是不共面的三个向量，请问向量
AC' 与它们是什么关系？
A
AC' AB AD AA'
B
问题2：
D’ C’
D C
如果向量 AB AD AA' 分别和向量a、b、c共线，
能否用向量a、b、． c表示向量 AC' ?
AC'＝xa+yb+zc
一、空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一
OB
B’
故实数x、y、z是唯一的．
A
A’
P’
二、几个基本概念：
空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量 生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底， a、b、c都叫做基向量．
说明：
①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的 一个基底．
②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量． （零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零 向量共面）
OB OC

1 2
OA
OG

1
OA
1 OB

1
A
OC.
633
O
G C N
B
三、课堂练习：
1、以知向量a,b,c是空间的一个基底，从a,b,c中 选一个向量，一定可以与向量p=a+b,q=a-b构成空 间的另一基底？ c
2、设空间四边形OABC，点M,N分别是边OA,BC,的中点，
开封市第二实验高中：孙义章
一、复习引入
1、平面向量基本定理：
同一平面内两个不共线的非零向量a、b， 对平面内任意向量p，有且只有一对实数x，
y，使：
p= xa+yb ．（a、b称基底）
2．空间共面向量定理及其推论． （1）共面向量定理：如果两个向量a、b
不共线，则向量p与向量a、b共面的充要 条件是存在实数对x，y，使得
p= xa+yb ． （2）共面向量定理的推论：空间一点P在 平面MAB内的充要条件是存在有序实数
对x，y，使得MP xMA yMB ① ，
或对于空间任意一定点O，有
OP OM xMA yMB ② OP (1 x y)OM xOA yOB ③
问题1:
A’
右图中的向量 AB AD AA' B’
存在三个实数 x, y, z
A’
P
B
B’
P’
使OA xOA xa, OB yOB yb, OC zOC z c.
∴Leabharlann uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur OP OA OB OC xOA yOB zOC
所以
例1：已知空间四边形OABC，对角线OB、AC，M和N分
别是OA、BC的中点，点G在MN上，且使MG=2GN，
试用基底 OA,OB,OC 表示向量OG
证明：OG OM MG
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 ON OM 23
M

1 2
OA

2 3
1 2
向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，
使 p＝xa+yb+zc．
证明:存在性设a、b、c不共面，
C’
过点 O 作OA =a, OB = b,
OC =c, OP =p;过点 P 作直线
C
PP平行于OC 交平面 OAB
于点 P 在平面OAB内，
O A
过点 P 作直线 PA // OB, PB // OA
③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量 组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
三、推论:
推论:设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空 间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、 z，使
OP xOA yOB zOC
说明：
若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得： P、A、B、C四点共面．
p＝xa+yb+zc.
唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得
p＝x’a+y’b+z’c，则有xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c， ∴(x－x’ ) a+(y－y’ )b+( z－z’ )c＝0． C’
∵a、b、c不共面，
∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，
C
P
即x＝x’且y＝y’且z＝z’．
且OA,OB,OC所在向量分别为a,b,c.用a,b,c表示向量
MN
MN =1/2b+1/2c-1/2a
3、如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底， 那么a,b间应有什么关系？ 共线
四、课时小结:
1、空间向量基本定理也称为空间向量分解定理， 2、空间向量基本定理的推论。
五、作业：
❖ 课本P36 习题9.5 ⒈ ⒉