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动态最优化第13讲 动态规划的经济学应用(优选.)


(二)贴现形式的经济学动态规划求解
(4)欧拉方程: 把由包络定理 得出的
df xk1
v xk1, uk1
代入:
dxk 1
xk 1
vxk , uk df xk1 T xk , uk 0
uk
dxk 1
uk
得欧拉方程:
vxk , uk v xk1, uk1 T xk , uk 0
v
xk , uk
f
~xk 1
k n 1, n 2,,1,0
其中:~xk1 T xk , uk*
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)贴现形式的经济学动态规划求解
(4)欧拉方程:
把状态转移方程 xk1 T xk ,uk 代入贝尔曼方程:
f
xk
uk
max
xk Dk xk
vxk
,
uk
f
T
xk
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)贴现形式的无限期动态规划
目标函数具有贴现形式:
vk xk ,uk kvxk ,uk ,0 1
(1)带贴现的平稳无限期多阶段决策模型
Max
kvxk , uk
k 0
S.T. xk1 T xk , uk k 1,2,, n
uk U , k 1,2,, n 1 x0给定
,
uk
右边式子对控制变量求取最大化一阶条件,得:
vxk , uk df xk1 T xk , uk 0
uk
dxk 1
uk
贝尔曼方程对状态变量使用包络定理,得:
df xk vxk , uk df xk1 v xk1, uk1
dxk
xk
dxk 1
xk 1
第十三讲 动态规划的经济学应用
uk
xk 1
uk
第十三讲 动态规划的经济学应用
(三)确定性动态规划的经济学例子
(1)确定性条件下的储蓄
消费者的目标:选择每期消费实现长期的效用最大化
Max tU ct t 0 S.T. At1 Rt At yt ct t 0,1,2,
A0给定 At :t期初的财富; yt :t期的劳动力收入; Rt :t期储蓄利率; ct :t期的消费
yt ,
Rt 1
MaxU st
At
yt
st
f
Rt st ,
yt 1 ,
Rt
右边式子对控制变量求取最大化一阶条件,得:
U At yt st f Rt st , yt1, Rt Rt st 0
st
At 1
st
U ct At
yt st
st
f
Rt st , yt1, Rt
xt
第十三讲 动态规划的经济学应用
(三)不确定性动态规划问题
(2)随机欧拉方程
贝尔曼方程右端的一阶必要条件:
rxt ,
u t
ut
E
g
xt , ut
u t
,
t
V
g
xt
,
ut
,
t
xt
0
贝尔曼方程应用包络定理,得:
V
xt
rxt , ut
xt
V xt1
r xt1, ut1
xt 1
由上边两式联立得,随机欧拉方程:
st
EtV
st Rt
,
Rt
第十三讲 动态规划的经济学应用
(四)不确定性动态规划举例
(1)回报为随机时的消费
(二)几个确定性例子
(2)最优增长
状态变量为:kt
控制变量为:kt 1
一期报酬函数 vxt ,ut 变为:Uyk t kt1
定义值函数:
由:f
xk
uMk ,uka1x, i0
iv
xk i , uk i
得:f
kt
Max kt1 ,kt2 , i0
iU y k ti
,
Rt
U
ct
1
代入最大化一阶条件:U ct
Rt
f
Rt st , yt1, Rt
At 1
0
得到关于St的欧拉方程为:
U ct RtU ct1 0
欧拉方程 :U ct RtU ct1经济学含义:(拉姆齐规则)
最优的消费选择应使得:分配到这一期要的消费的边际效用
等于分配到下一期的消费的边际效用乘上利率和贴现率
第十三讲 动态规划的经济学应用
(一)经济学的动态规划建模步骤
(9)求欧拉方程:
把状态转移方程 xk1 Tk xk ,uk 代入贝尔曼方程:
fk xk
max
uk xk Dk xk
vk
xk , uk
fk1 Tk xk , uk
右边式子对控制变量求取最大化一阶条件,得:
vk xk , uk dfk1 Tk xk , uk 0
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)几个确定性例子
(1)确定性条件下的储蓄
状态变量定义为:At , yt , Rt1
控制变量定义为:st Rt1At1 At yt ct 转移方程为:At1 Rt st 因为: ct At yt Rt1At1
一期报酬函数 vxt ,ut 变为:
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)几个确定性例子
(2)最优增长
消费者的目的是最大化效用:
Max tU ct t 0
S.T. ct kt1 yk t t 0,1,2,
ct 0
k0 0给定
ct : 人均消费;kt : 人均资本存量;
yk t : 人均资本产出函数
第十三讲 动态规划的经济学应用
第十三讲 动态规划的经济学应用
(四)不确定性动态规划举例
(1)回报为随机时的消费
状态变量定义为:At ,Rt1 控制变量定义为:st At ct
转移方程为:
At1 Rt At ct Rt st
报酬函数为:
U ct U At st
贝尔曼方程:
V
At
,
Rt
MaxU st
At
xk
Max
uk ,,un1
Vk ,n
xk , uk , uk1, uk2 ,, un1
Vk,n
xk
,
p* k ,n
xk
(8)写出动态规划基本方程(贝尔曼方程):
fk xk
max
uk xk Dk xk
vk
xk , uk
fk 1 ~xk 1
k n 1, n 2,,1,0
其中:~xk1 Tk xk , uk*
Max
st ,st1 ,
i
0
iU
At i
yt i
sti
贝尔曼方程:
f
At ,
yt , Rt1
MaxU st
At
yt
st
f
At 1 ,
yt1, Rt
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)几个确定性例子
(1)确定性条件下的储蓄
把状态转移方程 At1 Rt st 代入贝尔曼方程:
f
At ,
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)贴现形式的经济学动态规划求解
(2)定义值函数:
f
xk
Max V uk ,uk1, k ,n
xk , uk , uk1, uk2 ,
Max
uk ,uk1 ,
i
0
iv
xk i , uk i
(3)贝尔曼方程:
f
xk
max
uk xk Dk xk
At 1
Rt
0
U ct
Rt
f
Rt st , yt1, Rt
At 1
0
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)几个确定性例子
(1)确定性条件下的储蓄
贝尔曼方程对状态变量使用包络定理,得: (本尼维斯特——沙因克曼公式)
df xk vxk , uk
dxk
xk
即:df At , yt , Rt1 U At yt s, yt , Rt1
At
U At
yt
st
d At
yt dAt
st
f
At , yt , Rt1
At
U ct
f
At1, yt1,
At 1
Rt
U ct1
第十三讲 动态规划的经济学应用
(二)几个确定性例子
(1)确定性条件下的储蓄
把本尼维斯特

沙因克曼公式:f
At
1, yt1 At 1
(3)确定决策变量uk 以及每个阶段的允许策略集
合 Dk uk
(4)写出状态转移方程:xk1 Tk xk ,uk
第十三讲 动态规划的经济学应用
(一)经济学的动态规划建模步骤
(5)明确各个阶段的一期报酬函数:vk xk ,uk
确定整个阶段的目标函数:
n1
V0,n x0, x1,, xn vk xk ,uk vn xn k 0
vk1 xk 1, uk 1
xk 1
代入:
vk xk , uk dfk1 Tk xk , uk 0
uk
dxk 1
uk
得欧拉方程:
vk xk , uk vk1 xk1, uk1 Tk xk , uk 0
uk
xk 1
uk
(关于某变量的差分方程,可用差分方程法求解或
用迭代法模拟解的路径)
ykt
kt 1
kt1
f kt1
kt 1
0
U ykt kt1 f kt1 0
第十三讲 动态规划的经济学应用
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