金属丝杨氏弹性模量的测定
本实验是根据胡克定律测定固体材料的一个力学常量——杨氏弹性模量。

实验中采
用光杠杆放大原理测量金属丝的微小伸长量，并用不同准确度的测长仪器测量不同的
长度量；在数据处理中运用了两种基本而常用的方法——逐差法和作图法。

［一］. 实验目的
1．掌握不同长度测量器具的选择和使用，掌握光杠杆测微原理和调节。

2．学习误差分析和误差均分原理思想。

3．学习使用逐差法处理数据及最终测量结果的表达。

4．测定钢丝的杨氏弹性模量 E 值。

［二］. 实验原理
固体材料在外力作用下产生各部分间相对位置的变化，称之为形变。

如果外力较小时，一旦外力停止作用，形变将随之消失，这种形变称为弹性形变；如果外力足够大，当停止作用时，形变却不能完全消失，这叫剩余形变。

当剩余形变开始出现时，就表明材料达到了弹性限度。

在许多种不同的形变中，伸长(或缩短)形变是最简单、最普遍的形变之一。

本实
验是针对连续、均匀、各向同性的材料做成的丝，进行拉伸试验。

设细丝的原长为l ，横截面积为
A ，在外加力P的作用下，伸长了l 的长度，单位长度的伸长量l /l 称为应变，单位横截面所受的力则称为应力。

根据虎克定律，在弹性限度内，应变与应力成正比关系，即
Pl
E
Al
式中比例常数E 称为杨氏弹性模量，它仅与材料性质有关。

若实验测出在外加力用下细丝的伸长量l ，则就能算出钢丝的杨氏弹性模量
Pl
Al
工程中E 的常用单位为(N/m2)或(Pa)。

(1) P作
E：
几种常用材料的杨氏模量E 值见下表：
材料名称E(×1011Pa)
钢 2.0
铸铁 1.15～1.60
铜及其合金 1.0
铝及硬铝0.7
应当指出，(1)式只适合于材料弹性形变的情况。

如果超出弹性限度，应变与应力的关系将是非
线性的。

右图表示合金钢和硬铝等材料的应力-应
变曲线。

为了测定杨氏弹性模量值，在(2)式中的
P、l和A都比较容易测定，而长度微小变化量l
则很难用通常测长仪器准确地度量。

本实验将采用
光杠杆放大法进行精确测量。

［三］. 实验装置
实验装置原理如右图所示。

被测钢丝的上端被夹头夹住(或螺丝顶住)，悬挂于支架顶部A 点。

下端被圆柱体B 的夹头夹住。

圆柱体能在支架中部的平台C 的一个圆孔中自由上下移动，圆柱体下端悬有砝码盘P。

支架底座上有三个螺丝用来调节支架铅直。

光杠镜如右图所示，它由一平面反射镜M 和T 字形支座构成。

支座的刀口放在平台C 的凹槽内，后脚尖认放在圆柱体B 的上端面
上。

当钢丝伸缩时，圆柱体B 则随之降升，光杠镜将绕沿O1O2 的轴线转动。

望远镜G 及标尺H 与光杠镜彼此相对放置（相距1m 以上），从望远镜中可以看到标尺经反射镜反射所成的标尺像，望远镜中水平叉丝对准标尺像的某一刻度线进行读数。

下面介绍如何利用光杠杆测量微小长度的变化。

光杠杆是由光杠镜、望远镜和标尺组成，它有很高的测量灵敏度。

右图是表示一机械杠杆ab，支点为o 。

oa 为短臂，ob 为长臂。

令短臂的末端下降一很小距离aa′，则长臂末端将上升一显著距
离bb′、两距离
之比等于两臂长之比，即
aa oa
bb ob
或aa oa bb （3）
ob
所以aa′微小位移量将被放大ob/oa 倍。

如果长臂用光线代替（称之光臂），如右图所示，我们称它为光杠杆。

假定开始时光杠镜镜面法线刚好是水平线，此时从望远镜中观测到标尺朗读数为S1；当钢丝伸长l 之后，镜面转动了一微小的角度θ，镜面法线也跟着转过θ角，这时从标尺S2 处发出的光线经镜面反射后进入望远镜，因而从望远镜中观测到的读数变为S2。

由图可知，光线S1和S2的夹角为2θ，由于θ很小，
故有
l b
(S2 S1)b S 2D
2 1
2D
(4)式中，b为光杠镜T 形的后脚尖O3 到O1O2 线的垂直距离(如右图) ，而D为镜面到
(4)标尺的距离。

l ——短臂末端的微小位移，b ——短臂长，2D ——长臂(光臂)长，S S2 S1——
光臂末端的位移。

测量出S S2 S1、b和D．再利用(4)式求得物体的伸长或缩短l 。

由于光臂长度较长，S 就较显著，所以利用光杠杆来显示微小位移的灵敏度效高。

比如b
＝5cm．2D=200cm，则S/ l ＝200：5＝40：1，于是利用兴杠杆可将微小位移扩大40 倍，故有光放大法之称。

1 现将(4)式代入(2)式，并利用A 2( 为钢丝的直径)，
则得
4
8LDP
2
bS
此式即为利用光杠杆原理测定杨氏模量的关系式。

[四]. 实验内容
1. 仪器的认识和调整
(1) 调节杨氏模量仪支架成铅直
(2) 调节光杠镜和望远镜：
粗调：先调节理远镜的高度,使之与光杠镜等高，并调节光杠镜的镜面垂直于
C 平台面。

移动望远镜。

使标尺与经远镜几乎对称地分居反射镜的法线两侧。

然后利用望远镜
上面的瞄准器，使望远镜对准反射镜( 类似于枪瞄准靶)，调节
镜面使通过镜筒上方应能从反射镜上看到标尺像。

细调：从望远镜内观察、旋转目镜直至看清叉丝。

然后调节镜简中部的凋焦
(5)
螺旋。

以改变组合物镜的焦距达到清晰地看到标尺像。

仔细调节目镜和调焦螺旋，使标尺像与叉丝共面，此刻若眼睛略微上下移动，标尺像与叉丝没有相对移动，这叫消视差。

升降标尺高度，今标尺像的零刻线与望远镜叉丝的水平丝几乎重合。

2. 实验现象的观察和数据测量
(1) 在正式测量之前，必需先观察实验基本现象和可能产生误差来源。

例如．加荷重时钢丝
伸长是否线性变化；加砝码时轻放或重放对测量有何差别；砝码盘摆动对读数影响情
况；加砝码与减砧码两者读数重复酌情况；手按桌子对读数有何影响等等，从而掌握
实验正确操作方法和练习操作技能。

(2) 测量钢丝在不同荷重下的伸长变化：先在祛码盘上放1—2kg 砝码，用以
拉直钢丝。

作为荷重为零，然后逐次增加1kg 砝码，同时记下相应的标尺保读数，
共七次。

再将所加的七个砝码依次取下，并记下相应的标尺像读数。

测量中应随时注
意判断数据的可靠性、以便及时发现问题，予以改正。

(3) 根据误差均分思想(应选择适当的测量仪器，使得各直接测量的误差分量对间接测量
的最终结果的误差的影响大致相同)，合理选择并正确使用不
同测长仪器(皮尺、米尺、游标尺和螺旋测微计)来测量光杠镜至标尺的距离D 、
钢丝的长度l 和直径以及光杠镜后脚尖至O1O2 的垂直距离
b (为了方便起见，可将光杠镜底脚印在纸上加以测量) 。

例如，从(5)式
导出E 的最大相对误差公式：
E L D b ( S)
=2
E L D b S
其中，最小，约为0.5mm，使用以上仪器中最精密的螺旋测微计测量，
仪器误差为0.005mm，所以，测量引入的相对误差约为2 =2%。

D
的长度约为1m，选用皮尺(仪器误差为0.5cm)即可使测量D 引入的相对误差与测
量的大致相当，而无须使用更精密的测量仪器。

(4) 测量时应注意这些量的实际存在的测量偏差．从而决定测量次数。

如果某个量
各次测量值与平均值的偏差不大于仪器的示值误差，则可作单次测量，以仪器示值误差作为该量的测量误差。

测时应注意整条钢丝的截面圆度。

［五］. 数据记录与处理
用逐差法处理荷重钢丝伸长变化的数据
0.5 0.289 cm
3
次数
1 2 3 4 5 6 平均直径
直径 d(mm)
0.330
0.331
0.330
0.330
0.328
0.332
0.330
8m 2
gLD 1.663 10
11
N m
d b n
测量长度量 L , D 时，分别取其误差限为 0.2cm , 0.5cm ,测量金属丝直径 d 时，千 分尺的示值误差为 0.0004cm 。

数据记录：
L 68.00 cm u L 0.2
0.115 cm 3
b 7.690 cm
u b
0.002 0.001 cm
m 3000 g m 15 g
u m
15
8.660 g
g 979.4 cm s 2
g 0.2 cm s 2
u g
0.2 0.115cm s
2
3
d i d
0.0004 0.0002 cm
i1
0.001 cm
S
d
6 6 1
u Bd
3.546 1010 N m 2
S n
3
2
S i
S
i1
3 3 1
0.602 cm
u B n
0.058 cm
3
u n S n 2 u B n 2 0.605 cm
D 76.10 cm
u D
u E只取一位有效数字，由“末位对齐”原则写出结果表达式：
E E u E 1.7 0.4 1011 N m2。