,)|i i j ij i j n nnij i ji j n n ij i j i j A a x y c s B a x y εεαεεεαβαβαβ====⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴≤=∴--≤∑∑∑∑L L L Q 的度量矩阵即为A 不等式为|()393.2P ①, α=(2,1,3,2), β=(1,2,-2,1)|||,)0,,2αβαβαβπαβ∴====∴⊥∴=〈〉393.2P ②, α=(1,2,2,3), β=(3,1,5,1)|||6,(,)18(,)(,)arc cos cos ||||24arc arc αβαβαβπαβαβ=====∴====393.2P ③, α=(1,1,1,2), β=(3,1,-1,0)||||(,)3,arc 700'30''38αβαβαβ===∴==︒〈〉P393. 3 ||||||αβαβ+≤+Q(,)|||()()|||||(,)(,)d d d αγαγαββγαββγαββγ∴=-=-+-≤-+-+ =P393.4在4R 中求一单位向量与(1,1,-1),(1,-1,1-,1),(2,1,1,3)正交解设所求212341234123412344123(,,,)1,00230111111111111111020001003,2113013100314,0,14i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα==+-+=⎧⎫⎪⎪--+=⎨⎬⎪⎪+++=⎭⎩⎛⎫-⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--→-→=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-=-∑则且与各向量的内积为0得令得,0,1,3),()-单位化393.5P ①证:因为12(,)0, 1.2,,i n i n γαααα==L L 而是一个基11(,)(,)(,)0.0.nni i i i i i k k γγγαγαγ==∴====∑∑因此,必有393.5P ②证，Q 12(,)(,), 1.2,i i i n γαγα==L12(,)0, 1.2i i n γγα∴-==L由第①小题：12120,γγγγ-==故P393.6 1231232211(,,)(,,)2123122αααεεε⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭Q而1232211212,,3122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭是正交矩阵,所以是标准正交基11212431231212121124512451131212351152124531235393.7,/2(,)1111(22)(,)222221210)22)1()2s P αεεαεεεεεεεβααββαβαβεεεεεεεεβββαββεεεεηεεηεεεεηεεεε==-+=++==-=-=-+-=-+-=--=++-=+=-+-=++-123解:再正交化称:P394.8，解：123452111310014001110101115X X X X X X ⎛⎫ ⎪ ⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪=→= ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭解出：123014115100010001ηηη-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Schmidt:1221331022711161151311116222105022130005ββηββηβ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-=-=++-= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭单位化便得到解空间的标准正交基：123766135εεε⎛⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭P394.9 11(,)()()f g f x g x dx-=⎰已知2312341,,,x x xαααα====解：111βα==21122111223132321211223434142441234112233111222(,)(,)*2(,)(,)1310(,)(,)232(,)(,)(,)352(,)(,)(,)532(,)2||(,)||3(xdxx xx xx x x αββαβββαβαββαββββββαβαβαββαβββαββββββββββββ--=-=-=--=---=-=---=--=-====⎰Q又142333116424441218,)()||3945698(,)()||525175x x dxx x x dxββββββ+--=-+===-+==⎰⎰单位化标准正交基312324,1),3)396.17.4133333333133333343313333333313333x x x xPA A Eγγγγ===-=-------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-----⎪ ⎪==⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭1123443() 4.840Acy Tr A x x λλλλχχ∴===-⇒==-+-=Q 221-秩(A+4E)=1至少为重根,而-(4+4+4)+解(A+4E)x=o,即1111210311111110212003⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得正交基础体系1100单位化为28λ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解(A-8E)x=0.得解取自A+4E的一列3-33-31111121124124'1402812T T AT T AT -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭-⎛⎫- ⎪- ⎪=== ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-单位化为令则112121211111111395.10.10(,,)(,)(,)0,.(,)(,)0P V V V V V k k k V ββαβαβαβββββαβαβ∈≠∅=+=⇒+∈⎫∀∈∴≤⎬==⇒∈⎭11123123111P395.10.2 0dim 1.,,,(2)(,)dim 1.dim 1.n n V V n V i V i L V V n V n αααααααααααα≠∴∉≤-=∈≥∴≤⇒≥-∴≥-Q L L 故将扩充为的一个正交基那么.P394，11①设两个基：12,12,,,n n εεεηηηL L 及,它们的度量矩阵分别为A 和B,并设121211122111221212'''221122(,,,)(,,,),,(,,)(,,,)(,,)(,,,),(,)(')'()n n n n n n CV X X Y Y X CX Y CY X BY X AY X C AC Y C AC B ηηηεεεαβαεεηηηβεεηηηαβ=∈=========∴=L L L L L L 任设所以合同P394.11②，取V 的一个基12,,,,n A αααL 其度量矩阵为因为A 正交,故存在矩阵C,使12121212',,,,,,',,,n n n n C AC E ηηηαααηηηηηη=L L L L C AC=E做基(,)=()C,那么,的度量矩阵为因此,为标准正交基.1212121212121212211111P394.12,,,,(,)(,,)()(,,),,|(,,)|,,,,(,,|0()0|()|||0,m ij i j m ij m mm m m m m m V G G G G G ααααααααααααααααααααααααααααααααα⨯∈==⇔≠⇔>⇔=≠L L L L L L L L 记:，称，为，的Gram 矩阵称，为，的Gram 行列式证明，线性无关，）证:若m=1,线性无关，成立121211,|(,,)|0(,,)(,)(,,)0,0,1,2,.n m mj k k ij k ik k i k k k jk jk ji j k k k jm G A c c a c c i m αααβββββααααααγ=≠≠≠≠>==⇔=⇔==⇔-=∴⇔==∑∑∑∑L L L 若而，不妨设，1212(,,,),,,,j k k m k jj k m k jc L ck γαααααααααα≠≠=-∈⇔=⇔∑∑Q L L 线性相关211212112121222122122222212122123|()|||||||||cos (,),(,)|(,)|(,),(,)||||cos ||||||(1cos )(||||cos )|(,,)|()G G G αααααθααααααααααααθαααθααθααα====-==类似地:平行六面体积P394，13，设：1222000n n n n nn A αααααα⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭LL M M O M L因为A 正交，故A'A=E ，令A=12(,,)n βββL由第1行列，211111,1αα==±由β1与其余各列正交，β1⊥βj （j>1），（β1，βj ）=111100(1)j j a a j α=⇒=>1100A A ±⎛⎫∴= ⎪⎝⎭其中A 1仍为上三角正交矩阵，但阶数少1，故可用归纳法给出证明，且n=1时显然为真，由归纳法原理，证毕。

P394，14①，设1212(,,,),,,,nn n A αααααα=L L ?则做成的一个基,用Schmidt 方法把它们正交化12,,,(9,130,4.1)n P εεεL 由定理21212(,,,)(,,,),i i i L L εεεααα=∀L L111212212121(,,,)(,,,),0n in n n iin n nn t t t t t t t t εεεααα-⎛⎫⎪ ⎪∴=> ⎪ ⎪⎝⎭L L L L O1112111122(,,),0()n n nn t Q T T t Q AT A QT QT A QT Q T εεε--⎛⎫⎪==⎪⎪⎝⎭∴=====LL O 111t 令正交,T =唯一性若1122122,0,0,Q Q T T QT T T T ---∴=∴∴Q -122上三角矩阵T T为正交矩阵Q 的对角线皆大于的对角线皆大于由13题(见P19,138,10.1)T 2T -1=E ，∴T 2=T ，满秩 ∴Q 2=QP394，14②，Q A 正交，则存在C 可逆使A=C'C而C 可逆，由①，有C=QT ，Q 正交T 上三角。