一、第八章 机械能守恒定律易错题培优（难）1．如图所示，质量为1kg 的物块（可视为质点），由A 点以6m/s 的速度滑上正沿逆时针转动的水平传送带（不计两转轮半径的大小），传送带上A 、B 两点间的距离为8m ，已知传送带的速度大小为3m/s ，物块与传送带间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为210m/s 。

下列说法正确的是（ ）A ．物块在传送带上运动的时间为2sB ．物块在传送带上运动的时间为4sC ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量为16JD ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量为28J【答案】BD【解析】【分析】【详解】AB ．滑块先向右匀减速，根据牛顿第二定律有mg ma μ=解得22m/s a g μ==根据运动学公式有010v at =-解得13s t = 匀减速运动的位移01063m 9m 8m 22v x t L +==⨯==> 物体向左匀加速过程，加速度大小仍为22m/s a =，根据运动学公式得物体速度增大至2m/s v =时通过的位移2212m 1m 222v x a ===⨯ 用时22s 1s 2v t a === 向左运动时最后3m 做匀速直线运动，有233=s 1s 3x t v == 即滑块在传送带上运动的总时间为 1234s t t t t =++=物块滑离传送带时的速率为2m/s 。

选项A 错误，B 正确；C ．向右减速过程和向左加速过程中，摩擦力为恒力，故摩擦力做功为110.211041J 6J f W f x x mg x x μ=--=--=-⨯⨯⨯-=-（）()()选项C 错误；D ．整个运动过程中由于摩擦产生的热量等于滑块与传送带之间的一对摩擦力做功的代数和，等于摩擦力与相对路程的乘积；物体向右减速过程，传送带向左移动的距离为114m l vt ==物体向左加速过程，传送带运动距离为222m l vt ==即121[]Q fS mg l x l x μ==++-（）（）代入数据解得28J Q =选项D 正确。

故选BD 。

2．如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L 1、L 2，两杆分离不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a 、b （视为质点）质量均为m ，a 球套在竖直杆L 1上，b 杆套在水平杆L 2上，a 、b 通过铰链用长度为L 的刚性轻杆连接，将a 球从图示位置由静止释放(轻杆与L 2杆夹角为45°)，不计一切摩擦，已知重力加速度为g ．在此后的运动过程中，下列说法中正确的是A ．a 球和b 球所组成的系统机械能守恒B ．b 球的速度为零时，a 球的加速度大小一定等于gC ．b 22gL +（）D ．a 2gL【答案】AC 【解析】 【详解】 A ．a 球和b 球组成的系统没有外力做功，只有a 球和b 球的动能和重力势能相互转换，因此a 球和b 球的机械能守恒，故A 正确；B ．当再次回到初始位置向下加速时，b 球此时刻速度为零，但a 球的加速度小于g ，故B 错误；C ．当杆L 和杆L 1平行成竖直状态，球a 运动到最下方，球b 运动到L 1和L 2交点的位置的时候球b 的速度达到最大，此时由运动的关联可知a 球的速度为0，因此由系统机械能守恒有：22122b mg L L mv ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭得：()2+2b v gL =故C 正确； D ．当轻杆L 向下运动到杆L 1和杆L 2的交点的位置时，此时杆L 和杆L 2平行，由运动的关联可知此时b 球的速度为零，有系统机械能守恒有：22122a mg L mv ⋅= 得：2a v gL =此时a 球具有向下的加速度g ，因此此时a 球的速度不是最大，a 球将继续向下运动到加速度为0时速度达到最大，故D 错误．3．如图所示，ABC 为一弹性轻绳，一端固定于A 点，一端连接质量为m 的小球，小球穿在竖直的杆上。

轻杆OB 一端固定在墙上，一端为定滑轮。

若绳自然长度等于AB ，初始时ABC 在一条水平线上，小球从C 点由静止释放滑到E 点时速度恰好为零。

已知C 、E 两点间距离为h ，D 为CE 的中点，小球在C 点时弹性绳的拉力为2mg ，小球与杆之间的动摩擦因数为0.5，弹性绳始终处在弹性限度内。

下列说法正确的是（ ）A ．小球在D 点时速度最大B ．若在E 点给小球一个向上的速度v ，小球恰好能回到C 点，则2v gh =C ．小球在CD 阶段损失的机械能等于小球在DE 阶段损失的机械能D ．若O 点没有固定，杆OB 在绳的作用下以O 为轴转动，在绳与B 点分离之前，B 的线速度等于小球的速度沿绳方向分量【答案】AD【解析】【详解】A ．设当小球运动到某点P 时，弹性绳的伸长量是BP x ，小球受到如图所示的四个力作用：其中T BP F kx =将T F 正交分解，则N T sin sin 2BP BC mg F F kx kx θθ⋅====f N 14F F mg μ== T F 的竖直分量 T T cos cos y BP CP F F kx kx θθ===据牛顿第二定律得f T y mg F F ma --=解得T 3344y CP F kx a g g m m=-=- 即小球的加速度先随下降的距离增大而减小到零，再随下降的距离增大而反向增大，据运动的对称性（竖直方向可以看作单程的弹簧振子模型）可知，小球运动到CE 的中点D 时，加速度为零，速度最大，A 正确；B ．对小球从C 运动到E 的过程，应用动能定理得T F 0104mgh W mgh ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭若在E 点给小球一个向上的速度v ，小球恰能从E 点回到C 点，应用动能定理得T 2F 11()042mgh W mgh mv ⎛⎫-++-=- ⎪⎝⎭联立解得T F 34W mgh =，v gh = B 错误； C ．除重力之外的合力做功等于小球机械能的变化，小球在CD 段所受绳子拉力竖直分量较小，则小球在CD 段时摩擦力和弹力做的负功比小球在DE 段时摩擦力和弹力做的负功少，小球在CD 阶段损失的机械能小于小球在DE 阶段损失的机械能，C 错误； D ．绳与B 点分离之前B 点做圆周运动，线速度（始终垂直于杆）大小等于小球的速度沿绳方向的分量，D 正确。

故选AD 。

4．如图所示，固定在竖直平面内的圆管形轨道的外轨光滑，内轨粗糙。

一小球从轨道的最低点以初速度v 0向右运动，球的直径略小于圆管的直径，球运动的轨道半径为R ，空气阻力不计，重力加速度大小为g ，下列说法一定正确的是 （ ）A ．若05v gR <B ．若02v gR <，小球不可能到达圆周最高点C ．若02v gR <，小球运动过程中机械能守恒D ．若05v gR >【答案】BC【解析】【分析】【详解】AD. 小球如果不挤压内轨，则小球到达最高点速度最小时，小球的重力提供向心力，由牛顿第二定律，在最高点，有2v mg m R= 由于小球不挤压内轨，则小球在整个运动过程中不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，从最低点到最高点过程中，由机械能守恒定律，有22011222mv mv mg R =+⋅ 解得05v gR =若小球速度05v gR <，小球也是有可能做完整的圆周运动的，可能到达圆周最高点，只是最终在圆心下方做往复运动，故A 错误；若小球速度05v gR >，则小球一定不挤压内轨，小球运动过程中机械能守恒，故D 错误；B. 如果轨道内轨光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律，有20122mv mg R =⋅ 解得02v gR =现在内轨粗糙，如果小球速度02v gR <，小球在到达最高点前一定受到摩擦力作用，即小球在到达最高点前速度已为零，小球不可能到达圆周最高点，故B 正确；C.若小球上升到与圆心等高处时速度为零，此时小球只与外轨作用，不受摩擦力，只有重力做功，由机械能守恒定律，有2012mv mgR = 解得02v gR =若02v gR <，小球只与外轨作用，不受摩擦力作用，小球运动过程中机械能守恒，故C 正确。

故选BC 。

5．如图甲所示，质量为0.1 kg 的小球沿光滑的水平轨道从A 冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.9 m 的圆轨道，小球从A 运动到C 的过程中其速度的平方与其高度的关系图象如图乙所示．已知小球恰能到达最高点C ，运动一周后从A 点离开圆轨道，圆轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计．g 取10 m/s 2，B 为AC 轨道中点．下列说法正确的是( )A ．图乙中x 的数值为9B ．小球从从A 点离开圆轨道时的动能为1.30JC ．小球从A 到C 合外力对其做的功为-2.75JD ．小球从B 到C 损失了0.475 J 的机械能【答案】AC【解析】【分析】【详解】A.图乙中的点(1.8,)x 表示小球到达C 点速度的平方为x ；小球恰能到达最高点C ，则有：x mg m r=， 代入数据得：x =9，故A 正确B.物体从A 到C 的过程根据动能定理可知2211222f C A W mg R mv mv --=-， 解得0.95J f W =若从C 再次运动到A 克服摩擦力做功和从A 到C 一样，则再次回到A 时的动能为212 1.30J 2k A f E mv W =-= ， 但由于下降过程中的平均阻力小于上升过程中的平均阻力，所以再次回到A 点时的动能大于1.30J ，故B 错误C. 根据动能定理可知小球从A 到C 合外力对其做的功为2211 2.75J 22C A W mv mv =-=- 故C 正确D.根据功能关系可知小球从A 到C 损失的机械能为0.95J f W =，若摩擦力做功恒定，则从小球从B 到C 损失了0.475 J 的机械能，但由于从A 到B 的平均摩擦力大于从B 到C 的平均摩擦力，所以从B 到C 损失的机械能小于0.475 J ，故D 错误；6．如图所示，一根劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平地面上，轻弹簧上端正上方h 高度处A 点有一个质量为m 的小球。

现让小球由静止开始下落，在B 点接触轻弹簧的上端，在C 点时小球所受的弹力大小等于重力大小，在D 点时小球速度减为零，此后小球向上运动返回到最初点，已知小球在竖直方向上做周期性运动。

若轻弹簧储存的弹性势能与其形变量x 间的关系为212p E kx =，不计空气阻力，重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ）A ．在D 点时小球的加速度大小大于重力加速度g 的大小B ．小球从B 点到D 点的过程中，其速度和加速度均先增大后减小C ．从A 点到C 点小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量D ．小球在D (2)mg mg mg kh ++ 【答案】AD【解析】【分析】【详解】A ．若小球从B 点由静止释放，则最低点应该在D ′位置且满足BC =CD ′，由对称可知，在D ′点的加速度为向上的g ；若小球从A 点释放，则最低点的位置在D 点，则D 点应该在D ′点的下方，则在D 点时小球的加速度大小大于在D ′点的加速度，即大于重力加速度g 的大小，选项A 正确；B ．小球从B 点到D 点的过程中，在BC 段重力大于弹力，加速度向下且逐渐减小，速度逐渐变大；在CD 段，重力小于弹力，加速度向上且逐渐变大，速度逐渐减小，即小球从B 点到D 点的过程中，加速度先减小后增加，速度先增加后减小，选项B 错误；C ．由能量守恒定律可知，从A 点到C 点小球重力势能的减少量等于小球动能的增加量与弹簧的弹性势能的增加量之和，选项C 错误；D ．由能量关系可知从A 到D 满足 21()2mg h x kx +=解得小球在D 点时弹簧的压缩量为 (2)mg mg mg kh x ++=（另一值舍掉）选项D 正确。