即 D1= d11F1+d12F2+ … +d1iFi + … +d1nFn
……
Di= di1F1+di2F2+ … +diiFi + … +dinFn
……
其中dij 是与载荷无关的常数。
注意：各载荷和位移都是指最终值，所以是常数。
材料力学
a
16
设各外载荷有一增量，于是位移亦有一增量。载荷 在位移增量上所作的元功为：
Di 简称为与力Fi (相)对应的位移。
材料力学
a
12
外力功属于静载作功。
静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性 体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D 图下方面积
对于线弹性体 W 1FD 2
F
D
F dD D
F
F为广义力，D为广义位移。
D
D
材料力学
a
dW=F1*dD1*+…+Fi*dDi*+…+Fn*dDn*
=lF1d(lD1)+…+lFid(lDi)+…+lFnd(lDn)
=(F1D1+…+FiDi+…+FnDn)ldl
外力作的总功为：
1
W (F1D1+L +FiDi +L + FnDn )
ldl
0
1 2
F1D1 +L
+
1 2
Fi Di
+L
（2）、（3）代入（1）得 Dl3cosDl1 变形几何方程
（1）考虑物理方程得 FE F 3 A lEA F c1o 2lsEA F c2o 2lsF E 3A 2l
几何方程
（2）、（3）代入上式并化简得得 F3cos2F1 和物理方
程的联立
材料力学
a
11
§10.2 互等定理
一、外力功的计算
Fi —— 广义力（集中力，力偶） Di —— 广义位移（线位移，角位移） Fi 为集中力，Di为该力作用点沿力方向的线位移； Fi为力偶，则Di为该力偶作用面内沿力偶转向的角 位移（转角）。
材料力学
a
14
先加F1后加F2 F1
F2
先加F2后加F1 F1
F2
不同加载次序外力功均相同，若按比例同时加载， 外力同时达到最终值，即比例加载，外力功不变。
材料力学
a
15
三、克拉贝依隆（Clapeyron)原理 线弹性体上，作用有载荷F1,F2 , … Fi, … Fn 与外力方向相应的位移为D1, D2, … Di, … Dn 由线弹性体的叠加原理，各位移是载荷的线性函数
材料力学
a
7
第十章 能量法
§10.1 概 述
一、能量法
利用能量原理解决力学问题的方法。
可用来求解变形、静不定、动载荷、稳定等问题。
二、外力功与应变能
1、外力功W F
F从零逐渐增加到最终值， 变形亦缓慢增加最终值。
D
载荷在其作用点位移上所作的功，属于变力作功。
材料力学
a
8
2、应变能 弹性体因载荷引起的变形而储存的能量。
三、功能原理
条 件：（1）弹性体（线弹性、非线弹性） （2）静载荷 —— 可忽略弹性体变形过程中的 能量损失。
原 理：外力功全部转化成弹性体的应变能。 Ve = W
材料力学
a
9
已知：EI = 常数，用功能原理
F
计算A点的挠度。
A
B
解：①建立坐标系
wA
x
l
②列弯矩方程 M =－Fx （ 0 ≤ x ＜ l ）
13
二、外力功与变形能的特点
外力功的数值与加载顺序无关，
只与载荷与位移的最终数值有关。
加载顺序：
F1, F2, …Fi，… F2, F1, … Fj，…
……………
不同时加载，加载顺 序不同，外力功不变。
如果外力功和变形能与加载顺序有关，会出现 什么结果？
按一种顺序加载，按另一种顺序卸载，能量还 能守恒么？——反证法！
F
D
dD D
材料力学
a
2
对于线弹性体
F
W 1FD
F
2
F为广义力，D为与力对应的广义位移。
2、应变能Ve
D
D
弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。
由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve 在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）
即 Ve =W
材料力学
a
3
二、线弹性体的应变能
1、轴向拉压
F
FF
+
1 2
Fn D n
n i 1
1 2
Fi Di
材料力学
a
17
设各外载荷按相同的比例，从零开始缓慢增加到最 终值。即任一时刻各载荷的大小为： F1*=lF1, F2*=lF2 ,… Fi*=lFi ,…Fn*=lFn
其中 l从0缓慢增加到1，说明加载完毕。
F
l
Dl Fl
EA
Ve W1 2FDl2FE2A l 2FE N 2A l
FN为变量时
Ve
FN2 (x) d x l 2EA
Dl Dl
材料力学
a
4
2、扭 转
Me
j M el G IP
Me Me
j j
Ve W1 2Mej2M GeI2lP
T2l 2GIP
T为变量时
Ve
T 2 (x) d x l 2GIP
材料力学
a
5
3、平面弯曲 纯弯曲
1 dq M d x EI
dq
dq M d x
EI
Ve
W1MdqM2dx
2
2EI
横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当 l /b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。
横力弯曲M(x)为变量
Ve
M2(x) d x l 2EI
材料力学
a
6
应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次 函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几 种载荷只在本身的变形上作功，而在其它载 荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。
弹性固体的应变能
一、外力功与应变能 1、外力功W 载荷在其作用点位移上所作的功。 (1) 常力作功
F AF B D
M
q
M
W=FD
W=Mq
材料力学
a
1
(2) 静载作功 静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性
体上的载荷，静载作功属于变力作功。
对于一般弹性体
F
W DF d D 0
F
F—D图下方面积
③求外力功W 和应变能Ve
W
1 2
FwA
V e0 lM 2E 2d Ix0 l(F 2x E )I2dxF 6E 2lI3
1 2
FwA
F 2l3 6EI
wA
Fl 3 3EI
()
仅仅只能求力作用点与力相对应的位移，
其它位移的求解有待进一步研称结构，各杆抗拉刚度EA均相等。 B C
D
①由平衡方程，通过功能原理导出变形几 何方程；②由平衡方程结合功能原理求出 各杆内力。
l
解：A点的位移等于③杆的变形Dl3。
A Dl1
由功能原理有
1 2FD l31 2(F 1D l1F 2D l2F 3D l3)
F （1） Dl3
由平衡方程和对称条件有 F1F2， Dl1Dl2 （2）
2F1cosF3F （3）