选修2-1 模块综合检测(B)一、选择题1、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为( )A.6 3B.255 C.155D.1052、“a>0”是“|a|>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件实用文档实用文档3、若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．e > 2B ．1<e <2C ．e >2D ．1<e <24、已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝15、已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．2 3B ．6C ．4 3D ．126、过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )实用文档A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.y 24－x 22＝1D.y 22－x 24＝17、已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90° B．60° C．30° D．0°8、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( ) A. 3 B ．2 C. 5 D.69、已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( ) A.1010 B.15 C.31010 D.3510、若命题p：∀x∈R,2x2＋1>0，则綈p是( )A．∀x∈R,2x2＋1≤0B．∃x∈R,2x2＋1>0C．∃x∈R,2x2＋1<0D．∃x∈R,2x2＋1≤011、命题p：关于x的不等式(x－2)x2－3x＋2≥0的解集为{x|x≥2}，命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4<k≤0，那么不．正确的是( )A．“綈p”为假命题B．“綈q”为假命题C．“p或q”为真命题D．“p且q”为假命题12、已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A．3 2 B．2 3 C.303D.326二、填空题实用文档实用文档13、已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．14、已知双曲线x 2－y 23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．15、给出如下三种说法：①四个实数a ，b ，c ，d 依次成等比数列的必要而不充分条件是ad ＝bc ；②命题“若x ≥3且y ≥2，则x －y ≥1”为假命题；③若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为________．16、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题17、如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝3，∠ABC ＝60°.(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A—A1C—B的正切值大小．18、已知命题p：方程2x2－26x＋3＝0的两根都是实数，q：方程2x2－26x＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的命题，并指出其真假．19、F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．实用文档20、若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．21、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．22、已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别为AB，PC的三等分点，且PN＝2NC，AM实用文档＝2MB，PA＝AB＝1，求的坐标．以下是答案一、选择题1、D [以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)．∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos〈，〉＝＝4 5·8＝10 5.∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为10 5.]实用文档实用文档2、A [因为|a |>0⇔a >0或a <0，所以a >0⇒|a |>0，但|a |>0 a >0，所以a >0是|a |>0的充分不必要条件．]3、C [由题意，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故c 2>a ，∴c a >2.]4、A [由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，又e ＝c a＝2，∴a ＝2， ∴b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.]5、C [设椭圆的另一焦点为F ，由椭圆的定义知|BA |＋|BF |＝23，且|CF |＋|AC |＝23， 所以△ABC 的周长＝|BA |＋|BC |＋|AC |＝|BA |＋|BF |＋|CF |＋|AC |＝4 3.]6、D [与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ， 由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.实用文档 所以所求的双曲线方程为y 22－x 24＝1.]7、A [(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋1＋sin 2α)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0， ∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.]8、C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±ba x＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]9、C [以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则AA 1＝2，依题设有B (1,1,0)，C (0,1,0)， D 1(0,0,2)，E (1,0,1)，∴＝(0，－1,1)，实用文档＝(0，－1,2)．∴cos 〈·〉＝0＋1＋22·5＝31010.]10、D [綈p ：∃x ∈R,2x 2＋1≤0.]11、D12、C [令直线l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ②①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0.∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56.实用文档∴|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2＝303.]二、填空题13、014、3解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ， 焦点到渐近线的距离为23(3)2＋1＝ 3.15、①②解析 对①a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定．故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16、(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c＝|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|＝3m.∴e＝ca＝2c2a≤3，又e>1，∴离心率的取值范围为(1,3]．三、解答题17、(1)证明∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥AA1.在△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠ABC＝60°，由正弦定理得∠ACB＝30°，∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，3，0)，A1(0,0，3)，∴＝(1,0,0)，＝(0，3，－3)，实用文档实用文档∴·＝1×0＋0×3＋0×(－3)＝0，∴AB ⊥A 1C .(2)解 如图，可取m ＝＝(1,0,0)为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(l ，m ，n )．则·n ＝0，·n ＝0，又＝(－1，3，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－l ＋3m ＝0，3m －3n ＝0， ∴l ＝3m ，n ＝m . 不妨取m ＝1，则n ＝(3，1,1)． cos 〈m ，n 〉＝m·n|m|·|n |＝3×1＋1×0＋1×0(3)2＋12＋12·12＋02＋02＝155.设二面角A —A 1C —B 的大小为θ，∴cos θ＝cos 〈m ，n 〉＝155，sin θ＝105.从而tan θ＝63，即二面角A —A 1C —B 的正切值为63.实用文档18、解 “p 或q ”的形式：方程2x 2－26x＋3＝0的两根都是实数或不相等．“p 且q ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－26x ＋3＝0的两根不都是实数．∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∴p 真，q 假．∴“p 或q ”真，“p 且q ”假，“非p ”假．19、解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |) ＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ，实用文档∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆长半轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．20、解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]，∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2.①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2.②故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.21、解 (1)易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.实用文档∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23，∴|CD |＝1＋(－2)2|x 1－x 2| ＝5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910.22、解 方法一实用文档∵PA ＝AB ＝AD ＝1，且PA ⊥面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系．∵＝＋＋＝－23＋＋23＝－23＋＋23(－＋＋) ＝13＋23＝13k ＋23(－) ＝－23i ＋13k . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，13. 方法二 设＝i ，＝j ，＝k ，以{i ，j ，k }为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，过M 作AD 的平行线交CD 于点E .可知NE ∥PD .∵＝＋＝＋13实用文档 ＝－＋13(＋)＝－i ＋13(i ＋k ) ＝－23i ＋13k ， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫－23，0，13.。