N
A
方法指导：若点P为平面α外一点，点A为平面α内任 一点，平面的法向量为n，则点P到平面α的距离公式 为
如何用向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
N
DCMA NhomakorabeaB
：如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D－xyz
则 D(0,0,0),A( 2 a ,0,0),B( 2 a ,a ,0),C(0,a ,0),P(0,0,a )
∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( 2 a , 0, 0) N ( 2 a , 1 a, 1 a)
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
|n|
|n|
M
22
解得 2 x y z ,
A
2
x
B
∴可取 m ( 2,1, 1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d MA n a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 a .
n2
2
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
2
2 22
∴ MC ( 2 a, a, 0) , MN (0, 1 a, 1 a) ,
z
2 MA ( a, 0, 0)
2
22
P
2
设 n ( x, y, z) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC
∴ n MC 2 ax ay 0 且 2
N D
C
y
n MN a y a z 0
z
C1
A1
B1
C
A
B
xE
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面
△ABC 中, AC BC 2 , BCA 90 , E 是 AB 的中点,
求异面直线CE 与 AB1 的距离.
解： 如 C 图 xy ,建 则 z C (0 ,立 0 ,0 )E ,(1 坐 ,1 ,0 )A ,标 (2 ,0 ,0 )系 B ,1(0 ,2 ,4 ).
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点
B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
E F ( 2 , 2 ,0 ) ,E G ( 2 , 4 ,2 ) ,
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向
量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
AB n d
n
B
b
na
A
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─A1B1C1 的 侧 棱 AA1 4 , 底 面 △ABC 中, AC BC 2, BCA 90 , E 是 AB 的中点, 求异面直线CE 与 AB1 的距离.
空间向量之应用3 利用空间向量求距离
课本P42
如果表示向量a的有向线段所在直线
垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ，记作a⊥.
如果a⊥，那么向量a叫做平面的
法向量.
l
a
课本P33
已知向量 AB a和轴 l，e是 l 上与 l 同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1，作点 B 在 l 上的射影 B1，则 A1B1 叫 做向量 AB在轴上或在e方向上的正射影， 简称射影.
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)x
D
C
n E F ， n E G 22xx24yy020 F
n (1 , 1 ,1) ,BE(2,0,0) A 33
E
d|nBE| 2 11.
B
y
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习1:
SA 平A 面BC ， DDAB ABC90，
GEF的距离。
z
G
|nBE| 2 11
d
.
n
11
xD
C
F
A
E
B
y
练习3:
正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的
距离
Z D1
DD 1 n C1 d
A1
B1
n
G D
A X
C Y
B
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C
与平面A1BC1的距离
Z D1
A1
B1
AD n C1 d n
l B1
n A1
A
已知向量 AB a和轴 l，e是 l 上与 l 同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影
B
A1，作点 B 在 l 上的射影 B1，则 A1B1 叫 做向量 AB在轴上或在e方向上的正射影， 简称射影.
b
AB n A1B1 n
一、求点到平面的距离
P
PA n d
n
M
O
n
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4，
CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
G
xD F
A
E
C B y
例:1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是
D
A X
C Y B
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
AB n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
四、求异面直线的距离
A a M
n
N Bb
AB n d
n
SA AB BC a， AD 2a, 求 A到 平 SC 面 的 D 距 离z 。
S
A
D
y
B
C
x
练习2:
练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD ,PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.