当前位置:文档之家› 中考数学压轴题 易错题提优专项训练试题

中考数学压轴题 易错题提优专项训练试题

一、中考数学压轴题1.如图,平面直角坐标系中,抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点(点B 在点C 右侧),与y 轴交于点A ,连接AB ,25AB =.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在第二象限的抛物线上,连接PB 交y 轴于D ,取PB 的中点E ,过点E 作EH x ⊥轴于点H ,连接DH ,设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,作PF y ⊥轴于F ,连接CP 、CD ,CP CD =,点S 为PF 上一点,连接BS 交y 轴于点T ,连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒,在射线CS 上取点Q.连接QF ,QF RF =,求直线TQ 的解析式.2.在学习了轴对称知识之后,数学兴趣小组的同学们对课本习题进行了深入研究,请你跟随兴趣小组的同学,一起完成下列问题.(1)(课本习题)如图①,△ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长BC 至E ,使CE=CD . 求证:DB=DE(2)(尝试变式)如图②,△ABC 是等边三角形,D 是AC 边上任意一点,延长BC 至E ,使CE=AD .求证:DB=DE .(3)(拓展延伸)如图③,△ABC 是等边三角形,D 是AC 延长线上任意一点,延长BC 至E ,使CE=AD 请问DB 与DE 是否相等? 并证明你的结论.3.如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AD//BC ,AD=16,BC=21,CD=13.(1)求直线AD 和BC 之间的距离;(2)动点P 从点B 出发,沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q 从点A 出发,在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动,点P 、Q 同时出发,当点Q 运动到点D时,两点同时停止运动,设运动时间为t 秒.试求当t 为何值时,以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形?(3)在(2)的条件下,是否存在点P ,使△PQD 为等腰三角形?若存在,请直接写出相应的t 值,若不存在,请说明理由.4.在梯形ABCD 中,//AD BC ,90B ∠=︒,45C ∠=︒,8AB =,14BC =,点E 、F 分别在边AB 、CD 上,//EF AD ,点P 与AD 在直线EF 的两侧,90EPF ∠=︒,PE PF =,射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ,设AE x =,MN y =.(1)求边AD 的长;(2)如图,当点P 在梯形ABCD 内部时,求关于x 的函数解析式,并写出定义域; (3)如果MN 的长为2,求梯形AEFD 的面积.5.一种实验用轨道弹珠,在轨道上行驶5分钟后离开轨道,第一颗弹珠弹出后其速度1y (米/分钟)与时间x (分钟)前2分钟满足二次函数21y ax =,后3分钟满足反比例函数关系,如图,轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分钟.(1)求第一颗弹珠的速度1y (米/分钟)与时间x (分钟)之间的函数关系式;(2)第一颗弹珠弹出1分钟后,弹出第二颗弹珠,第二颗弹珠的运行情况与第一颗相同,直接写出第二颗弹珠的速度2y (米/分钟)与弹出第一颗弹珠后的时间x (分钟)之间的函数关系式;(3)当两颗弹珠同时在轨道上时,第____分钟末两颗弹珠的速度相差最大,最大相差______;(4)判断当两颗弹珠同时在轨道上时,是否存在某时刻速度相同?请说明理由,并指出可以通过解哪个方程求出这一时刻.6.如图,在等边ABC ∆中,延长AB 至点D ,延长AC 交BD 的中垂线于点E ,连接BE ,DE .(1)如图1,若310DE =,23BC =,求CE 的长;(2)如图2,连接CD 交BE 于点M ,在CE 上取一点F ,连接DF 交BE 于点N ,且DF CD =,求证:12AB EF =;(3)在(2)的条件下,若45AED ∠=︒直接写出线段BD ,EF ,ED 的等量关系7.如图,90EOF ∠=︒,矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上,4AB =,3BC =,矩形ABCD 沿射线OD 方向,以每秒1个单位长度的速度运动.同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动,当点P 到达点C 时,矩形ABCD 也停止运动,设点P 的运动时间为()t s ,PDO △的面积为S . (1)分别写出点B 到OF 、OE 的距离(用含t 的代数式表示);(2)当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时,求S 与t 之间的函数关系式;(3)设点P 到BD 的距离为h ,当15h OD =时,求t 的值; (4)若在点P 出发的同时,点Q 从点B 以每秒43个单位长度的速度向终点A 运动,当点Q 停止运动时,点P 与矩形ABCD 也停止运动,设点A 关于PQ 的对称点为E ,当PQE 的一边与CDB △的一边平行时,直接写出线段OD 的长.8.如图,直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,抛物线y =ax 2﹣32x+c 经过A ,B 两点,与x 轴的另一交点为C .(1)求抛物线的解析式;(2)M 为抛物线上一点,直线AM 与x 轴交于点N ,当32MN AN =时,求点M 的坐标; (3)P 为抛物线上的动点,连接AP ,当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时,直接写出点P 的坐标.9.如图,直角三角形ABC ∆中,90460ACB AC A ∠︒=∠︒=,,=,O 为BC 中点,将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆.一动点P 从A 出发,以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动,过点P 作直线PM ,使PM AC ⊥.(1)当点P 运动2秒时,另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动,且在AB 上以每秒1的速度匀速运动,在BD 上以每秒2的速度匀速运动,过Q 作直线QN 使//QN PM ,设点Q 的运动时间为t 秒,(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值.(2)当点P 开始运动的同时,另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动,且在BC 3CD 上以每秒2的速度匀度运动,是否存在这样的P R 、,使BPR ∆为等腰三角形?若存在,直接写出点P 运动的时间m 的值,若不存在请说明理由.10.(1)如图①,在Rt ABC 中,90C ∠=︒,13AB =,5BC =,则tan A 的值是_______.(2)如图②,在正方形ABCD 中,5AB =,点E 是平面上一动点,且2BE =,连接CE ,在CE 上方作正方形EFGC ,求线段CF 的最大值.问题解决:(3)如图③,O 半径为6,在Rt ABC 中,90B ∠=︒,点, A B 在O 上,点C 在O 内,且3tan 4A =.当点A 在圆上运动时,求线段OC 的最小值.11.已知:菱形 ABCD ,点 E 在线段 BC 上,连接 DE ,点 F 在线段 AB 上,连接 CF 、DF , CF 与 DE 交于点 G ,将菱形 ABCD 沿 DF 翻折,点 A 恰好落在点 G 上.(1)求证:CD=CF ;(2)设∠CED = x ,∠DCF = y ,求 y 与 x 的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围) (3)在(2)的条件下,当 x =45°时,以 CD 为底边作等腰△CDK ,顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部,连接 GK ,若 GK ∥CD ,CD =4 时,求线段 KG 的长.12.如图1,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C (1,4),交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点D ,其中点B 的坐标为(3,0).(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,点E 是BD 上方抛物线上的一点,连接AE 交DB 于点F ,若AF=2EF ,求出点E 的坐标.(3)如图3,点M 的坐标为(32,0),点P 是对称轴左侧抛物线上的一点,连接MP ,将MP 沿MD 折叠,若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上,请求出点P 的横坐标.13. 在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =﹣x+4与x 轴交于点A ,过点A 的抛物线y =ax 2+bx 与直线y =﹣x+4交于另一点B ,且点B 的横坐标为1.(1)该抛物线的解析式为;(2)如图1,Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点(不与B 、A 重合),过Q 作QP ⊥x 轴,交x 轴于P ,连接AQ ,M 为AQ 中点,连接PM ,过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ,若点P 的横坐标为t ,点N 的横坐标为n ,求n 与t 的函数关系式;在此条件下,如图2,连接QN 并延长,交y 轴于E ,连接AE ,求t 为何值时,MN ∥AE .(3)如图3,将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ,点T 为线段OA 上的一动点(不与O 、A 重合),以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ,以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ,连接DF .在点T 运动的过程中,四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值?请求出该值.14.新定义,若关于x ,y 的二元一次方程组①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是00x x y y =⎧⎨=⎩,关于x ,y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=⎧⎨+=⎩的解是11x x y y =⎧⎨=⎩,且满足1000.1x x x -≤,1000.1y y y -≤,则称方程组②的解是方程组①的模糊解.关于x ,y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+⎧⎨-=+⎩的解是方程组10310x y x y +=⎧⎨+=-⎩的模糊解,则m 的取值范围是________. 15.定义:将函数l 的图象绕点P (m ,0)旋转180°,得到新的函数l '的图象,我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数.例如:当m =1时,函数y =(x +1)2+5关于点P (1,0)的相关函数为y =﹣(x ﹣3)2﹣5.(1)当m =0时①一次函数y =x ﹣1关于点P 的相关函数为 ;②点(12,﹣98)在二次函数y =﹣ax 2﹣ax +1(a ≠0)关于点P 的相关函数的图象上,求a 的值.(2)函数y =(x ﹣1)2+2关于点P 的相关函数y =﹣(x +3)2﹣2,则m = ; (3)当m ﹣1≤x ≤m +2时,函数y =x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P (m ,0)的相关函数的最大值为6,求m 的值.16.如图,在⊙O中,直径AB=10,tanA=33.(1)求弦AC的长;(2)D是AB延长线上一点,且AB=kBD,连接CD,若CD与⊙O相切,求k的值;(3)若动点P以3cm/s的速度从A点出发,沿AB方向运动,同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动,设运动时间为t (0<t<103),连结PQ.当t为何值时,△BPQ为Rt△?17.已知四边形ABCD为矩形,对角线AC、BD相交于点O,AD=AO.点E、F为矩形边上的两个动点,且∠EOF=60°.(1)如图1,当点E、F分别位于AB、AD边上时,若∠OEB=75°,求证:DF=AE;(2)如图2,当点E、F同时位于AB边上时,若∠OFB=75°,试说明AF与BE的数量关系;(3)如图3,当点E、F同时在AB边上运动时,将△OEF沿OE所在直线翻折至△OEP,取线段CB的中点Q.连接PQ,若AD=2a(a>0),则当PQ最短时,求PF之长.18.如图,在矩形ABCD中,点E为BC的中点,连接AE,过点D作DF AE⊥于点F,过点C作CN DF⊥于点N,延长CN交AD于点M.(1)求证:AM MD=(2)连接CF,并延长CF交AB于G①若2AB=,求CF的长度;②探究当ABAD为何值时,点G恰好为AB的中点.19.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛物线212y ax bx =++过D ,C ,E 三点.(1)当//DE AB 时,①求抛物线的解析式;②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D ,H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值.(2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出....点E 的坐标. 20.问题提出(1)如图1,已知三角形ABC ,请在BC 边上确定一点D ,使得AD 的值最小. 问题探究(2)如图2,在等腰ABC 中,AB AC =,点P 是AC 边上一动点,分别过点A ,点C 作线段BP 所在直线的垂线,垂足为点,D E ,若5,6AB BC ==,求线段BP 的取值范围,并求AD CE +的最大值.问题解决(3)如图3,正方形ABCD 是一块蔬菜种植基地,边长为3千米,四个顶点处都建有一个蔬菜采购点,根据运输需要,经过顶点A 处和BC 边的两个三等分点E F 、之间的某点P 建设一条向外运输的快速通道,其余三个采购点都修建垂直于快速通道的蔬菜输送轨道,分别为BB '、CC '、DD '.若你是此次项目设计的负责人,要使三条运输轨道的距离之和()BB CC DD '''++最小,你能不能按照要求进行规划,请通过计算说明.21.在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>的图像上两点,A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1,将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°,A 点的对应点为A’,B 点的对应点为B’.(1)点A’的坐标是 ,点B’的坐标是 ;(2)在x 轴上取一点P ,使得PA+PB 的值最小,直接写出点P 的坐标. 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ,使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等,若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AB’,动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动;动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动.当其中一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,试探究:是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值.若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.22.发现来源于探究.小亮进行数学探究活动,作边长为a 的正方形ABCD 和边长为b 的正方形AEFG (a>b ),开始时,点E 在AB 上,如图1.将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转.(1)如图2,小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转,连接BE 、DG ,当点G 恰好落在线段BE 上时,小亮发现DG ⊥BE ,请你帮他说明理由.当a=3,b=2时,请你帮他求此时DG 的长. (2)如图3,小亮旋转正方形AEFG ,点E 在DA 的延长线上,连接BF 、DF .当FG 平分∠BFD 时,请你帮他求a :b 及∠FBG 的度数.(3)如图4,BE 的延长线与直线DG 相交于点P ,a=2b .当正方形AEFG 绕点A 从图1开始,逆时针方向旋转一周时,请你帮小亮求点P 运动的路线长(用含b 的代数式表示).23.(1)(发现)如图1,在ABC 中,//DE BC 分别交AB 于D ,交AC 于E .已知CD BE ⊥,3CD =,5BE =,求BC DE +的值.思考发现,过点E 作//EF DC ,交BC 延长线于点F ,构造BEF ,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).请回答:BC DE +的值为______.(2)(应用)如图3,在四边形ABCD 中,//AB CD ,AD 与BC 不平行且AD BC =,对角线AC BD ⊥,垂足为O .若3CD =,5AB =,DAB CBA ∠=∠,求AC 的长.(3)(拓展)如图4,已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ,AC 与DF 交于点G ,FD FB =,且30BFD ∠=︒,60EBF ∠=︒,判断AC 与DF 的数量关系并证明.24.在平面直角坐标系xOy 中,点A 为x 轴上的动点,点B 为x 轴上方的动点,连接OA ,OB ,AB .(1)如图1,当点B 在y 轴上,且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,请直接写出P ∠的度数;(2)如图2,当点B 在y 轴上,OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ,点C 在BP 的延长线上,且满足45AOC ∠=︒,求OAB OCB∠∠;(3)如图3,当点B 在第一象限内,点P 是AOB ∆内一点,点M ,N 分别是线段OA ,OB 上一点,满足:1902APB AOB ∠=︒+∠,PM PN =,180ONP OMP ∠+∠=︒.以下结论:①OM ON =;②AP 平分OAB ∠;③BP 平分OBA ∠;④AM BN AB +=.正确的是:________.(请填写正确结论序号,并选择一个正确的结论证明,简写证明过程).25.在平面直角坐标系中,直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,10AB =.(1)如图1,求b 的值;(2)如图2,经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ,与x 轴交于点R ,//CD OA ,交AB 于点D ,设线段CD 长为d ,求d 与n 的函数关系式; (3)如图3,在(2)的条件下,点F 在第四象限,CF 交OA 于点E ,45AEF ∠=︒,点P 在第一象限,PH OA ⊥,点N 在x 轴上,点M 在PH 上,MN 交PE 于点G ,PH EN =,过点E 作EQ CF ⊥,交PH 于点Q , 32==EQ EF PM ,∠=∠OBR HNM ,BC CR =,点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭,连接FN ,求EFN 的面积.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、中考数学压轴题1.H解析:(1)211242y x x =--;(2)213S 242t t =---;(3)7433y x =-+ 【解析】【分析】(1)先把B 、C 两点坐标求解出来,再根据待定系数法即可把函数解析式求解出来;(2) 过点P 作PK x ⊥轴于点K ,PF y ⊥轴于点F ,把OH 、OD 的长度用t 表示出来,再根据ODH ∆的面积为S ,即可表示出S 与t 的函数关系式;(3)先证明PKC COD ∆≅∆,再过点R 作RN x ⊥轴,设211m,242R m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,连接RC 、RO ,作CL RO ⊥于L ,求出Q 点的坐标,再利用待定系数法即可把直线TQ 的解析式求解出来;【详解】(1)∵228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点∴令0y =,即2280ax ax a --=解得14x =,22x =-由题意得,∴B(4,0),C(2,0)-在Rt OAB 中,4OB =,25AB =.∴22OA 2AB OB =-=∴()0,2A -∴82a -=-∴14a = ∴抛物线的解析式为211242y x x =-- (2)过点P 作PK x ⊥轴于点K ,PF y ⊥轴于点F∴PKO PFO 90∠=∠=︒,FOK 90∠=︒∴四边形FPKO 为矩形∴FO PK =∵E 为PB 的中点∴PE BE =∵EH BK ⊥∴PKB EHB 90∠=∠=︒∴PK //EH ∴BH BM HK PM= ∴BH HK = ∵211,242P t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ∴211PK OF 242t t ==--,OK PF t ==- ∴BK 4t =- ∴1t BH BK 222==- ∴t t OH 42222⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭ ∵OD PK tan DBO OB BK ∠==, 即21441422t t OD t--=- ∴OD t 2=-- ∴211t 13S OD OH (t 2)2222242t t ⎛⎫=⋅=--+=--- ⎪⎝⎭, (3)∵OK t =-,OC 2=,∴CK OD t 2==--,∵CP CD =,PKC COD 90∠=∠=︒,∴PKC COD ∆≅∆,∴PK OC 2==,∴2OF = ∴OF 1tan FBO OB 2∠== 过点R 作RN x ⊥轴,如图设211m,242R m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴RN 1tan FBO BN 2∠==, ∴211214242m m m --=- 解得4m =-或4m =(舍去),∴R(4,4)- ∴CN 1tan CRN RN 2∠== ∴CRN FBO ∠=∠连接RC 、RO ,作CL RO ⊥于L ,如上图∵RN ON =∴45NRO RON NRC CRO ∠=∠=∠+∠=︒,∴LC LO =,RO 42=, ∴CL OL 2==, ∴CL 1tan CRO RL 3∠=, ∵SBC FBO 45∠+∠=︒, ∴OT 1tan TBO OB 3∠==, ∴4OT 3=,2TF 3=, ∴4T 0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭∵//PF OB ,∴2FT 13tan FST FS 3FS ∠=== ∴2FS =,∴FS CO OF 2===,∴QC BC ⊥∵QF FB =,QSF BOF 90∠=∠=︒,∴QFS BFO ∆≅∆∴QS OB 4==∴(2,6)Q -设直线TQ 的解析式为y kx b =+ ∴2643k b b -+=⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得7343k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线TQ 的解析式为7433y x =-+. 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用,涉及到用待定系数法求解函数解析式、一次函数、全等三角形、图形的面积计算、矩形的性质、解直角三角形等相关知识,灵活运用所学知识是解题的关键. 2.D解析:(1)见详解;(2)见详解;(3)DB=DE 成立,证明见详解【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质,得到∠CBD=30°,∠ACB=60°,由CD=CE ,则∠E=∠CDE=30°,得到∠E=∠CBD=30°,即可得到DB=DE ;(2)过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ,证明△BDC ≌△EDG ,根据全等三角形的性质证明结论;(3)过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ,由“SAS ”可证△BCD ≌△EFD ,可得DB=DE .【详解】证明:(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=60°,∵点D 为线段AC 的中点,∴BD 平分∠ABC ,AD=CD ,∴∠CBD=30°,∵CD=CE ,∴∠CDE=∠CED ,又∵∠CDE+∠CED=∠BCD ,∴2∠CED=60°,∴∠CED=30°=∠CBD ,∴DB=DE ;(2)过点D 作DG ∥AB ,交BC 于点G ,如图,∴∠DGC=∠ABC=60°,又∠DCG=60°,∴△DGC 为等边三角形,∴DG=GC=CD ,∴BC-GC=AC-CD ,即AD=BG ,∵AD=CE ,∴BG=CE ,∴BC=GE ,在△BDC 和△EDG 中,60DC DG BCD EGD BC EG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∴△BDC ≌△EDG (SAS )∴BD=DE ;(3)DB=DE 成立,理由如下:过点D 作DF ∥AB 交BE 于F ,∴∠CDF=∠A ,∠CFD=∠ABC ,∵△ABC 是等边三角形∴∠ABC=∠BCA=∠A=60°,BC=AC=AB ,∴∠CDF=∠CFD=60°=∠ACB=∠DCF ,∴△CDF 为等边三角形∴CD=DF=CF ,又AD=CE ,∴AD-CD=CE-CF,∴BC=AC=EF,∵∠BCD=∠CFD+∠CDF=120°,∠DFE=∠FCD+∠FDC=120°,∴∠BCD=∠DFE,且BC=EF,CD=DF,∴△BCD≌△EFD(SAS)∴DB=DE.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等边三角形的性质,以及平行线的性质,正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.3.A解析:(1)12;(2)5s或373s;(3)163s或685s或72s【解析】【分析】(1)AD与BC之间的距离即AB的长,如下图,过点D作BC的垂线,交BC于点E,在RtDEC中可求得DE的长,即AB的长,即AD与BC间的距离;(2)四边形QDCP为平行四边形,只需QD=CP即可;(3)存在3大类情况,情况一:QP=PD,情况二:PD=QD,情况三:QP=QD,而每大类中,点P存在2种情况,一种为点P还未到达点C,另一种为点P从点C处返回.【详解】(1)如下图,过点D作BC的垂线,交BC于点E∵∠B=90°,AD∥BC∴AB⊥BC,AB⊥AD∴AB的长即为AD与BC之间的距离∵AD=16,BC=21,∴EC=5∵DC=13∴在Rt DEC中,DE=12同理,DE的长也是AD与BC之间的距离∴AD与BC之间的距离为12(2)∵AD∥BC∴只需QD=PC,则四边形QDCP是平行四边形QD=16-t,PC=21-2t或PC=2t-21∴16-t=21-2t 或16-t=2t -21解得:t=5s 或t=373s (3)情况一:QP=PD图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F∵PQ=PD ,PF ⊥QD ,∴QF=FD∵AF ∥BP ,AB ∥FP ,∠B=90° ∴四边形ABPF 是矩形,∴AF=BP由题意得:AQ=t ,则QD=16-t ,QF=8-2t ,AF=8+2t BP=2t 或BP=21-(2t -21)=42-2t∵AF=BP∴8+2t =2t 或8+2t =42-2t 解得:t=163或t=685情况二:PD=QD ,图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F同理QD=16-t ,PF=AB=12BP=2t 或21-(2t -21)=42-2t则FD=AD -AF=AD -BP=16-2t 或FD=16-(42-2t)=2t -26 ∴在Rt PFD 中,()22212162PD t =+-或()22212226PD t =+- ∵PD=QD ,∴22PD QD =∴()()22216t 12162t =+--或()()22216t 12226t =+--解得:2个方程都无解情况三:QP=QD ,图形如下,过点P 作AD 的垂线,交AD 于点F同理:QD=16-t ,FP=12BP=2t 或BP=42-2tQF=AF -AQ=BP -AQ=2t -t=t 或QF=42-2t -t=42-3t在Rt QFP 中,22212PQ t =+或()22212423PQ t =+- ∵PQ=QD ,∴22PQ QD =∴()22216t 12t =+-或()()22216t 12423t =+--第一个方程解得:t=72,第二个方程解得:无解 综上得:t=163或685或72 【点睛】本题考查四边形中的动点问题,用到了勾股定理、平行四边形的性质、矩形的性质,解题关键是根据点Q 运动的轨迹,得出BP 的长度. 4.D解析:(1)6;(2)y=-3x+10(1≤x <103);(2)1769或32 【解析】【分析】(1)如下图,利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度,从而得出HB 的长,进而得出AD 的长;(2)如下图,利用等腰直角三角形的性质,可得PQ 、PR 的长,然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系,最后根据图形特点得出取值范围;(3)存在2种情况,一种是点P 在梯形内,一种是在梯形外,分别根y 的值求出x 的值,然后根据梯形面积求解即可.【详解】(1)如下图,过点D 作BC 的垂线,交BC 于点H∵∠C=45°,DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形,∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形,∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC -HC=6∴AD=6(2)如下图,过点P 作EF 的垂线,交EF 于点Q ,反向延长交BC 于点R ,DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理,PR=12y ∵AB=8,∴EB=8-x∵EB=QR∴8-x=()11622x y ++ 化简得:y=-3x+10 ∵y >0,∴x <103 当点N 与点B 重合时,x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=-3x+10+614x +=,解得x=1∴1≤x <103(3)情况一:点P 在梯形ABCD 内,即(2)中的图形 ∵MN=2,即y=2,代入(2)中的关系式可得:x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二:点P 在梯形ABCD 外,图形如下:与(2)相同,可得y=3x -10则当y=2时,x=4,即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质,难点在于第(2)问中确定x 的取值范围,需要一定的空间想象能力.5.(1)212(02)16(25)x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩;(2)220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩;(3)第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,最大相差6米/分钟;(4)存在,理由详见解析【解析】【分析】(1)将(1,2)代入21y ax =,得2a =,从而得到212y x =,再代入2x =求出18y =,即可得到反比例函数解析式,即可得解;(2)当01x ≤≤时,第二颗弹珠未弹出,故第二颗弹珠的解析式为20y =;再分别根据(1)中的结论,即可求出当13x <≤和36x <≤时第二颗弹珠的解析式;(3)由图可知看出,前2分钟,弹珠的速度逐渐增大,则第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,分别求出第2分钟末时两颗弹珠的速度,再相减即可的解;(4)第2分钟末到第3分钟末,第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513米/分钟,第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分,故在此期间必定存在一时刻,两颗弹珠的速度相同.可以根据速度相等时列方程求得时刻.【详解】(1)当02x ≤≤时,将(1,2)代入21y ax =,得2a =,212y x ∴=,∵当2x =时,18y =,∴当25x ≤≤时,116y x=, 1y ∴与x 的函数关系式为212(02)16(25)x x y x x⎧≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩;(2)当01x ≤≤时,第二颗弹珠未弹出,∴第二颗弹珠的解析式为20y =;当13x <≤时,第二颗弹珠的解析式为222(1)y x =-;当36x <≤时,第二颗弹珠的解析式为2161y x =-; ∴2y 与x 的函数关系式为220(01)2(1)(13)16(36)1x y x x x x ⎧⎪≤≤⎪=-<≤⎨⎪⎪<≤-⎩;(3)由图可知看出,前2分钟,弹珠的速度逐渐增大,∴第2分钟末两颗弹珠速度相差最大,∵第一颗弹珠的速度为2218222y x =⨯==米/分钟,第二颗弹珠的速度为2122(1)212y x =⨯==-米/分钟,∴两颗弹珠的速度最大相差8-2=6米/分钟;(4)存在,理由如下:第2分钟末到第3分钟末,第一颗弹珠的速度由8米/分钟逐步下降到513米/分钟, 第二颗弹珠的速度由2米/分逐步上升到8米/分,故在此期间必定存在一时刻,两颗弹珠的速度相同. 这个时刻可以通过解方程2162(1)x x=-求得. 【点睛】本题考查了反比例函数和二次函数的应用.解题的关键是从图中得到关键性的信息,明确自变量的取值范围和图象所经过的点的坐标. 6.B解析:(1)9CE =-2)详见解析;(3)132BD DE EF =- 【解析】【分析】(1)过点B 作BH AC ⊥于点H ,分别求出BH ,BE ,根据勾股定理问题得解; (2)如图在FE 上取一点G ,使FG AC =,连接DG ,先证明()ACD GFD SAS ∆∆≌,再证明()ECB DGE AAS ∆∆≌,问题得证;(3)过点D 作AE 的垂线,构造出一个30,60︒,90︒的三角形和一个等腰直角三角形,借助(2)的结论,设222EF AB AC x ===,ED =,通过解两个直角三角形,代换x 和y 的关系,得出结论.【详解】解:(1)如图,过点B 作BH AC ⊥于点H ,在等边ABC ∆中∵BC =∴AH HC ==3BH ==, ∵点E 在BD 的垂直平分线上,∴BE DE ==,在Rt BHE ∆中9EH ==∴9CE EH HC =-=(2)如图在FE 上取一点G ,使FG AC =,连接DG∵DF CD =∴FCD CFD ∠=∠∴ACD EFD ∠=∠在ACD ∆和GFD ∆中,DF CD ACD EFD FG AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ACD GFD SAS ∆∆≌∴AD DG =∴60A DGA ∠=∠=︒∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=︒设EBD EDB α∠=∠=∴120CBE α∠=︒-在ADE ∆中∴18060120AED αα∠=︒-︒-=︒-∴120AED CBE α∠=∠=︒-在ECB ∆和DGE ∆中120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()ECB DGE AAS ∆∆≌∴BC GE =∴AB AC BC GE FG ====12AB EF =(3)如图,设222EF AB AC x ===,DP=y ,过点DP ⊥AE ,垂足为P ,∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED y AED ===∠︒,23sin sin 60DP y y AD A ===∠︒, ∴2=2y DE , ∴BD=AD-AB =23232161222y x DE EF DE EF -=-=-, 故答案为:612BD DE EF =-. 【点睛】本题涉及知识点较多,设计新颖,综合性强,难度较大,根据题意添加适当辅助线,构造直角三角形或构造全等是解题关键.7.B解析:(1)35t ,45t ;(2)当0<t <3时,224655S t t =--+;当3<t <7时,23391052S t t =+-;(3)75;(4)132,7713,477 【解析】【分析】(1)过点B 作x 轴垂线,利用相似三角形可求得;(2)分2种情况,一种是点P 在AD 上,另一种是点P 在CD 上,然后利用三角形面积公式可求得;(3)直接令15h OD =即可求出; (4)存在3种情况,第一种是:QP ∥BD ,第二种是EP ∥CD 或EQ ∥CB ,第三种是QE ∥BD ,分别按照几何性质分析求解.【详解】 (1)如下图,过点B 作x 轴垂线,垂足为点M根据平移的特点,可得∠BOM=∠DBA∵∠BMO=∠DAB=90°,∴△BMO ∽△DAB ∵AB=4,AD=BC=3∴BD=5∵BM OM BO DA BA BD==,OB=t ∴BM=35t ,OM=45t (2)情况一:当0<t <3时,图形如下,过点P 作OD 的垂线,交OD 于点N∵∠NDP=∠BDA ,∠PND=∠BAD ,∴△PND ∽△BAD∵AP=t ,∴PD=3-t∵PN BA PD BD =,∴PN=()435t - 图中,OD=5+t∴()()243124562555OBD t S t t t -=+=--+情况二:当3<t <7时,图形如下,过点P 作OD 的垂线,交OD 于点N图中,PD=t -3,OD=5+t同理,△PND ∽△BCD ,可得PN=()335t - ∴()()23313395251052OBD t S t t t -=+=-+- (3)情况一:当0<t <3时则h=PN=()435t - ∵15h OD =∴()43555t t -+= 解得:t=75情况二:当3<t <7时则h=PN=()335t - ∵15h OD =∴()33555t t -+= 解得:t=7(舍)(4)情况一:QP ∥BD ,图形如下由题意可得:BQ=43t ,AP=t ,则QA=4-43t ,DP=3-t ∵BD ∥QP ∴QA PA QB PD= 代入得:4()2243t t =-解得:t=32∴OD=5+t=132 情况二:如下图,EP ∥CD(或EQ ∥CB)∵点E 是点A 关于QP 对称的点∴EP=PA ,EQ=QA ,QP=QP∴△APQ ≌△EPQ∵EP ∥CD ,CD ⊥AD∴EP ⊥AD∴∠APQ=∠EPQ=45°∴△AQP 是等腰直角三角形,AQ=PA ∴4-43t t = 解得:t=127∴OD=5+t=477 情况三:如下图,QE ∥BD ,延长QE 交DA 于点N∵△APQ ≌△EPQ ,∴∠QEP=∠QAP=90° ∴△ENP 是等腰直角三角形∵QN ∥BD ,∴∠NQA=∠DBA ,∠A=∠A ∴△QNA ∽△BDA ∵BQ=43t ,AP=t ,QA=4-43t,DP=3-t ∴QN QA AN BD BA AD== ∴QN=5-43t,NA=3-t∴EN=QN -QE=QN -QA=1-3t,NP=NA -AP=3-2t ,EP=PA=t ∴在Rt △ENP 中,()2223213t t t ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭解得:t=1213或t=3(舍) ∴OD=5+t=7713【点睛】本题考查动点问题,解题关键是利用相似将图形中各边用t 表示出来.8.B解析:(1)y =12x 2﹣32x ﹣2;(2)点M 的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)点P 的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2). 【解析】 【分析】(1)根据题意直线y =12x ﹣2与x 轴交于点B ,与y 轴交于点A ,则点A 、B 的坐标分别为:(0,-2)、(4,0),即可求解; (2)由题意直线MA 的表达式为:y =(12m ﹣32)x ﹣2,则点N (43m -,0),当MN AN =32时,则NH ON =32,即4343m m m ---=32,进行分析即可求解; (3)根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB 、∠PAB=∠OBA 三种情况,分别求解即可.【详解】解:(1)直线y=12x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点A,则点A、B的坐标分别为:(0,﹣2)、(4,0),则c=﹣2,将点B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=12,故抛物线的表达式为:y=12x2﹣32x﹣2①;(2)设点M(m,12m2﹣32m﹣2)、点A(0,﹣2),将点M、A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线MA的表达式为:y=(12m﹣32)x﹣2,则点N(43m-,0),当MNAN=32时,则NHON=32,即:4343mmm---=32,解得:m=5或﹣2或2或1,故点M的坐标为:(5,3)或(﹣2,3)或(2,﹣3)或(1,﹣3);(3)①∠PAB=∠AOB=90°时,则直线AP的表达式为:y=﹣2x﹣2②,联立①②并解得:x=﹣1或0(舍去0),故点P(﹣1,0);②当∠PAB=∠OAB时,当点P在AB上方时,无解;当点P在AB下方时,将△OAB沿AB折叠得到△O′AB,直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P,点P为所求,则BO=OB=4,OA=OA=2,设OH=x,则sin∠H=BO OAHB HA'=,即:2444x x=++,解得:x=83,则点H(﹣83,0),.则直线AH的表达式为:y=﹣34x﹣2③,联立①③并解得:x=32,故点P(32,﹣258);③当∠PAB=∠OBA时,当点P在AB上方时,则AH=BH,设OH=a,则AH=BH=4﹣a,AO=2,故(4﹣a)2=a2+4,解得:a=32,故点H(32,0),则直线AH的表达式为:y=43x﹣2④,联立①④并解得:x=0或173(舍去0),故点P(173,509);当点P在AB下方时,同理可得:点P(3,﹣2);综上,点P的坐标为:(﹣1,0)或(32,﹣258)或(173,509)或(3,﹣2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等,要注意分类讨论,解题全面.9.C解析:(1)2233(06)53103343(68)8333031503(810)t tS t t tt t t⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩,S的最大值为63;(2)存在,m的值为165或32163-或163或1423-.【解析】【分析】(1)分06t、68t和810t三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可.(2)分两种情形:①如图31-中,由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等,即8m=.当RP BR=时,当PB BR=时,当PR PB=时,分别构建方程求解即可.②如图32-中,作RH BC⊥于H.首先证明90BPR∠=︒,根据BP PR=构建方程即可解决问题.【详解】解:(1)如图21-中,当06t时,点P与点Q都在AB上运动,PM AC⊥,//NQ PM,90ANQ AMP∴∠=∠=︒,AQ t=,2AP t=+,60A∠=︒,1122AN AQ t∴==,33QN==,112AM t=+,33PM.∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为33S+.如图22-中,当68t 时,点P 在BD 上运动,点Q 仍在AB 上运动.则AQ t =,12AN t =,142CN t =-,3QN t =,6BP t =-,10DP t =-,3(10)PM t =-,而43BC =,故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为: BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形()()3111434433106222t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝⎭ 253103343t t =-+-, 如图23-中,当810t 时,点P 和点Q 都在BD 上运动.则202DQ t =-,(202)3QN t =-,10DP t =-,(10)3PM t =-.∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t =-+故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)3331503(810)t S t t t t ⎪⎪⎪=+-<⎨-+<⎪⎩, 当06t 时,S 随t 增大而增大, 当68t <时,S 随t 增大而增大, 当810t <时,S 随t 增大而减小,∴当t=8时,S 最大,代入可得S=63; (2)如图31-中,由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等,8m =. 当RP BR =时,3PB BR =,则有383m m -=⋅,解得165m =, 当PB BR =时,则有38m m -=,解得32163m =-, 当PR PB =时,3BR PB =,则有33(8)m m =-,解得163m =. 如图32-中,作RH BC ⊥于H .在Rt △CHR 中,2(8)CR m =-,30RCH ∠=︒, 182RH CR m ∴==-,8BP m =-,RH BP ∴=,HR BP ∥,∴四边形RHBP 是平行四边形,90RHB ∠=︒,∴四边形RHBP 是矩形,90BPR ∴∠=︒,当BP PR =时,则有83(12)m m -=-,解得1423m =- 综上所述,满足条件的m 的值为165或32163-163或1423-. 【点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的性质,多边形的面积,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决。

相关主题